Родился 19 февраля 1895 г. в г. Пенза.
В службе с 1915 г. Участник Первой мировой войны. Матрос бригады морской авиации Балтийского флота, член бригадного комитета, член совета рабочих и солдатских депутатов, один из участников создания народного университета. Помощник начальника Центрального гидроавиационного склада. В 1917 г. – прапорщик по Адмиралтейству.
В 1917–1919 гг. наблюдающий и приемщик авиаимущества на заводах Петрограда и Пензы, в 1919 г. – районный наблюдающий на авиазаводе, помощник начальника Центрального склада морской авиации и председатель приемной комиссии отдела воздухоплавания Главного управления кадров (1919–1921 гг.), с декабря 1921 г. помощник начальника по учебной части школы рулевых и сигнальщиков морских сил Черного моря.
С марта 1922 г. на учебе в Военно-морской академии, минное отделение факультета военно-морского оружия, по окончании которого в апреле 1928 г. – июне 1929 г. – начальник минно-испытательной партии Кронштадтского завода Главного военного порта Морских сил Балтийского моря.
В июне 1929 г. – сентябре 1932 г. – член минной секции научно-технического комитета Управления морских сил Красной Армии. В 1931–1932 гг. – на учебе в Ленинградском высшем инженерно-педагогическом институте по специальности «Двигатели внутреннего сгорания».
С сентября 1932 г. – организатор и первый начальник Научно-исследовательского минно-торпедного института Военно-морского флота, которым руководил до февраля 1939 г. Руководитель работ по созданию первой отечественной электрической торпеды ЭТ-80, принятой на вооружение Военно-морского флота в 1942 г.
С февраля 1939 г. по декабрь 1941 г. – начальник минно-торпедного факультета Военно-морской академии им. К. Е. Ворошилова.
В период Великой Отечественной войны с 1942 г. прикомандирован к военной миссии СССР в Великобритании. С сентября 1943 г. заместитель главы этой миссии, инженер-контр-адмирал (18.04.1943 г.). Находясь за рубежом, принимал участие в обеспечении перехода наших военных кораблей в Мурманск, доставке военного снаряжения на судах союзных конвоев.
«Дисциплинирован в высшей степени, исключительно тактичный командир. Отлично знает свою специальность и ее совершенствует, добивается всеми путями знать по ней как можно больше. Работоспособный, энергичный, настойчивый. К порученной работе относится очень добросовестно, болеет за недостатки и всегда стремится их ликвидировать. Всю порученную работу выполняет аккуратно… Об этом командире можно сказать только хорошее. По миссии выполняет большую работу и выполняет хорошо».
«Инженер – контр-адмирал Брыкин Александр Евстратьевич дисциплинированный, грамотный и инициативный командир ВМФ. С 1942 года находится в загран. командировке и с обязанностями зам. главы военной миссии справляется. К работе относится добросовестно.
…Достоин награждения орденом Ленина.
Начальник разведуправления ВМФ контр-адмирал Воронцов».
С ноября 1945 г. член Центральной коллегии по тралению европейских вод и Восточно-Атлантической зональной коллегии. Начальник минно-торпедного факультета Военно-морской академии кораблестроения и вооружения им. А. Н. Крылова (октябрь 1946 г. – май 1948 г.). С мая 1948 г. – начальник минно-торпедного (с апреля 1951 г. – Главного) управления Военно-морских сил. А. Е. Брыкин являлся организатором завершающего этапа разработки и освоения первой отечественной самонаводящейся акустической торпеды САЭТ-50. В мае 1952 г. откомандирован в распоряжении АН СССР для работы в минно-торпедной секции, с мая 1955 г. председатель Морской Физической секции при Президиуме АН СССР.
В октябре 1964 г. – феврале 1965 г. – в распоряжении ГК ВМФ. В феврале-июле 1965 г. – исполняющий должность профессора-консультанта Ученого совета Военно-морской академии.
С июля 1965 г. инженер-вице-адмирал А. Е. Брыкин уволен в отставку. Жил в Москве. Умер 16.07.1976 г. Кремирован. Урна с прахом на Николо-Архангельском кладбище.
Награжден орденами Ленина (21.02.1945 г.), Красного Знамени (03.11.1944 г., 06.11.1947 г.), Нахимова II степени (21.07.1945 г.), Красной Звезды (22.01.1944 г.), медалями. Лауреат сталинской премии (1943 г.).