Если разбираться с этой троицей по порядку, то англичане используют Amount с неисчисляемыми существительными, например:
There’s a significant amount of traffic in the late afternoon.
Или:
She inherited a large amount of money from her grandfather.
В свою очередь Number правильно, напротив, употреблять с существительными исчисляемыми, скажем:
A number of my friends are teachers.
Или:
This recipe has a small number of ingredients.
Что до Quantity, то оно, во-первых, более формальное, чем оба его предыдущих собрата, и, кроме того, используется с предметами, которые можно измерить. Причём именно с предметами, поскольку его обычно не ставят рядом с людьми. Полюбуйтесь:
We have a limited quantity of special-edition hats for sale.
Что можно было сказать и так (поскольку шляпы легко считаются):
We have a limited a limited number of special-edition hats for sale.
Или:
They need a large quantity of cement for the construction.
Цемент не пересчитаешь, поэтому как вариант можно было вы сказать:
They need a large amount of cement for the construction.
Существительное Amount образовалось от глагола amount только в 1710 году. В английском средневековье на его месте писали либо amountance, либо amountment. Что касается глагола, то он старый, пришёл из французского ещё в XIV веке, и означал либо просто «подниматься», например, на лошадь, либо «расти» количеством.
Интересно, что первоначально, в начале XIV века, существительное Number означало именно «количество» и только через сто лет дополнилось смыслом «номер». Пришло оно в английский проторенной дорожкой: сначала было numerus в латыни, потом nombre в старом французском, потом noumbre в англо-французском.
Что касается этимологии Quantity, то всё началось, говорят, ещё в древней Греции, где древние греки спрашивали на древних рынках «Posos?», то бишь, «Почём?». Латиняне это подслушали и стали на своих латинских рынках спрашивать «Quantus?», отчего у них потом появилось слово quantitas, что переводилось и как «величие», и как «объём». Древние французы сделали из него quantite или cantite, а когда завоевали британские острова, вместе с местными товарищами перекроили его в… quantite, правда, согласно официальной истории, им для этого зачем-то понадобилось почти 400 лет.