Даже трудно себе представить, что в один прекрасный день нежданно-негаданно на весь математический мир свалятся с неба довольно простые решения сразу более 20 знаменитых арифметических проблем, над которыми веками напрасно ломали голову не только самые выдающиеся учёные, но и бессчётное множество любителей математики.
Наверное, все подумают, что это какая-то шутка или подвох, но нет, все эти проблемы и их полные или частичные решения изложены именно здесь в этой маленькой книжке и каждый, у кого хватит терпения внимательно её прочитать, получит возможность убедиться, что это действительно так.
Впрочем, хорошо известно, что дьявол всегда прячется в деталях. Вот и здесь, если бы появились сразу все решения и в полном объёме, то никакой громкой научной сенсацией это бы не стало, а весь научный мир ничуть бы не удивился, а просто в недоумении развёл бы руками без всяких комментариев. Ведь настоящие решения, если они есть, всегда очень просты и понятны каждому, так чему же здесь удивляться-то?
Беда здесь лишь в том, что этот самый учёный мир не сделал бы никаких выводов относительно того, почему эти целых два десятка проблем наука веками не могла решить, прилагая даже очень большие усилия? Но так уж устроен этот наш учёный мир, в котором знаменитости появляются вовсе не от того, что они сделали для науки что-то выдающееся, как раз наоборот, исторически сложилось так, что особенно ценится именно то, что для невыдающихся умов выглядит очень трудно и малопонятно. Арифметика в этом смысле – это самая трудная наука, которую острословы относят к той области знаний, где величайшие математики могут демонстрировать степень остроты своего ума.
Однако у нас есть другое объяснение трудности арифметики, т.к. очевидно, что на самом деле такой науки просто не существует. Почему? Да очень просто, всё, что написано об арифметике, не имеет базовых начал. В частности, в работах Евклида очень основательно представлены базовые начала геометрии, поэтому имеется крайне мало геометрических проблем, которые веками никто не мог решить. Однако в тех же исследованиях Евклида есть задачи, относящееся к арифметике, но это в сравнении с геометрией очень маленькая доля и этого явно недостаточно для создания полноценной науки.
Если бы математики реально видели в этом отсутствии базовых принципов серьёзную проблему и стали бы проявлять к ней соответствующий интерес, то для них было бы очень уместно вспомнить об учёном, который был чуть ли не единственный за всю историю науки, кто реально занимался этой проблемой и это был Пьер Ферма.
Однако на математиков это имя почему-то действует как красная тряпка на быка. Похоже, что для них он выглядел как гасконский выскочка, любящий предлагать знатным вельможам простые на вид задачки, которые они, как ни старались, не могли решить. Вот такое не соответствующее действительности и сложившееся за века мнение о Ферма почему-то никак не может выветриться из голов большинства математиков. Во многом этому способствовало также и то обстоятельство, что никто из них ничего не знал о его биографии.
Её просто не было в течение двух веков после его смерти до тех пор пока в 1847 году не случился крах с доказательством Великой теоремы Ферма в рамках конкурса Французской академии наук при участии её членов Коши и Ламе. Видимо этот громкий случай произвёл на всех такое впечатление, что в 1880 году появилось издание с изложением того, что удалось собрать по биографии Ферма [16].
И вскоре после этого было начато издание полного собрания сочинений Ферма [9], продолжавшееся в период 1891 – 1922 гг. Однако двухвековая инерция представлений о Ферма всё-таки сохранилась и продолжает действовать до сих пор. Это и неудивительно, поскольку сама наука с точки зрения её организации и традиций, по существу, осталась прежней в том смысле, что она как будто бы есть, а на самом деле её нет.
В этом факте явно есть какая-то ненормальность, но, когда это становится повседневной действительностью, его просто никто не замечает. А вот Пьер Ферма это заметил, пусть даже не в полной мере осознанно, тем не менее, именно поэтому он стал феноменом в науке, который остался непонятым до сих пор.
В частности, это проявилось в том, что арифметические задачи Ферма воспринимаются учёными как высшей категории трудности, но, как мы увидим далее, это типовые задачи для обучения в обычной средней школе. Такой эффект появился только потому, что, в отличие от Диофанта, Ферма не давал к ним решений и, как это ни странно, он стал самым знаменитым математиком, а его задачи двигали науку вперёд, в то время как о Диофанте все уже давно забыли.
Конечно, сам Ферма вряд ли мог предполагать такой эффект, но у него это получилось вынужденно, поскольку он так и не смог стать профессиональным математиком, хотя сделал для этого всё возможное. Это общеизвестный факт, но он просто игнорируется на фоне необычайно высокого авторитета Ферма не только среди ведущих математиков, но и огромной массы его восторженных поклонников. Видимо поэтому одна из книг о творчестве Ферма так и называется Математическая карьера Пьера де Ферма (The mathematical career of Pierre de Fermat) [17], хотя никакой такой карьеры у него никогда не было.
Так случилось, что время жизни и деятельности Ферма совпало с переломным этапом истории, когда происходил медленный и очень болезненный переход к эпохе Возрождения после долгого периода ужасающего гнёта инквизиции, не терпящей передовой научной мысли и организовавшей во Франции массовое истребление протестантов-гугенотов католиками.
С учётом этого обстоятельства, появляется возможность объяснить такие факты и события, которые с позиций более позднего времени выглядят очень странными и непонятными. В частности, следует отметить, что в те времена, особенно для людей незнатного происхождения, было бы очень опасно иметь у себя дома даже совсем безобидные записки с формулами и вычислениями, которые могли бы трактоваться как очень опасные для их обладателей письмена еретического содержания.
Отец Пьера Домини́к Ферма (Dominique Fermat) был богатым купцом, но не имел дворянского титула. В 1601 году у него родился сын Пьер, о чём имеется запись в церковной книге, однако его мать Франсуаза Казнёв, (Françoise Cazeneuve), и её ребёнок умерли, не прожив после родов и трёх лет. Если бы ребёнок всё же выжил, то без знатного происхождения у него не было бы никаких шансов стать ни сенатором, ни тем более великим учёным. А когда после утраты первой жены Доминик женился на имеющей дворянские корни Клэр де Лон (Claire de Long), то это и обеспечило саму возможность появления будущей знаменитости [16].
Пьер Симон де Ферма, (Pierre Simon de Fermat), родился не в 1601, как это считалось до сих пор, а в 1607, (или в 1608), году [1] в местечке Бомон де Ломань недалеко от Тулузы. С детства он выделялся таким дарованием, что Доминик Ферма не жалел средств на его образование и отправил на обучение сначала в Тулузу, (1620 – 1625 гг.), а затем в Бордо и Орлеан (1625 –1631 гг.). Пьер не только хорошо учился, но и проявил блестящие способности, которые вместе с родственными связями по линии матери и финансовой поддержкой отца, дали ему все возможности получить лучшее образование по специальности юриста.
Во время учебы молодой будущий сенатор Пьер Ферма очень увлекался чтением научной литературы и так проникся идеями великих мыслителей, что и сам ощутил в себе стремление к научному творчеству. Для того, чтобы больше узнать о том, что его особенно интересовало, он овладел пятью языками и с упоением зачитывался трудами классиков того времени. В конечном итоге он заслуженно получил самое высокое образование, которое было возможно в те времена.
Если бы поддержка карьерного роста Пьера Ферма на том и завершилась, то и речи бы не могло быть о будущем сенаторе, т.к. даже простая адвокатская деятельность требовала в те времена высочайшего соизволения свыше. Отсюда становится понятно, почему решающим шагом в родительской опеке Пьера стала его женитьба в 1631 г. на Луизе де Лон, (Louise de Long), дальней родственнице (четвероюродной племяннице) его матери. Понятно, что такое решение никак не могло быть спонтанным, тем более что родственные браки могли заключаться только с разрешения Папы Римского.
И вновь деньги Доминика Ферма решили эту совсем непростую проблему. Отец Луизы был советником тулузского парламента и, будучи на службе у короля Людовика XIII, получил дворянский титул, поэтому у Пьера не было проблем с трудоустройством. Но вот рассчитывать на то, что дальше всё пойдёт легко и гладко, было бы заблуждением.
После окончания учёбы, женитьбы и начала работы действительность виделась Пьеру совсем не такой радужной. Серые будни суеты в зарабатывании средств на хлеб насущный шли день за днём и не оставляли никаких надежд на то, чтобы заниматься наукой. И тогда это было ещё очень большим благом иметь в рамках адвокатской деятельности возможности поддерживать хоть и не роскошное, но всё же безбедное житие в те тяжёлые для Франции времена.
Новая опасность для Пьера появилась неожиданно. Очередная эпидемия чумы унесла жизнь его тестя и это могло очень плохо отразиться на его судьбе. Однако к тому времени он уже сумел установить дружеские связи с другими сенаторами, что открыло ему дорогу в парламент и в итоге позволило обратить несчастье в свою пользу. С помощью изрядной порции денег Доминика он всё же сумел занять освободившуюся должность чиновника по приёму жалоб в кассационной палате Тулузского парламента.
Все пишущие о Пьере Ферма оценивают его карьеру как просто блестящую, но при этом упускают из виду одну очень существенную деталь. Именно такая вот карьера наглухо закрывает ему все даже малейшие возможности заниматься наукой. Они не учли то обстоятельство, что существовало королевское предписание, не допускающее на должности советников парламентов людей, занимающихся научными исследованиями, могущими противоречить Священному Писанию.
Но поскольку Пьер стал сенатором, то это и поставит большой жирный крест на его мечтах заниматься наукой на профессиональной основе. Этот крест он будет нести до конца своей жизни. Кроме того, как католик он не должен совершать ни одного смертного греха и обязан регулярно раз в году исповедоваться о совершённых им простительных грехах.
В качестве такого простительного греха Пьер сообщает на исповеди о своей умеренной праздности при чтении книг «Арифметика» Диофанта Александрийского и «Задачи занимательные и приятные, связанные с числами». Риск впасть в немилость при таком грехопадении был невелик, поскольку их издал абсолютно безупречный во всех отношениях Клод Гаспар Баше де Мезириак (Claude Gaspard Bachet de Méziriac), высокопоставленный учёный лингвист и будущий член Французской академии, учреждённой в 1635 году кардиналом Ришелье.
Здесь, конечно, возникнет вопрос о тайне исповеди. Но если даже в наше время по отношению к католической церкви этот вопрос выглядит очень уж наивно, то что же говорить о временах, когда верховными исполнителями королевской власти были кардиналы. Все священники были обязаны информировать власти о том, чем живут их прихожане и особенно чиновники на государственных должностях. Информация от священников также была под контролем, для чего на места направлялись уполномоченные проверяющие.
Оно и понятно, что Пьер не мог ожидать ничего хорошего от встречи с таким проверяющим, но выбора у него не было и он был готов смириться с полной невозможностью своей мечты. Но тогда он ещё не мог знать о том, что ему предначертана иная судьба и она решалась именно в этот момент. Трудно даже представить себе его изумление, когда прибывший контролёр священник Марéн Мерсéнн (Marin Mersenne) оказался… страстным любителем и знатоком математики!
Пьер воспринял это как высшее чудо, дарованное ему с небес самим Всевышним. Да и как иначе это можно было понять, ведь преподобный отец Мерсенн сумел чудесным образом организовать для него возможность переписки с элитарными представителями французской творческой аристократии, о чём прежде он не мог и мечтать. В список его респондентов по переписке входили кроме Марена Мерсенна, ещё Жак де Бильи, Рене Декарт, Блез Паскаль, Жан Пьер Роберваль, Френикль де Бесси, Андре Жюмо де Сен Мартен, Пьер де Каркави, Христиан Гюйгенс, Джон Валлис и др.
Проверку Пьер прошёл блестяще, когда он сумел решить по просьбе Мерсенна несколько задач и в частности быстро вычислить некоторые из так называемых совершенных чисел, причём таких, которые прежде были неизвестны, и вряд ли кто-то другой мог бы решить, или хоть как-то справиться с этими задачами.
Историки в своих исследованиях видят только чистую случайность в совпадении интереса к числам Мерсенна и Ферма, а самого Мерсенна они представляют, как некоего чудака, действующего по собственной прихоти. Однако в реальной истории так не бывает и здесь должно быть более разумное объяснение событий. В этом смысле было бы куда более логично полагать, что Мерсенн был не более чем исполнителем некоего указания свыше, и т.к. он был выходцем из церковной знати, то такое указание мог ему дать только один человек.
Это был не кто иной, как кардинал Арма́н Жан дю Плесси́, герцог де Ришелье́ (Armand-Jean du Plessis, duc de Richelieu)! Отсюда получается, что деятельность созданного Мерсенном кружка учёной знати не могла быть лишь его инициативой, а была санкционирована высшей властью того времени, иначе всему этому делу не дали бы развернуться, либо оно было бы свёрнуто вместе с кончиной Мерсенна в 1648 г. Однако его детище продолжало долго и успешно функционировать вплоть до создания Французской академии наук в 1666 году.
Заветный дворянский титул Ферма получил только через 17 лет прилежной службы в 1648 году, став членом палаты эдиктов, которая регулярно собиралась в городке Кастр недалеко от Тулузы. Однако это повышение по службе лишь увеличило его нагрузку на работе и ещё более ограничило его возможности заниматься наукой.
Но, как это ни парадоксально, в этой жизненной драме отчётливо видится воистину божественный промысел, возложивший на сенатора Пьера де Ферма особую миссию, нацеленную на то, чтобы уберечь науку от разрушения. В том раннем возрасте она ещё виделась прекрасным деревом, которое, разрастаясь, становилось всё более ценным и привлекательным. Но по мере развития науки присущие ей черты совершенства и гармонии стали потихоньку увядать, а образ прекрасного творения разума всё более походить на беспомощного уродца.
Эти первые признаки неблагополучия ещё тогда были замечены Ферма, т.к. его полемики с коллегами по переписке возникали на пустом месте. Оказалось, что у этого деревца почти нет корней. Это означает, что у науки нет достаточно прочного фундамента и ей грозит участь Пизанской башни. Тогда, чтобы это роскошное здание науки служило по назначению, все творческие силы надо будет задействовать не на развитие, а на то, чтобы не допустить его полного обрушения.
Для Ферма эта тема выходила за рамки его физических возможностей, и он рассматривал её только с точки зрения обобщения методов решения разных арифметических задач. Ведь арифметика – это не какая-то отдельная наука, а основа основ для всех других наук. Если нет арифметики, то и вообще никакой науки тоже нет. В этом смысле арифметические задачи, предложенные Ферма, получают особую значимость. Их особенность состоит в том, что они приучают мыслить общими категориями, т.е. находить методы, регламентирующие возможности вычислений при решении очень широкого круга задач.
Но как же мог появиться в истории науки такой удивительный феномен, когда столь знаменитым стал человек, который даже не был профессиональным учёным? Видеть здесь лишь случайное стечение обстоятельств было бы явно неразумно. Куда более логично исходить из того, что на каком-то этапе жизни Ферма стал осознавать, что в случае осуществления его планов публикации своих научных исследований, в лучшем случае его ожидает судьба Диофанта, уже тогда почти забытого. О Ферма, если и вспоминали бы, то только на фоне уничижительных и даже карикатурных мнений «экспертов».
Да оно, собственно, всё так и произошло, но эффект получился обратный. Никто и предположить не мог, что, благодаря Ферма, увлечение математикой примет такой массовый характер. Чем больше его оппоненты стремились его принизить, тем более популярным становилось его имя. Даже вымышленные писательской фантазией А. Дюма подвиги Д’Артаньяна были просто детскими шалостями в сравнении с тем, что в реальности совершил его земляк тулузский сенатор Пьер де Ферма.
И всё-таки, как же этот провинциальный судейский чиновник смог достичь такого потрясающего результата, да ещё в условиях фактического запрета на профессию? Да очень просто, он же юрист, а потому и делал всё исключительно и только легально, поэтому и все работы, в которых его оппоненты могли усмотреть письмена «еретического содержания», оставил при себе. К тому же, он был не только человек выдающегося ума с немалым жизненным опытом, но ещё и гасконец. А хорошо известно, что люди такого типа даже очень серьёзные дела могут оборачивать в этакую непритязательную и шутливую обёртку.
Вот мол почитывал иногда на досуге «Арифметику» Диофанта и на её полях делал пометки с некоторыми идеями по примеру уважаемого и достопочтенного Клода Баше, который выполнил при подготовке в 1621 году издания этой книжки не только латинский перевод, но и добавил в неё свои собственные замечания.
Ферма поступил точно также, т.е. подготовил к изданию как бы не свои работы, а эту же «Арифметику» Диофанта с теми же самыми замечаниями Баше и всего лишь добавил сюда 48 своих замечаний. Всё было подготовлено так, что каких-либо претензий к этой его книге или к нему самому, достопочтенному сенатору Пьеру де Ферма, просто и быть не могло. Ведь он даже сообщил об этом на исповеди и тем самым способствовал тому, что о его увлечении узнал аббат Мерсенн, выполнявший в этой области знаний исключительно важное государственное поручение самого его высокопреосвященства кардинала Ришелье.
Но когда книга вышла в свет, то, в отличие от прежних изданий Диофанта, она всколыхнула весь учёный мир. Те самые замечания, сделанные якобы мимоходом на полях книги Диофанта, оказались настолько ценными, что позволили учёным очень заметно развивать науку, используя новые идеи Ферма в течение сотен лет. И всё было бы просто превосходно, если бы не вот эта Последняя теорема Ферма, не поддающаяся в учёных кругах никакому уразумению.