Философ, публицист. Родился в семье подьячего Троице-Сергиевой лавры. Окончил Троицкую духовную семинарию.
В 1755 поступил в Московский университет. Учился блестяще, уже в студенческие годы опубликовал ряд переводов и собственное богословское сочинение «Рассуждение о бессмертии души человеческой». В 1762 Аничков получает звание магистра, а с 1765 возглавляет кафедру философии и логики. В 1760–1770-е читает и публикует многочисленные математические курсы, в том числе переводы трудов известных европейских ученых. Философский курс первоначально читался им на латинском языке на основе немецких учебников, авторами которых были преимущественно последователи Х. Вольфа. С 1767 Аничков приступает к чтению курса на русском языке («Слово о том, что мир сей есть ясным доказательством Премудрости Божией и что в нем ничего не бывает по случаю». М., 1767).
В 1769 он представляет к защите диссертацию «Рассуждение из натуральной богословии о начале и происшествии натурального богословия». Однако защита не состоялась: в профессорской среде и в церковных кругах в диссертации усмотрели проявление вольнодумства и едва ли не атеизма (особое неудовольствие вызвали многочисленные цитаты из Петрония и Лукреция).
В 1770 Аничков начинает читать первый в России философский курс этики («учения о нравственности и этике»). В 1771 ему присуждают звание экстраординарного профессора, а в 1777 – звание ординарного профессора логики, метафизики и чистой математики. Аничков был постоянным членом Вольного Российского собрания при Московском университете.
В ряде сочинений 1770-х он последовательно следует принципам теистического миропонимания и критикует философские умозрения им не соответствующие: «О невещественности души человеческой и из оной происходящего ее бессмертия» (1777), «О превратных понятиях человеческих, происходящих из излишнего упования, возлагаемого на чувства» (1779) и др. Критика «крайностей» сенсуализма сочеталась с опытом опровержения также и рационалистических «увлеченностей». Так, например, учение Р. Декарта о врожденных идеях критиковалось им в трактате «Слово о свойствах познания человеческого и о средствах, предохраняющих ум смертного от разных заблуждений» (1770).
Умер Д. С. Аничков 30 апреля 1788 в Москве.
Слово о разных способах, теснейший союз души с телом изъясняющих // Избранные произведения русских мыслителей XVIII в. Т. 1. М., 1952.