Пифагор I: Мысль и объект
Эфемерный Пифагор
Человек по имени Пифагор жил примерно в 570–495 гг. до н. э., но о нем известно очень мало. Или, вернее, о нем «известно» очень много, но бóльшая часть этих фактов наверняка ошибочна, потому что документальные свидетельства его жизни полны противоречий. В них сочетаются возвышенное, смешное, невероятное и даже полная нелепица.
Говорили, что Пифагор был сыном Аполлона, имел золотое бедро и светился. Возможно, он был сторонником вегетарианства, хотя вполне может быть, что все было наоборот. Среди его самых известных высказываний дурную славу приобрел запрет есть бобы, потому что «у бобов есть душа», хотя несколько ранних источников недвусмысленно отрицают, что Пифагор когда-либо говорил или верил во что-то подобное. Более определенно можно сказать, что Пифагор верил в переселение душ и проповедовал это учение. Существует несколько историй, которые подтверждают это, хотя каждая из них, конечно, вызывает сомнения. Согласно Авлу Геллию[4], Пифагор помнил четыре свои прошлые жизни, в том числе ту, в которой он был прекрасной куртизанкой по имени Алко. Ксенофан вспоминал, что Пифагор, услышав скулеж собаки, которую били, бросился остановить ее обидчика, заявив, что узнал голос умершего друга. Также Пифагор, как и святой Франциск столетия спустя, поклонялся животным.
Стэнфордская энциклопедия философии – кстати, бесплатный и чрезвычайно полезный сетевой ресурс – подытоживает все это в следующем виде:
В современности сложился известный образ Пифагора как ведущего математика и ученого. Тем не менее дошедшие из древности свидетельства говорят о том, что, хотя Пифагор был известен в годы своей жизни и даже 150 лет спустя после смерти, во времена Платона и Аристотеля, его слава не была связана с математикой или наукой. Он был знаменит как:
1) знаток того, что происходит с душой после смерти, считавший, что душа бессмертна и переживает многочисленные реинкарнации;
2) знаток религиозных ритуалов;
3) чудодей, у которого было золотое бедро и который мог быть в двух местах одновременно;
4) основоположник аскетического образа жизни, включающего в себя ограничения в пище, религиозные ритуалы и суровую самодисциплину.
Некоторые факты выглядят более ясными. Реальный Пифагор родился на греческом острове Самосе, много путешествовал и стал вдохновителем и создателем необычного религиозного движения. Его братство посвященных процветало в течение недолгого времени в Кротоне, в Южной Италии, и имело несколько ответвлений в других провинциях, пока не было повсеместно запрещено. Пифагорейцы организовывали тайные общества, вокруг которых сосредотачивалась жизнь братьев. Эти общины, включающие и мужчин, и женщин, способствовали появлению некого вида интеллектуального мистицизма, который казался современникам удивительным и великолепным, хотя и пугающе необычным. Их взгляды на мир сосредоточились вокруг молитвенного восхищения числами и музыкальной гармонией, которые они считали отражением глубинной структуры реальности. Как мы увидим далее, в какой-то мере это имело отношение к действительности.
Настоящий Пифагор
Снова приведем цитату из Стэнфордской энциклопедии:
Портрет Пифагора, который вырисовывается из этих свидетельств, показывает нам не математика, который приводит строгие доказательства, и не ученого, который проводит эксперименты, чтобы открыть природу естественного мира, а скорее, какого-то человека, который придает особое значение и приписывает особую роль математическим соотношениям, которые были известны и до него.
Бертран Рассел более лаконичен:
Это смесь Эйнштейна и Мэри Бейкер Эдди[5].
Для ученых, изучающих настоящую биографию Пифагора, самой большой проблемой является тот факт, что последователи Пифагора приписывали ему свои собственные мысли и открытия. Очевидно, так они надеялись одновременно придать вес своим идеям и улучшить репутацию Пифагора, чтобы развивать свою общину – ту, которую он основал. Таким образом, блестящие открытия в математике, физике, музыке, а также вдохновляющий мистицизм, плодотворная философия и чистая мораль были все связаны с образом одной богоподобной фигуры. Эта приводящая в священный трепет фигура и стала для нас настоящим Пифагором.
Нельзя сказать, что совершенно неприемлемо приписывать заслуги эфемерного Пифагора (оставшегося в истории) настоящему Пифагору, поскольку великие достижения в математике и физике, совершенные настоящим Пифагором, проистекали из образа жизни, на который мнимый Пифагор вдохновил своих последователей, и из общины, которую тот создал.
(Если угодно, вы можете провести параллели с тем, как по-разному складывается судьба других крупных религиозных деятелей при жизни и после.)
Благодаря Рафаэлю мы знаем, как мог выглядеть настоящий Пифагор. На цветной вклейке, на иллюстрации B мы видим, как он, окруженный почитателями, сосредоточенно записывает что-то в большой книге.
«Число есть сущность всех вещей»
Очень трудно разобрать, что же там пишет Пифагор, но мне нравится думать, что это какой-то вариант его фундаментального кредо:
«Число есть сущность всех вещей»[6].
Очень трудно понять сквозь разделяющую нас огромную пропасть во времени и пространстве, что же именно он имел в виду под этой фразой. Так что здесь нам придется дать волю своему воображению.
Теорема Пифагора
Начнем с того, что на Пифагора неизгладимое впечатление произвела теорема, впоследствии названная его именем. Впечатление было настолько огромным, что из-за этого открытия он нарушил принципы вегетарианства и заказал гекатомбу – ритуальное жертвоприношение сотни быков, за которым следовал пир. Это было сделано в знак благодарности музам.
Из-за чего же был весь шум?
Теорема Пифагора – это утверждение, касающееся прямоугольных треугольников, т. е. треугольников, имеющих угол, равный 90°, иначе говоря, прямой угол. Теорема гласит, что если построить квадраты на разных сторонах такого треугольника, то сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большего. Классический пример – это прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5, изображенный на илл. 1.
Илл. 1. Прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5, простейший случай теоремы Пифагора
Площади двух меньших квадратов составляют 32 = 9 и 42 = 16, как мы можем это увидеть, если в духе Пифагора подсчитаем количество маленьких квадратиков, на которые разбиты фигуры. Площадь большого квадрата составляет 52 = 25. И мы можем проверить: 9 + 16 = 25.
Сейчас теорема Пифагора знакома большинству из нас, хотя бы как смутное воспоминание из школьного курса геометрии. Но если вы услышите заново – ушами Пифагора, так сказать, – содержащееся в ней послание, вы поймете нечто потрясающее. Эта теорема гласит, что геометрия объектов воплощает скрытые численные отношения. Иными словами, она говорит, что Числами можно описать пусть не все, но по крайней мере нечто очень важное в физической реальности, а именно размеры и формы объектов, составляющих ее.
Позднее в этой медитации мы будем иметь дело с гораздо более продвинутыми и сложными концепциями, и мне придется прибегать к метафорам и аналогиям, чтобы передать их значение. Та особая радость, которую ученый находит, когда мыслит четкими математическими категориями, а точно определенные понятия идеально подходят друг к другу, теряется при такой передаче. Но сейчас у нас есть возможность испытать эту особую радость. Часть волшебства теоремы Пифагора состоит в том, что ее можно доказать, имея минимальную подготовку. Самые лучшие ее доказательства незабываемы, и воспоминание о них остается на всю жизнь. Они вдохновляли Олдоса Хаксли и Альберта Эйнштейна – не говоря уж о самом Пифагоре! – и, надеюсь, вдохновят и вас.
Доказательство Гвидо
«Так просто!»
Именно эти слова произнес Гвидо, юный герой рассказа Олдоса Хаксли «Молодой Архимед», описывая свое доказательство теоремы Пифагора. Доказательство Гвидо основывается на формах, изображенных на цветной вклейке (иллюстрация С).
Забава Гвидо
Давайте разберем то, что было очевидно для Гвидо с первого взгляда.
Каждый из двух больших квадратов, разделенных на части, содержит четыре цветных треугольника, и они одинаковы в обоих больших квадратах. Все цветные треугольники являются прямоугольными треугольниками, и все они имеют одинаковый размер. Будем считать, что длина самой короткой стороны есть a, следующей по длине – b, а самой длинной (гипотенузы) – с. Тогда легко заметить, что стороны двух больших квадратов имеют длину a + b, и далее, что эти два квадрата равны по площади. Таким образом, не вошедшие в треугольники части больших квадратов тоже должны иметь равные площади.
Но из чего состоят эти равные площади? В первом большом квадрате, слева, у нас есть синий квадрат со стороной a и красный квадрат со стороной b. Они имеют площади a² и b². Во втором большом квадрате, справа, у нас есть серый квадрат со стороной c. Его площадь равна c². Вспомнив то, о чем говорилось в предыдущем абзаце, мы можем прийти к выводу, что a² + b² = c².
А это и есть теорема Пифагора!
Доказательство Эйнштейна (?)
В своих автобиографических записках Эйнштейн вспоминает:
Помню, дядя рассказал мне о теореме Пифагора еще до того, как священная книжка по геометрии попала мне в руки. В результате многочисленных усилий мне удалось добиться успеха в «доказательстве» этой теоремы на основании подобия треугольников; таким образом мне казалось «очевидным», что соотношение сторон в прямоугольном треугольнике должно определяться одним из острых углов.
В этой записи действительно недостаточно деталей, чтобы с полной достоверностью реконструировать доказательство Эйнштейна, но ниже, на илл. 2, приведено мое наилучшее предположение. Оно претендует на правильность, поскольку является самым простым и самым красивым доказательством теоремы Пифагора. В частности, это доказательство делает совершенно понятным, почему именно квадраты сторон задействованы в этой теореме.
Илл. 2. Вероятная реконструкция доказательства Эйнштейна из автобиографических записок
Отполированная драгоценность
Мы начинаем с наблюдения о том, что прямоугольные треугольники, которые имеют общий угол φ, являются подобными друг другу в строгом смысле, т. е. вы можете перейти от одного к другому с помощью изменения масштаба (увеличения или сжатия). Кроме того, если мы изменим длину стороны треугольника, умножив ее на какой-либо коэффициент, то его площадь изменится в количество раз, равное квадрату этого коэффициента. Теперь рассмотрим три прямоугольных треугольника, показанных на илл. 2: всю фигуру и два треугольника, которые она включает в себя. Каждый из этих треугольников содержит угол φ, следовательно, они подобны. Вследствие этого их площади пропорциональны a², b², c² в порядке от самого маленького к самому большому. Но так как два меньших треугольника составляют большой треугольник, соответствующие площади также должны суммироваться, поэтому
И теорема Пифагора тут как тут!
Прекрасная насмешка
Прекрасная насмешка состоит в том, что теорема Пифагора может быть использована, чтобы подорвать его доктрину о том, что число есть сущность всех вещей. Такой возмутительный вывод следует из одного открытия пифагорейской школы, которое приписывали не Пифагору, а его ученику Гиппаcу. Вскоре после того, как он сделал это открытие, Гиппаc утонул в море. Не известно, была ли его смерть вызвана волей богов или волей пифагорейцев. Доказательство Гиппаcа очень хорошо продумано, но не является слишком сложным. Давайте с ним ознакомимся.
Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники, у которых два катета равны, т. е. a = b. Теорема Пифагора гласит, что 2 × a² = c².
Теперь предположим, что длины сторон а и с выражаются целыми числами. Если все вещи – числа, то лучше бы это было так! Но выясняется, что это невозможно. Если и а, и с – четные числа, мы можем рассмотреть подобный треугольник, составляющий половину от размера первоначальной фигуры. Мы можем продолжать уменьшать его каждый раз в два раза, пока не получим треугольник, где по крайней мере одно из значений (а или с) является нечетным.
Но какой бы выбор мы ни сделали, мы быстро достигнем противоречия. Вначале давайте предположим, что с выражается нечетным числом. Тогда c² также является нечетным. Но 2 × a² явно дает четное число, поскольку содержит множитель 2. Таким образом, у нас не получается равенства 2 × a² = c², как гласит теорема Пифагора. Противоречие!
Предположим тогда, что с выражается четным числом, – скажем, с = 2 × p. Тогда c² = 4 × p². Теорема Пифагора говорит нам (после того, как мы разделим обе части равенства на 2), что a² = 2 × p². Следовательно, а не может выражаться нечетным числом – по тем же причинам, что и выше. Противоречие!
Таким образом, все-таки не все вещи могут быть выражены целыми числами. Не может существовать никакого атома длины, из которого могут быть выведены все возможные длины как произведение целого числа на этот самый атом.
Кажется, пифагорейцы не представляли себе, что можно прийти к другому умозаключению и сохранить неприкосновенной идею о том, что все вещи есть числа. В конце концов, можно представить себе мир, где все пространство состоит из множества одинаковых неделимых частей. Например, мои друзья Эд Фредкин и Стивен Вольфрам продвигают модели нашего мира, основанные на клеточных автоматах, которые обладают именно этим свойством. И монитор вашего компьютера, изображение на котором состоит из точек света, называющихся пикселями, доказывает, что такой мир может выглядеть достаточно реалистично! Если рассуждать логически, справедливо было бы прийти к выводу, что в таком мире невозможно построить правильный равнобедренный прямоугольный треугольник. В нем обязательно что-то будет немного не так. Или прямой угол будет немного отклоняться от 90°, или катеты будут не совсем равны или – как на экране монитора – стороны такого треугольника будут не совсем прямыми.
Но такой подход не был близок греческим математикам. Они-то рассматривали геометрию в наиболее соблазнительной, непрерывной форме, где сосуществуют в точности прямые углы и точное равенство сторон. (Этот подход также оказался самым плодотворным для физиков, как мы увидим на примере Ньютона.) Чтобы утвердить такую точку зрения, грекам пришлось установить приоритет геометрии над арифметикой, потому что – как мы уже видели – целые числа не могут адекватно описать даже очень простую геометрическую фигуру. Таким образом, они отказались от буквы доктрины о том, что все вещи есть числа, но не от ее духа.
Мысль и объект
Истинная сущность кредо Пифагора – это не буквальное утверждение того, что мир должен воплощать целые числа, но оптимистичное убеждение в том, что мир должен воплощать красивые понятия.
Урок, за который Гиппас заплатил жизнью, состоит в том, что мы должны стремиться узнать у Природы, в чем состоят ее правила. В этом предприятии скромность является необходимой чертой. Геометрия не менее красива, чем арифметика. На самом деле она более естественно подходит для нашего мозга, который во многом нацелен на обработку визуальных образов, и большинство людей предпочитают именно ее. И геометрия не содержит в себе меньше идей, меньше чистой работы ума, чем арифметика. Большая часть древнегреческой математики, систематизированная в «Началах» Евклида, стремилась доказать именно то, что геометрия – это логическая система.
Продолжив нашу медитацию, мы обнаружим, что Природа изобретательна в своем языке. Она поражает наше воображение новыми видами чисел, новыми видами геометрических форм – и даже, в квантовом мире, новыми видами логики.