1. Собственно, в качестве причастия настоящего времени… Т. е. отвечает на вопрос «какой?» («какая», «какие») и совпадает по времени с моментом речи или ситуации. Но, упрощая, можно сказать — в качестве прилагательного.
Например:
– The sleeping child – (какой?) Спящий ребёнок
– I'm looking at the girl writing a letter – Я смотрю, как девушка пишет письмо – Я смотрю на девушку, (какую?) пишущую письмо
2. Для формирования времён группы Continuous. Но по сути – то же самое прилагательное… Если дословно переводить предложение с английского…
Например:
– She’s sleeping – Она спит (она есть – какая? – спящая)
3. По сути, в качестве деепричастия.
Например:
– He sat in the armchair reading a newspaper – Он сидел в кресле, (делая что?) читая газету
Но, если включить воображение на полную катушку… :) – Он сидел в кресле – какой? – читающий газету – Тоже вроде прилагательное…