Основная разница, как оно частенько бывает в английском языке в случае сосуществования одинаковых по значению слов, в стиле. Глагол Permit из этой троицы самый формальный. Дальше идёт Allow. Наименее формальный – Let.
Кроме того, они отличаются по грамматической структуре при использовании в речи или на письме.
Так Let требует после себя прямого объекта, после которого в безличной форме ставится глагол действия (без инфинитивной частицы), то есть:
I don’t let my kids watch violent movies.
Замечу, что если кто-то по-прежнему думает, будто в предложении Let’s go, говорится Let is go, это поправимая ошибка, поскольку на самом под апострофом скрывается местоимение us.
Ещё глагол Let хорош тем, что не нужно запоминать три его формы – они все одинаковые.
С глаголами Allow и Permit используется полноценный инфинитив:
I don’t allow/permit my kids to watch violent movies.
Часто оба эти глагола употребляются англичанами в пассивных формах. Например, в языке формальных объявлений:
Smoking is not allowed.
Passengers are not permitted to use cell phones during takeoff.
Напротив, Let в пассивных конструкциях практически никогда не участвует.
Легко догадаться, что раз Let наиболее широко употребим, он имеет чисто германское происхождение. Действительно, в древности он писался lætan и имел формы let, leort в прошедшем времени и gelæten в качестве причастия, а означал и «разрешать», и «покидать, оставлять».
Глагол Allow в форме allouen появился в английском языке в начале XV века, когда его понимали как «хвалить» или «ценить». Значение «позволять» он получил к концу того же столетия. Французы в то время пользовались глаголом alouer, произошедшим от более старой формы aloer или alloiier. В латыни, как вы знаете, для этого были глаголы allaudare и adlaudare, хотя французы, похоже, ошиблись и взяли за основу глагол allocare.
Глагол Permit моложе остальных. Он появился в английском XVI века в виде permitten, который был образован от старофранцузского permetre, который был образован от латинского permittere («разрешать», «пропускать», «отпускать»).
Let me end here.
…или, как сказал бы сегодняшний француз:
Permettez-moi de terminer ici.
Хотя он же мог бы, наверное, сказать и менее напыщенно:
Laissez-moi finir ici.