Разумеется, речь пойдёт сугубо об их общем глагольном значении «становиться».
Разница, как чаще всего бывает с английскими иероглифами, проявляется при использовании, то есть в высказываниях. Так про Turn англичане вспоминают, когда говорят о цвете:
The sky turned pink and orange during the sunset.
My uncle’s hair is turning white.
Если суть не в цвете, но в превращении, причём полном, употребляется фразовый глагол Turn Into:
The caterpillar turned into a butterfly.
My dream turned into a nightmare.
Что касается последнего примера, иначе говоря, когда речь заходит об эмоциях, англичане в неформальном контексте предпочитают Get:
I got angry when my colleague said things about me that weren’t true.
We always get really bored in history class.
Также Get предпочтителен в случаях сравнения:
It’s getting easier and easier for me to understand movies in English.
It’s got more expensive to buy an apartment in this city.
В контексте эмоций и сравнения вы также можете использовать Become, только звучать ваше высказывание при этом станет более формально:
My sister became depressed after she moved to a new city.
It’s becoming more difficult to balance work and life in the modern world.
Когда человек становится кем-то по профессии, никогда не употребляйте Get или Turn – только Become:
He wants to become a lawyer someday.
Shirley Temple became a famous actress when she was just four years old.
Наконец, с рядом прилагательных англичане не используют ни одного из перечисленных глаголов, а вовсе даже… Go:
go crazy – сходить с ума
go blind – слепнуть
go deaf – глохнуть
go bald – лысеть
go bad – портиться (сугубо о продуктах)
Глагол Turn в древности писался turnian, будучи образованным от старофранцузского torner (современного tourner), истоки которого – в латинском tornare со значением «шлифовать» или «поворачивать» на токарном станке (если таковые у латинян, разумеется, были), поскольку сам этот станок назывался у них tornus – от греческого tornos.
Глагол Get имеет скандинавское происхождение и в районе XIII века был представлен формами geta-gatum-getenn.
Глагол Become живёт в английском языке с незапамятных германских времён. Изначально он писался becuman и означал «случаться» и «встречаться». В английском средневековом он стал bicomen.