Родился 17 июля 1899 г. в г. Одесса. В 1912 г. окончил 2‑х классное железнодорожное училище.
Участник 1-й мировой войны во флоте с 1914 г. по 1917 г., унтер-офицер.
После октября 1917 г. – старшина-комендор канонерской лодки Черноморского флота.
Участник Гражданской войны: пулеметчик вооруженного парохода Волынской флотилии, инструктор пулеметной команды поезда наркомвоенмора, комендант станции, начальник артиллерии 15 стрелковой дивизии, политкомиссар 2 участка одесского района береговых батарей, командир артиллерийского дивизиона артбригады, командир артиллерийского парка и адъютант 2 артдивизиона 45 стрелковой дивизии. В мае 1920 г. – мае 1921 г. – курсант Киевских артиллерийских курсов, по окончании которых – командир и военком 2 береговой батареи Одесского района.
С декабря 1922 г. по сентябрь 1923 г. – слушатель Высшей артиллерийской школы (Детское село, ныне г. Пушкин Ленинградской области). По окончании – вновь командир 2-й береговой батареи Одесского района.
В октябре 1924 г. Вершинин Б. Г. становится слушателем Военно-технической академии им. Дзержинского, по окончании которой в марте 1930 г. – адъютант и начальник кафедры академии.
С июня 1932 г. – начальник конструкторского факультета, с марта 1933 г. – начальник кафедры, Военная академия механизации и моторизации РККА.
В октябре 1937 г. прикомандирован к РУ РККА.
Октябрь 1937 г. – 1939 г. – военный атташе при посольстве СССР в Германии.
Участник советско-финляндской войны – начальник автобронетанковых войск 7‑й А.
С началом Великой Отечественной войны – помощник командующего по автобронетанковым войскам, с января 1924 г. – заместитель командующего войсками по танковым войскам Северо-Западного фронта.
С января 1943 г. – начальник Главного автобронетанкового управления Красной Армии. После окончания Великой Отечественной войны генерал-лейтенант танковых войск. С января 1947 г. по ноябрь 1947 г. – начальник Военной академии бронетанковых и механизированных войск, затем вновь – начальник главного бронетанкового управления.
Награжден двумя орденами Ленина, тремя орденами Красного Знамени, двумя орденами Суворова II степени, Кутузова II степени, Красной Звезды, медалями.
Умер 6 сентября 1953 г. в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.