В поисках общей теории роста человечества - читать онлайн

Введение

Популяция – это совокупность особей одного вида, обладающая общим генофондом и проживающая на общей территории. Она является элементарной генетической единицей вида, первой надорганизменной биологической системой. Считается, что любая популяция способна к неопределенно долгому самостоятельному развитию.

Биотическим потенциалом вида называется показатель скорости роста численности особей этого вида при отсутствии ограничивающих факторов. Совокупность же таких ограничивающих рост популяции факторов называется сопротивлением среды.

Состояние равновесия между биотическим потенциалом вида и сопротивлением среды, поддерживающее постоянство численности популяции, называют популяционным гомеостазом. При его нарушении возникают колебания численности. Различают периодические и непериодические колебания численности популяции.

Обычное, нормальное состояние популяции – это гомеостаз с неизменной численностью, который поддерживается отрицательными обратными связями, обеспечивающими такой гомеостаз. Но в редких случаях численность популяции меняется и за короткий промежуток времени может значительно возрасти или уменьшиться. Этот редкий случай нарушения гомеостаза только и будет здесь нас интересовать.

Причем нами будут рассмотрены только законы роста: законы, по которым растет численность изолированной популяции, т. е. популяции более или менее отделенной в пространстве от других аналогичных совокупностей того же вида. Эти законы представляют для нас интерес в связи с законом роста численности населения Земли.

Идеализации

Построение математической модели какого-либо объекта, явления неизбежно требует принятия некоторых упрощений, идеализаций. Чем больше идеализаций, тем проще модель, тем удобней с ней работать и тем уже спектр явлений, который она способна описать.

С другой стороны, идя по пути усложнения модели, нужно иметь в виду, что даже максимально сложная, «все учитывающая» модель все равно остается всего лишь моделью и неспособна полностью описать явление, зато способна перенести львиную долю внимания исследователя с самого явления на абстрактный математический аппарат, его описывающий.

Поэтому в математическом моделировании существует золотая середина степени усложнения. В математической экологии эффективны простые модели с большим количеством идеализаций. Рассмотрим идеализации для модели роста изолированной популяции, т. е. такой популяции, взаимодействия в которой возможны только между представителями данной популяции [12]:

1. Постоянство внешних условий, т. к. прежде чем исследовать роль внешних воздействий следует проанализировать свойства идеальной, изолированной популяции, на динамику численности которой влияют лишь биотические факторы, причем только те из них, что связаны с внутривидовой деятельностью. Под постоянством внешних по отношении к растущей популяции условий будем понимать также и независимость роста (при прочих равных условиях) от того, на каком участке шкалы физического времени он наблюдается. В уравнениях такого роста не должно, следовательно, явным образом присутствовать время, т. е. они должны быть автономными.

2. Целочисленное число особей популяции заменяется для удобства на непрерывную, действительную величину.

3. Рассматриваемая популяция считается однородной, т. е. полностью пренебрегается ее половой, возрастной, генотипической и какой-либо другой структурированностью[55].

4. Рост численности любой популяции есть, строго говоря, случайный процесс, который должен описываться на языке теории вероятностей. Но при исследовании изменения численности популяций с большим числом членов естественно описывать эти изменения на языке средних величин.

5. В случае неперекрывающихся поколений в дискретных моделях принимается синхронное размножение у всех организмов при достижении определенного возраста. Что хотя и не соответствует действительности, позволяет упростить математический аппарат, причем без отрицательного влияния на результат. Момент появления новой особи в непрерывных моделях считается равномерно распределенным на отрезке времени, равном среднему времени жизни особи.

6. В случае перекрывающихся поколений скорость изменения численности может определяться численностью не в текущий, а в некоторый предшествующий момент времени. Динамика изменения численности описывается здесь уравнениями с запаздывающим аргументом. Такое запаздывание, в случае если оно сравнимо или превосходит характерное время системы, может приводить к колебаниям численности и даже к резонансам: колебаниям с нарастающей амплитудой. Пренебрежение таким запаздыванием – еще одна часто принимаемая идеализация.

7. Исследуемая система предполагается либо локальной, т. е. имеющей достаточно малые размеры (для таких систем понятия численности популяции и ее плотности являются синонимами), либо постулируется полное перемешивание, когда особь за время жизни успевает побывать на всей территории обитания популяции. Для человеческого общества предполагается его информационная связность на всем протяжении роста. При исследовании локальных или сосредоточенных сообществ изучается исключительно временна́я динамика. На самом деле сосредоточенных сообществ не существует, а реальная протяженность ареала обитания популяции может в сотни и тысячи раз превышать величину перемещения особи за поколение. Модели пространственно-распределенных сообществ включают анализ как временно́й, так и пространственной организации этих сообществ. Они описываются уравнениями типа диффузия-кинетика, решение которых зачастую сопряжено с непреодолимыми математическими трудностями.

8. Рост численности изолированной популяции предполагается свободным, никем и никак не управляемым ростом, происходящим в естественных природных условиях.

Условно все идеализированные модели биологических систем можно разделить на три типа: регрессионные, качественные и имитационные [11].

А. Регрессионные зависимости – это не более, чем формулы, описывающие связь различных характеристик системы, которые при этом не претендуют на какой-либо каузальный, физический или биологический смысл. Для построения регрессионной модели достаточно статистически достоверных наблюденных корреляций между переменными или параметрами системы.

Б. Качественные (базовые) модели. В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, позволяющими описывать целый спектр природных явлений. Их задача качественно описать систему, в данном случае растущую изолированную популяцию. Базовые модели обычно представляют собой системы дифференциальных или разностных уравнений относительно небольшой размерности, допускающие аналитическое и качественное компьютерное исследование. Эти модели позволяют ответить на вопросы: возможны ли в системе колебания, переключения режимов функционирования, пространственно-неоднородные решения, квазистохастическое поведение. При этом важно понимать, что истинные причины наблюдаемого поведения популяции, особенности роста ее численности могут никак такой моделью не отражаться.

В. Имитационные модели. По меткому выражению Р. Шеннона имитационное моделирование – это нечто промежуточное между искусством и наукой. Суть его заключается в исследовании сложной математической модели с помощью вычислительных экспериментов и обработки результатов этих экспериментов. Как правило, создатели такой имитационной модели пытаются максимально использовать всю имеющуюся информацию об объекте моделирования как количественную, так и качественную. При этом модель может получиться разной у различных авторов, поскольку точные формальные правила ее построения отсутствуют.

Целью нашего исследования является построение качественной (базовой) обобщенной модели роста численности изолированной популяции с учетом всех обозначенных выше идеализаций.

Каузальный анализ законов роста

Каузальный анализ описывает явление на языке причинно-следственных связей. В его основе лежит стремление понять это явление на основе логики типа: «X вызывает Y». Факторы, которые вызывают какие-то изменения, называются независимыми переменными, в то время как переменные, изменяющиеся под действием этих факторов, называются зависимыми.

В общем случае присутствие причинно-следственных связей означает, что наличие изменений меняет вероятностные характеристики последствий. В чем задача каузального анализа роста численности популяции? Она заключается в поиске причин, по которым ее численность растет по тому или иному закону.

Самый простой в каузальном смысле рост – это экспоненциальный рост. Закон экспоненциального роста считается первым законом экологии популяций. Его можно уподобить первому закону Ньютона в механике. Когда на тело не действуют никакие другие тела – оно сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения. (Скорость растет, убывает, меняется по направлению только тогда, когда на тело действует сила.) Когда на растущую в условии изобилия ресурсов изолированную популяцию не оказывают воздействия никакие внутренние или внешние ограничения – она растет экспоненциально. Отклонение от экспоненты и, в частности, неизменная численность возможно лишь при наличия сопротивления (ускорения) со стороны среды обитания.

Причина экспоненциального роста без смертности (для делящихся микроорганизмов) заключена внутри черного ящика процесса репродукции элементарной ячейки популяции. И прирост численности здесь будет всегда пропорционален самой численности. Для популяций животных (многоклеточных организмов) разность между приростом численности за счет рождаемости и ее убылью по причине смертности за единицу времени – также пропорциональна самой численности.

В обоих случаях – это строгое равенство при выполнении принятых выше идеализаций, т. к. рост популяции здесь представляет суперпозицию не оказывающих взаимного влияния процессов. И если, скажем, увеличить численность в два раза, то и ее естественный прирост также должен возрасти в два раза. Поэтому экспоненциальный рост популяции, происходящий в естественных природных условиях, информационно и каузально прост и его можно считать причинно-самодостаточным, а сам закон экспоненциального роста – причинным.

Причинным в том смысле, что рост популяции здесь может быть представлен как автокаталитический, самоускоряющийся процесс, причиной которого является положительная обратная связь между численностью и естественным приростом, природа которой заключена в простом росте (по закону геометрической прогрессии на последовательности интервалов равной длительности) некоторого числа параллельных, в первом приближении не взаимодействующих элементарных продукционных процессов.

Самодостаточным в том смысле, что никаких других причин у этого роста кроме тех, что заключены внутри черного ящика процесса репродукции элементарной составляющей популяции – здесь нет. Если же учитывать влияние взаимодействий между членами популяции, то линейное уравнение экспоненциального роста необходимо трансформировать в нелинейное.

Примеры таких уравнений мы приведем ниже. При этом прирост численности на особь, элементарную ячейку размножающейся популяции, будет зависеть от ее общей численности.

Возможны два каузальных подхода при описании такого нелинейного роста.

1. В первом подходе причина роста ищется исключительно в связях между членами популяции, при этом полностью пренебрегается составляющей прироста без учета взаимодействий, т. е. индивидуальной способностью к размножению элементарной составляющей популяции, которая при отсутствии взаимодействий вызывает экспоненциальный рост. Так, в моделях роста численности населения Земли полагают, что мировой естественный прирост пропорционален квадрату полной численности населения Земли при любых значениях этой численности.

2. Во втором подходе прирост ищется в виде суммы двух составляющих, первая из которых отвечает за рост без взаимодействий. Вторая же составляющая естественного прироста, положительная или отрицательная, возникает по причине воздействия на него со стороны внутрипопуляционных связей.

Такой дополнительный положительный прирост за счет рождаемости, возникающий по причине взаимодействия между членами популяции, возможен лишь при том условии, что биотический потенциал системы полностью не исчерпан, т. е. если существует возможность увеличить приплод с особи за время ее жизни.

Другая часть такого дополнительного прироста возникает за счет изменения (положительного или отрицательного) уровня смертности. Оба эти воздействия так трансформируют, искажают естественный экспоненциальный рост, что превращают его, например, в рост логистический или даже в гиперболический.

Приведем примеры. Если рассматривать размножение колонии микроорганизмов в максимально благоприятных условиях, то никакие взаимодействия между этими организмами ускорить этот, уже и без того максимально быстрый экспоненциальный рост, очевидно, не могут, и рост будет экспоненциальным, таким же как и при отсутствии взаимодействий. Но могут его замедлить, если, например, среда обитания не безгранична и плотность популяции будет расти. Тогда закон роста будет нелинейным, например, логистическим.

Если же рассматривать рост численности населения Земли и исходить, к примеру, из модели Коротаева (где экспоненциальной составляющей прироста пренебрегается), то связи между членами социума, порождающие полезные инновации и способствующие их распространению на всю Мир-систему, преобразуют простую положительную обратную связь между естественным приростом и численностью в ПОС второго порядка, которая работает при любых численностях, во все времена и провозглашается единственной причиной гиперболического роста.

Второй подход представляется более логичным, т. к. величину связи между особями растущей популяции вряд ли можно считать неизменной на протяжении всего роста. Здесь разумно предположить, что зависимость эта будет тем сильнее, чем больше общая численность (плотность) популяции. Когда же эта численность невелика – рост должен быть экспоненциальным. Иначе говоря, если в нелинейном уравнении, описывающем рост популяции, численность устремить к нулю, оно должно превращаться в линейное уравнение Мальтуса.

Такой рост, подчиняющийся нелинейному закону, будет каузально более сложен, чем экспоненциальный рост, поскольку его причина заключена как в индивидуальной способности к размножению каждой элементарной репродуцирующей себя ячейки популяции, так и во взаимодействиях между ее членами. И такой нелинейный закон роста может быть назван причинным лишь в том случае, если он полностью определяется нелинейной обратной связью между численностью и естественным приростом.

В отличие от причинно-самодостаточного закона экспоненциального роста (dN/dt = aN) здесь уже недостаточно просто записать уравнение роста, нужно еще дать описание, объяснение тем нелинейным обратным связям, которые этот рост вызывают или на этот рост влияют. В этом сложность нелинейного роста и его каузального анализа.

Обычно, когда говорят о растущей изолированной популяции, то имеют в виду свободный рост, т. е. рост никем и никак не управляемый, не испытывающий никаких внешних воздействий и происходящий в естественных природных условиях. Причины свободного роста изолированной популяции заключены в двух процессах: процессе размножения каждой элементарной ячейки популяции и процессе взаимодействия между всеми этими ячейками.

Если же существуют какие-то факторы, целенаправленно воздействующие на рост, т. е. как-то его изменяющие, регулирующие, то такой рост следует считать управляемым. Примером управления ростом с помощью изменения его условий служит процесс выращивания микроорганизмов в питательной среде, где экспериментатор может менять температуру, состав питательной смеси и тем самым влиять на скорость деления микроорганизмов. Т. к. характерное время деления здесь мало, можно исследовать этот рост в широком диапазоне условий.

Другой пример – рост численности домашних животных. Здесь воздействие может варьироваться в широких пределах: от простой защиты от хищников и обеспечения кормом на пастбищах до постройки специально организованных ферм, где создаются все необходимые условия для роста и размножения. Вмешиваясь в ход природных процессов, человек может остановить исчезновение редких животных и восстановить их былую численность.

Все это примеры внешнего, не автономного воздействия на рост популяции. Но существует еще одна возможность: управление ростом изнутри, через связи, существующие между членами популяции. И здесь примером может служить рост человеческих сообществ. Можно целенаправленно с помощью специально созданных программ, без всякого оружия, только информацией – свести на нет, уничтожить целый народ.

И наоборот, используя разнообразные программы жизнесбережения, работающие изнутри, повысить естественный прирост целого этноса. В дальнейшем мы покажем, что если численность изолированной рассредоточенной популяции и скорость ее роста связаны нелинейно, то причиной такой связи может и не быть ПОС между приростом и численностью (N<—>ΔN/Δt) или ООС между этими величинами, а закон, их связывающий, может и не быть законом причинным. Такой нелинейный закон роста популяции может описывать всего лишь функциональную, непричинную связь между ее численностью и естественным приростом. Т. е. представлять собой не более, чем регрессионную зависимость, не претендующую на какой-либо каузальный смысл.

Возможна такая механическая аналогия. Малые свободные колебания математического маятника – колебания гармонические. Если приложить к нему вынуждающую силу, меняющуюся со временем, колебания станут вынужденными. Если вынуждающая сила мала, то вдали от резонанса вынужденные колебания будут мало отличаться от свободных. Если же внешнее возмущающее воздействие велико, то закон движения маятника может быть в принципе каким угодно в пределах, которые определяются массой груза, длиной нити и силами трения.

Итак, рост популяции может быть как свободным, так и управляемым. Управляемый рост отличается от свободного наличием управляющей системы, стоящей над популяцией и способной изменять ее свободный рост в тех границах, которые определены биотическим потенциалом популяции и сопротивлением среды.

Например, превратить естественный экспоненциальный рост в рост гиперболический. Поскольку управляемый рост может быть осуществлен только достаточно сложной системой управления, как минимум обладающей памятью, то момент детерминации может быть расположен здесь позднее во времени того момента, когда происходит детерминированное событие.

Понимать это надо так: управляющая система непрерывно контролирует текущую численность популяции и воздействует на внутрипопуляционные связи таким образом, чтобы сделать максимально вероятной последовательность ранжированных событий, каждое из которых заключается в достижении численности популяции в определенный момент времени в будущем некоторого предустановленного значения.

Задача каузального анализа в таком случае заключается в том, чтобы найти целевой, телеологический каузальный закон, управляющий ростом, и механизм его реализации.

Модель степенного роста, или рассказ о том, как не растут популяции

Закон степенного роста (убывания) какой-либо величины во времени – это зависимость вида y = C(t – t₀)ⁿ, где показатель n не равен нулю или единице и может быть положительным, отрицательным, целым или дробным.

Может ли численность роста какой-либо популяции на каком-то этапе своего роста описываться степенным законом? Это возможно лишь при том условии, что на этом этапе прирост численности за небольшой промежуток времени будет пропорционален некоторой степени численности, причем показатель этой степени не должен быть равен единице.

В таком случае вопрос можно сформулировать так: может ли скорость роста численности популяции выражаться в виде степенного закона (3) рис. 1?

Рис. 1. Степенной и экспоненциальный законы роста численности популяции.

При разных значениях параметра m закон (3) описывает параболический, экспоненциальный и гиперболический рост. Возьмем для определенности значения m = 0, 1, 2, которые соответствует трем наиболее часто встречающимся в природе законам: линейному, экспоненциальному и гиперболическому.

Из них только закон экспоненциального роста имеет встроенный масштаб времени или характерное время удвоения численности популяции, что ясно уже из соображений размерности, т. к. показатель экспоненты представлен в виде произведения константы α, умноженной на время t.

Следовательно, величина обратная α, определяющая этот встроенный масштаб времени, должна иметь размерность времени, поскольку в показателе экспоненты может стоять только безразмерная величина.

Термин «встроенный масштаб времени», возможно, является не совсем удачным, поскольку закон экспоненциального роста не содержит в себе какого-то единственного масштаба, в котором можно измерять время протекания процесса. А содержит постоянную времени через которую этот масштаб: время удвоения численности, какое-то другое характерное время, может быть выражен.

Природа экспоненциального роста такова, что если взять произвольную точку на оси времени и откладывать от нее интервалы произвольной, но равной длительности, то численность популяции на последовательности этих интервалов будет расти по закону геометрической прогрессии.

Что в корне отличает его от степенного параболического или гиперболического роста. Для которых не существует встроенного масштаба времени – неизменного времени удвоения численности, т. к. для них это время либо возрастает, либо убывает.

И которые в силу своих особенностей не могут описывать рост какой-либо популяции, при том условии, конечно, если считать, что они описываются причинными законами, т. е., если полагать, что они порождаются нелинейной положительной обратной связью (НПОС) между численностью и ее естественным приростом. НПОС, причины которой полностью определяются связями (и только связями, а не индивидуальной способностью к размножению) между членами популяции и которая может быть понята́ и описана.

В самой природе степенного роста популяции есть что-то неестественное: трудно себе представить, чтобы прирост численности был пропорционален не самой численности, а какой-то ее степени. При экспоненциальном росте прирост численности популяции пропорционален самой численности. Если удвоить численность, то за этот же промежуток времени удвоится и ее прирост.

Но если прирост зависит от численности по степенному закону – это не так. В таком случае можно попробовать постулировать зависимость коэффициента прироста численности от численности по степенному закону. Открытие закона гиперболического роста населения Земли описывает Л.М. Гиндилис:

Рис. 2. Пропорциональность коэффициента мирового естественного прироста общей численности народонаселения позволяет объяснить гиперболический рост населения Земли.

Здесь Л.М. Гиндилис допускает две серьезные ошибки. Первая заключается в том, что, отождествляя закон гиперболического роста численности населения мира с причинным степенным законом квадратичного роста (который утверждает, что причина гиперболического роста заключается в ПОС второго порядка между скоростью роста и численностью), он приписывает Фёрстеру открытие, которого тот не совершал.

Исследование Фёрстера и его коллег касается только зависимости численности от времени, которая была получена при обработке большого количества данных по методу наименьших квадратов. Как в точности, если не говорить о средних величинах, зависела при этом скорость роста численности от численности и от времени, и как зависел коэффициент прироста от численности – остается неизвестным.

На самом деле эмпирическая зависимость численности от времени, открытая Фёрстером и его коллегами, могла быть получена и при другом, отличном от закона квадратичного роста, дифференциальном причинном законе роста. Неясно даже может ли вообще гиперболический рост населения мира, учитывая непонятную, парадоксальную системность человечества, без которой он никогда бы не проявился, быть объяснен с помощью законов с простой преддетерминацией. Связь между скоростью роста и численностью в таком случае в период гиперболического роста могла и не быть причинно-следственной.

Вторая ошибка вполне логична и заключается в том, что автор подменяет здесь проблему гиперболического роста численности населения Земли на проблему линейной зависимости коэффициента мирового естественного прироста от численности.

Если коэффициент естественного прироста для каждого села, города, страны, региона – един и пропорционален численности населения мира: α = α_oN, то сложив эти приросты (dN_i = α_oN*N_i) по всему земному шару, и вынеся α_oN за скобку, получим закон квадратичного роста dN/dt = α_oN(N₁ +…+ N_n) = α_oN², а проинтегрировав его – гиперболу Фёрстера.

Таким образом, Л.М. Гиндилис одним махом решает все проблемы, связанные с аномальной системностью человечества, над которыми безуспешно бьются все исследователи гиперболического роста. Беда здесь только в том, что такая зависимость коэффициента глобального естественного прироста от численности представляется совершенно невозможной по следующей причине:

В таком случае приходится постулировать единый и синхронно растущий по закону простой пропорции коэффициент прироста для населения всех стран и народов, когда-либо населявших Землю, т. е. растущий пропорционально не численности каждого такого выделенного народа или страны, а мира в целом, что представляется совершенно немыслимым.

Следовательно, вопрос здесь не в том, почему относительный глобальный естественный прирост пропорционален численности населения мира. Это неправильно поставленный вопрос. Само представление о том, что гиперболический рост населения Земли может быть объяснен с помощью причинного степенного закона квадратичного роста является ошибочным.

Рост популяции, выраженный степенным законом или каким-либо другим нелинейным законом, не может быть полностью описан лишь с помощью самого этого закона, т. к. такой закон сам по себе не может объяснить информационную связность растущей популяции, взаимозависимость роста всех ее частей.

Кроме того, рост популяции, происходящий по степенному закону, имеет и свои, специфические, присущие только ему особенности, не позволяющие принять этот закон в качестве причинного закона для описания роста какой-либо реально существовавшей в природе популяции. Перечислим все эти аномальные особенности параболического и гиперболического роста:

1. Оба они имеют особую, выделенную на оси времени точку: момент начала или завершения роста, численность популяции в которой равна нулю для параболического и бесконечности для гиперболического роста. Поскольку такое в реальности невозможно, да и само наличие таких особых точек на шкале роста должно иметь какое-то объяснение, следует признать, что непрерывная модель степенного роста как процесса с простой преддетерминацией изначально содержит в себе внутренние противоречия.

2. Хотя численность популяции при степенном, так же как и при экспоненциальном росте изменяется по закону геометрической прогрессии, но рост этот происходит на последовательности интервалов времени расширяющихся (параболический рост) или сжимающихся (гиперболический рост) по закону прогрессии от/к особой точки/е этого роста.

Это увеличение (уменьшение) времени удвоения численности популяции выполняется при отсчете времени (прямом или обратном) только от этой точки и ни от какой другой, что еще раз подчеркивает ее выделенность. Такой рост, в отличие от экспоненциального роста, является существенно неоднородным во времени процессом. Если взять два равных отрезка времени, различающихся своим положением на шкале роста, то рост численности, в том числе и размножение каждой единичной особи популяции, будет происходить на них совершенно по разному.

Рассмотрим, например, простой гиперболический рост на последовательности отрезков времени, сокращающихся по закону прогрессии со знаменателем 1/2 (так росло население Земли). На каждом таком отрезке время удвоения численности уменьшается вдвое по сравнению с предыдущим, что говорит о том, что особи популяции будут здесь более плодовитыми и/или потери от смертности меньшими[56].

Что совершенно немыслимо для любой популяции, когда-либо существовавшей в природе, время удвоения численности которой в благоприятных и неизменных условиях есть всегда величина постоянная. Поскольку это время по каким-то причинам при каждом таком удвоении численности уменьшается ровно в два раза, то это должно иметь какое-то объяснение; иначе говоря, закон степенного роста, в отличие от закона экспоненциального роста, законом причинно-самодостаточным уже не является. Что это означает?

Это означает то, что в отличие от естественного экспоненциального роста, причина которого заключена в положительной обратной связи между численностью и ее естественным приростом (природу которой не нужно никак дополнительно обосновывать), причиной аномального степенного роста для автономно растущей, никем и никак не управляемой сосредоточенной популяции являются связи (взаимодействия) между членами этой популяции, влияние которых на рост численности требует специального исследования.

3. Закон степенного роста – закон нелинейный и потому прирост численности на особь (элементарную репродуктивную ячейку популяции), за некоторый промежуток времени Δt, равен ΔN/N = αΔtN^m-1 и зависит от полной численности популяции, что предполагает при отсутствии четко выраженных границ среды обитания популяции ее глобальную системность, информационную связность во все времена.

Что представляется чрезвычайно жестким, по сути, невыполнимым требованием для любой рассредоточенной популяции, плотность которой не растет или растет незначительно при увеличении ее полной численности. И что уже совершенно непонятно, так это то, что относительный прирост ΔN/N за время Δt неограниченно возрастает, когда численность популяции приближается к особой точке своего роста (2), рис 1.

С учетом всего сказанного следует признать, что степенной рост численности изолированной популяции не может считаться свободным и не может быть описан причинным степенным законом, т. е. законом, описывающим нелинейную ПОС между численностью и естественным приростом.

Этот рост никак не может быть вызван имманентно присущей способностью к размножению любой элементарной ячейки популяции, т. к. такой экспоненциальный рост происходит по закону геометрической прогрессии на интервалах равной длительности. Естественные, свободные, не индуцированные какой-либо управляющей системой связи между членами популяции, также никак не могут вызывать такой рост.

Но степенной рост популяций никогда и не встречается в природе. Все когда-либо существовавшие на Земле виды в условиях избытка ресурсов увеличивали свою численность по экспоненциальному, а не по степенному закону.

Это так для всех видов: от амебы до слона. Для всех – кроме человека. Исследования последнего времени показали, что численность человечества росла по гораздо более быстрому, в завершающей своей стадии, гиперболическому закону. И результаты налицо: нас в десять тысяч раз больше, чем наших ближайших родственников – человекообразных обезьян. Причина такого аномального роста не может быть объяснена, как мы только что показали, причинным законом квадратичного роста.

С.П. Капица, однако считает, что степенной причинный закон может исчерпывающе описывать рост популяции, т. е. делать это ничуть не хуже, чем закон экспоненциального роста:

Это «обоснование» применимости причинного степенного закона с простой преддетерминацией для объяснения гиперболического роста численности человечества представляется ошибочным. Автор здесь специально напускает туман, т. к. обосновать степенной рост численности населения Земли – не в состоянии.

Что означает «…процесс развития обладает статистической стационарностью»? Стационарность – это неизменность во времени; статистическая стационарность – неизменность в среднем, по вероятности. Статистическая неизменность развития Мир-системы – это, видимо, постоянство в среднем.

С.П. Капица пишет: «…следует ожидать, что рост происходит самоподобно». Но где та структура, которая остается подобной себе при циклическом сжатии исторического времени? Понятно, что здесь имеется в виду численность населения Земли, которая растет по закону геометрической прогрессии на последовательности сжимающихся по закону той же самой прогрессии циклов исторического развития.

При этом в той же пропорции в соответствии с принципом демографического императива Капицы растут и показатели развития Мир-системы. Но структуры, которая остается подобной самой себе, при таком сжатии времени – здесь нет. Поэтому все это не более, чем бессмысленный физикализм и пустая наукообразность.

Читаем далее: «…что выражается в масштабной инвариантности, скейлинге этого процесса». Но что такое масштабная инвариантность? Масштабная инвариантность, самоподобие – это свойство объектов выглядеть в любом, сколь угодно малом масштабе примерно одинаково. Продолжительность одиннадцати циклов эволюции и истории, согласно периодизации Капицы, составляет: 1.0 млн лет, 0.38, млн лет, 0.14 млн лет, 51 тыс. лет, 20 тыс. лет, 7 тыс. лет, 2.5 тыс. лет, 1 тыс. лет, 340 лет, 125 лет, 42 года.

Следовательно, если принимать его утверждение о масштабной инвариантности и самоподобии роста и развития не как метафору, а всерьез, то сжатием во времени каждой такой картины роста и развития человечества в 2.7 раза в одном цикле можно получить аналогичную картину в следующем. Ясно, что такой физикализм не имеет никакого смысла.

Степенной рост численности популяции в отличие от экспоненциального роста, как мы уже отмечали ранее, является существенно неоднородным во времени процессом. Поэтому для него не существует единого на всех этапах роста масштаба времени.

Выражается это в том, что закон степенного роста как зависимость численности от времени не содержит в себе никакой постоянной времени. Что отмечено и самим С.П. Капицей: «Таким образом, исключаются экспоненциальный и логистический рост, имеющие внутренний масштаб времени – время удвоения» [1].

Тем не менее в построениях С.П. Капицы такой масштаб времени τ = 42 года присутствует. Вводит он его при анализе демографического перехода, когда действие степенного «масштабно-инвариантного» закона заканчивается, что вполне законно, но далее, противореча собственной логике и никак того не обосновывая, применяет его вместе с константой K = 67000 и при описании гиперболического роста. На это обращает внимание А.В. Подлазов:

Утверждение «…остается неизменной пропорция между относительным изменением численности и относительным изменением времени» есть, по сути, постулат степенной зависимости численности от времени [1].

Следовательно, вместо поиска ответа на вопрос, почему численность населения мира росла не по экспоненциальному, а по степенному закону, С.П. Капица просто постулирует такой рост. Обычно, когда хотят по настоящему обосновать сделанный выбор – стремятся к максимальной ясности.

Здесь же все наоборот: термины, которые автор взял из неравновесной термодинамики, вместе с необходимыми частями речи собираются в предложения, из предложений складывается абзац. И полученный таким образом текст не только ничего не проясняет, но и вообще лишен всякого смысла.

Все предложенное С.П. Капицей «обоснование» применимости причинного степенного закона для объяснения гиперболического роста населения мира можно расшифровать и сократить до одного предложения:

В основе модели лежит предположение о степенной зависимости численности человеческой «популяции» от времени (просто постулируется рост человечества по степенному, причинному, самодостаточному закону, по которому не растет ни одна популяция в природе, – только и всего!), что позволяет говорить о масштабной инвариантности (неизвестно чего) и об автомодельности развития (что это означает − не понимает никто!).

Кроме того, точно такое же «обоснование» годится и для такого «сложного, многофакторного процесса развития системы, обладающего, однако, статистической стационарностью…», как, например, рост колонии пчел или термитов.

В своих работах по теоретической демографии С.П. Капица предлагал самые разнообразные объяснения аномальному гиперболическому росту населения мира: от взаимодействия населенных пунктов с характерной численностью в 67 тыс. человек до нелокального информационного взаимодействия между членами человеческой популяции. Ответа на вопрос: в чем истинная причина роста человечества по закону гиперболы? – У него, очевидно, нет.

Если исходить из предположения о том, что гиперболический рост численности человечества был обусловлен причинным законом с простой преддетерминацией, то в уравнении роста должен присутствовать и линейный член: dN/dt = αN + βN², что будет обосновано нами чуть позже. Если же такого члена нет и рост изначально предполагается гиперболическим, то мы неизбежно приходим к тем противоречиям, о которых говорили ранее.

Первые гоминиды мало отличались от своих собратьев человекообразных обезьян, живших с ними в одно и то же время и умножавших свою численность по закону Мальтуса. Поэтому логично предположить, что рост численности первых популяций рода Homo был экспоненциальным, хотя и чрезвычайно медленным.

С.П. Капица считает, что рост численности гоминид на первом этапе продолжительностью 2.8 млн лет был линейным. Во что поверить совершенно невозможно, поскольку в таком случае суммарный прирост численности популяций гоминид, предков современного человека, на протяжении 2.8 млн лет предполагается постоянным, не зависящим от их растущей численности.

А на втором этапе длительностью 1.6 млн лет он полагает, что этот рост был уже чисто гиперболическим. Почему С.П. Капица не включает линейный член в свое уравнение? Дело здесь не только в том, что в этом случае может быть нарушено соответствие с демографическими данными, указывающими на гиперболический рост.

Причина в том, что если допустить присутствие такого пусть даже и «сколь угодно малого» члена в уравнении роста, то сразу же придется распрощаться с бессмысленным самоподобием роста, его масштабной инвариантностью, а также с автомодельностью развития – понятиями характерными для физических процессов, которые описываются простыми масштабно-инвариантными законами.

Действительно, решения уравнения dN/dt = αN + βN², в отличие от решений уравнения dN/dt = βN², имеют встроенный масштаб времени[59].

Тут может быть такое возражение: если членом αN на завершающих этапах роста можно пренебречь, то для этих этапов закон роста можно считать степенным со всеми необходимыми для физикалистской интерпретации гиперболического роста следствиями.

Ответ здесь такой: учитывая, что Мир-система ни в какие времена не была единым информационном полем, а информационная связность человечества на протяжении всей человеческой истории всегда только возрастала, квадратичный член βN² мог начать оказывать существенное влияние лишь на завершающих этапах роста, т. е. в течение последних двух-трех столетий. (На самом деле, и мы впоследствии это покажем, линейным членом нельзя пренебречь ни на каком этапе роста.)

Кроме того, не следует забывать о циклах эволюции и истории, которые вводятся в рассмотрение С.П. Капицей. Все время эволюции, начиная от момента −1.6 млн лет, делится им на одиннадцать периодов равной (в логарифмическом масштабе) длительности с неолитом посередине.

В течение каждого такого периода, длительность которого в три раза меньше предыдущего, численность также возрастала в три раза. Но такая цикличность возможна лишь при степенном, гиперболическом росте; и если на последних циклах линейным членом может быть и можно как-то пренебречь, то рост до неолита, да и в первые несколько тысячелетий после начала неолита, когда человечество не представляло собой системы ни в каком смысле слова, сделать это, очевидно, нельзя, и рост здесь, если исходить из представления о законе роста как о ПОС между численностью и приростом, должен быть экспоненциальным.

В таком случае ни о какой цикличности роста и демографическом императиве до начала новой эры говорить не приходится. Поэтому уравнение роста с дополнительным линейным членом в правой части С.П. Капице и не подходит, поскольку находится в противоречии с принципом демографического императива и цикличностью исторического развития.

Обоснование этой цикличности – вот та проблема, которая всегда волновала С.П. Капицу. Границы циклов в первом приближении были размечены еще до него историком И.М. Дьяконовым; проблема здесь в том, почему циклов примерно 10–15 и почему они расположены на шкале исторического времени так, как расположены. В чем глубинная природа цикличности?

Показатель сжатия исторического времени (знаменатель прогрессии сжимающихся исторических циклов) С.П. Капица принимает сначала равным числу Эйлера. Его значение е = 2.718… он почему-то считает наиболее подходящей естественной мерой такого сжатия, хотя число Эйлера – основание натуральных логарифмов – в чистом виде никогда не встречается ни в одном законе естествознания.

Потом он «округляет» его до трех, хотя средний коэффициент ускорения развития мировых цивилизаций согласно, например, исследованиям академика Ю.В. Яковца равен примерно двум. Свою постоянную времени τ = 42–45 лет С.П. Капица не связывает ни с каким глобальным циклическим историческим процессом, хотя она примерно равна продолжительности, вероятно, самого главного экономического и исторического цикла – Кондратьевского цикла.

Последний цикл его периодизации по длительности также примерно равен τ, а длительность всех остальных выражается целым числом τ. Эту константу он называет временем, «…определяемым внутренней предельной способностью системы человечества и человека к развитию». Что это означает – не понимает никто.

Безразмерную константу K (Kapitsa), которая вводится вместе с τ, он определяет как главное число своей теории и в одних своих работах называет эффективным размером группы людей, а в других – аналогом числа Рейнольдса в гидродинамике. Что означают константы τ и K на самом деле – совершенно непонятно.

В девяностые годы прошлого века, когда его «феноменология» еще окончательно не закостенела и казалось, что вот-вот, еще чуть-чуть и все станет ясно, он надеялся, что каким-то чудесным образом, возможно, чисто математически – расширением области определения переменных, либо каким-то иным путем эту загадочную цикличность удастся все-таки обосновать:

Но время шло, а проблема так и оставалась нерешенной. Спустя годы, все, что может предложить автор «Парадоксов роста» – это лишь поверхностную, механистическую аналогию:

Не находит объяснения эта цикличность и в последней попытке построить модель роста численности населения Земли с учетом пространственного распределения (авторы: В.А. Князева, Е.Н. Белавин, Е.С. Куркина)[60].

Рост численности человечества с учетом пространственного распределения безо всякого обоснования и каких-либо объяснений описывается ими с помощью уравнения диффузии или горения, которое, по их мнению, может описывать и мировой демографический процесс. Путем подгонки по нескольким параметрам они получают необходимое для феноменологической теории Капицы число исторических циклов (11).

Однако такая прямая подгонка ad hoc не устраивает даже С.П. Капицу, наиболее заинтересованного в данной работе: «Это неубедительно ведь, то, что нужно просто задается??» Заметим, что Князева, Белавин и Куркина получили за это свое псевдонаучное «исследование» хорошие деньги: на него был выделен грант, вероятно, не без помощи С.П. Капицы.

В последней своей работе «Парадоксы роста…» С.П. Капица «пришел к выводу», что показатель сжатия исторического времени должен быть равен двум (стр. 182). Т. к. за момент начала неолита у него взята дата 9 тыс. лет до н. э., т. е. мало отличается от той, что принята в нашей модели, то не только количество циклов, которых должно быть 15, а не 11, но и разметка исторического времени на эти циклы у него должна быть примерно такой же, как у нас.

На самом деле для коэффициента сжатия исторического времени он получил величину e/(e-1) = 0.583 (1/0.583 = 1.7), которую странным образом округлил до 0.5, что соответствует показателю сжатия, равному двум. При этом автор «Парадоксов роста» не счел нужным упомянуть ни работу Ю.В. Яковца 1997 года, в которой этот показатель равен 1.8, что ближе к двойке, чем у него, ни нашу работу 2006 года, в которой он в точности равен двум.

Во всех работах С.П. Капицы по теоретической демографии можно найти графики линейного, экспоненциального и гиперболического роста как возможные варианты роста численности человечества:

Рис. 3. Графики линейного, экспоненциального и гиперболического роста в работах С.П. Капицы.

Уравнения роста как причинные законы здесь схожи, но только при гиперболическом росте численность популяции устремляется к бесконечности за конечный промежуток времени, что приводит, по его мнению, к режиму с обострением, выход из которого С.П. Капица, используя терминологию термодинамики, называет фазовым переходом. В этом, считает С.П. Капица, и состоит главный секрет гиперболического роста со всеми необходимыми для его «феноменологии» физикалистскими следствиями.

Представляется совершенно недопустимым ставить в один ряд столь разные для экологии популяций законы роста, один из которых распространен повсеместно, тогда как другие два как причинные законы роста популяций – НИКОГДА не встречаются в природе.

Линейный закон, как мы уже отмечали ранее, дает постоянный, не зависящий от растущей численности прирост, что выглядит как полная несообразность. Гиперболический рост населения Земли, происходящий по причине ПОС второго порядка между численностью и мировым естественным приростом также невозможен, т. к. предполагает для рассредоточенной популяции Homo sapiens системность, которой она никогда не обладала и еще по множеству других причин, о которых мы будем говорить далее.

Экология популяций – это не физика, у нее свои законы и главный из них – закон экспоненциального роста, который, по мнению физика (!), лауреата нобелевской премии В.Л. Гинсбурга, является первым и важнейшим законом (или даже принципом) экологии популяций.

И который утверждает, что естественное состояние популяции – это рост или уменьшение по экспоненте. Это столь же важный закон для экологии популяций, как первый закон Ньютона для физики. Ни одна популяция, принадлежащая какому-либо виду из всех когда-либо существовавших в природе, не росла в соответствии со степенным причинным законом, связывающим скорость роста с численностью.

Причина здесь в особенностях нелинейного степенного роста, которые не соответствуют никакому природному репродуктивному процессу. Следовательно, причинная модель степенного роста неприменима для описания динамики изменения численности популяций.

И если численность какой-то популяции, как, например, численность человечества все-таки растет по степенному закону, то такое возможно лишь потому, что закон, связывающий скорость роста с численностью, причинным законом в этом случае не является.

Главный закон роста численности изолированной популяции

В основе любых моделей лежат некоторые предположения. Ценность модели определяется тем, насколько ее характеристики соответствуют свойствам моделируемого объекта. Одним из самых фундаментальных предположений, лежащим в основе всех моделей роста, является предположение о пропорциональности скорости роста численности популяции – самой этой численности, будь то популяция зайцев, будь то популяция клеток.

В основе этого предположения лежит тот общеизвестный факт, что важнейшей характеристикой живых систем является их способность к размножению. Для многих одноклеточных организмов или клеток, входящих в состав клеточных тканей – это просто деление, то есть удвоение числа клеток через определенный интервал времени, называемый характерным временем деления.

Для сложно организованных растений и животных размножение происходит по более сложному закону, но в наиболее простых и адекватных моделях предполагается, что скорость размножения популяции пропорциональна численности этой популяции. Закон экспоненциального роста справедлив на определенной стадии для следующих живых систем: клеток в ткани, водорослей, бактерий в культуре, животных в популяциях.

Математическое выражение, описывающее увеличение скорости изменения величины с ростом самой этой величины, называют автокаталитическим членом (авто – само, катализ – изменение скорости реакции). Во многих популярных руководствах по экологии говорится, что экспоненциальный рост популяций возможен только в особо оптимальных условиях при отсутствии каких-либо ограничивающих факторов.

Это не совсем верно, поскольку единственное необходимое и достаточное условие такого роста – это постоянство коэффициента естественного прироста, определяющего для размножающихся организмов скорость их размножения.

Так, например, проводя серию наблюдений за ростом популяции каких-либо одноклеточных организмов в разных температурных условиях, нетрудно заметить, что с уменьшением температуры скорость деления клеток падает, но экспоненциальный характер роста сохраняется [13].

Иногда желая принизить значение экспоненциального роста популяции, авторы акцентируют внимание на его непродолжительности, на то, что он почти никогда не встречается в природе и, следовательно, может рассматриваться, по их мнению, лишь как демонстрация потенциальной возможности популяции к росту.

При этом они забывают о том, что никакая популяция так бы никогда и не появилась в природе, если бы не существовал этот важный, пусть и кратковременный, этап ее развития. Но бывают случаи, когда этот этап все длится и длится и никак не может закончиться:

В природе, прошедшей длительный путь эволюции, мы наблюдаем самые разнообразные способы ограничения экспоненциальной экспансии размножающихся организмов. Важное значение имеют внешние воздействия на популяцию: неблагоприятные условия, конкуренты, хищники, паразиты, возбудители болезней и т. п. Но для изолированных популяций интерес представляют только те изменения, которые возникают внутри самих популяций, происходящие в ответ на рост их численности.

Распространенное представление о том, что рост популяций в благоприятных условиях ограничивается только объемом пищевых ресурсов и конкуренцией – представляется ошибочным.

Существует множество примеров, свидетельствующих о том, что все популяции: животные, растительные, бактериальные – обладают эффективными средствами, ограничивающими рост своей численности и активизирующимися задолго до того как заканчиваются пищевые ресурсы, или вступают в силу ограничения по причине конкуренции. Есть лишь редкие исключения из этого правила.

Такая саморегуляция, когда популяция ведет себя как единый живой организм, не является приобретением высших форм жизни. Она характерна для всех видов, даже бактериальных, вырабатывающих для этого целое семейство активных веществ.

Высшие организмы регулируют свою численность множеством способов, например, через паразитов в составе биоценоза, пропуском сезонов размножения или даже рассасыванием беременности [15].

Кажутся ли удивительными в таком случае парадоксальный гиперболический рост численности населения Земли и следующий за ним демографический переход, ограничивающий эту численность на некотором предельном уровне.

Рост, который никогда не зависел ни от каких ресурсов и переход, который происходит в условиях всеобщего изобилия, когда нет (в первом приближении) никаких ограничений ни в пищевых, ни в пространственных, ни в энергетических, ни в каких-либо других ресурсах.

Разве удивительно, что растущее человечество как система с помощью разнообразных появляющихся и исчезающих связей управляет своим ростом и ведет себя подобно всем другим видам и подобно Гее Лавлока, как единый живой организм?

То, что плотность популяции влияет на рост ее численности можно проверить в опытах с любыми видами организмов. Так, например, при содержании белых мышей в вольерах, когда люди следят за чистотой клеток и обеспечивают всех кормом, мыши, достигнув определенной численности, перестают размножаться.

Если перевести их в более просторную клетку, тем самым снизив число особей на квадратный метр, они продолжат размножение вновь до определенного предела. При этом меняются характер поведения мышей и отношения их между собой. Зверьки становятся беспокойными и агрессивными, и это отрицательно влияет на процесс размножения [11].

Когда взаимодействие между членами изолированной популяции отсутствует, ее рост происходит по экспоненциальному закону. Этот закон был описан в книге Роберта Мальтуса «Опыт о законе народонаселения».

В ней впервые было сформулировано положение о том, что численность популяции в благоприятных условиях растет по закону геометрической прогрессии. Сам русский термин «популяция» происходит от английского «population» – население. Мальтус был первым, кто применил математику в экологии, если не считать итальянского математика Фибоначчи.

В своей работе Мальтус четко сформулировал необходимые идеализации, без которых стала бы невозможной математическая постановка задачи: однородность и изолированность популяции, неограниченность ресурсов, постоянство коэффициентов рождаемости и смертности, отсутствие взаимодействия, способного нелинейно сказаться на приросте.

Закон Мальтуса считается первым и самым важным законом экологии популяций. Законы экологии популяций, по мнению В.Л. Гинсбурга, напоминают законы физики:

Дадим определение экспоненциальному росту сначала для колонии микроорганизмов, где смертность отсутствует, а затем и для произвольной популяции организмов:

Экспоненциальный, естественный, обусловленный только внутренними, эндогенными, системными причинами, т. е. никак не «извне», не «изнутри» не управляемый рост численности популяции однородных размножающихся организмов – это суперпозиция множества параллельных процессов деления, размножения с постоянным коэффициентом естественного прироста по закону одной и той же прогрессии на последовательности временных интервалов постоянной длительности, равной характерному времени размножения с равномерно распределенной фазой.

Размножающуюся популяцию можно представить как объединение элементарных, независимых, далее неделимых частиц, подсистем, состоящих, к примеру, из одной бактерии или пары разнополых представителей моногамной популяции. Т. е. эта частица, атом популяции, ее элементарная составляющая – «не видит», «не чувствует» других, размножается и гибнет независимо от них по закону геометрической прогрессии, одинаковому для всех.

В более сложном случае можно допустить взаимодействие такой элементарной подсистемы с другими, но лишь такое, которое оставляет неизменным коэффициент естественного прироста вне зависимости от находящегося в системе числа «частиц». Итак, главные условия экспоненциального роста численности популяции это:

1. Неизменность состояния среды (необязательно, чтобы была строгая неизменность, вариации возможны, но лишь в тех пределах, в которых сохраняется гомеостаз организмов), в которой находится популяция, следствием чего является строгая цикличность, периодичность элементарного репродуктивного процесса во времени. Для экспоненциального роста колонии микроорганизмов, к примеру, необходима неизменность концентрации питательной смеси, ее температуры, физических полей, в которых находятся организмы, уровня радиации и т. д.

2. Независимость, отсутствие взаимовлияния процессов размножения элементарных составляющих популяции, рассредоточенной в пределах среды обитания, результатом чего является аддитивность естественного прироста (скорости роста численности) любых ее подсистем. Колонию микробов, например, можно разбить на любые части, в которых будет разное число таких микробов, и скорость роста численности этой колонии будет равна сумме скоростей роста всех ее частей. Это свойство вытекает из линейности дифференциального уравнения (1).

3. Коэффициент естественного прироста популяции α, т. е. прирост ее численности за какой-то малый фиксированный промежуток времени, отнесенный к этой численности, есть величина неизменная или «почти» неизменная в период роста численности.

Рис 1. Главное условие экспоненциального роста популяции заключается в постоянстве коэффициента естественного прироста.

Для популяции организмов со смертностью он равен разности между числом родившихся и числом умерших за единицу времени (Р – С), поделенную на общую численность. И число родившихся, и число умерших – случайные величины, различные по своей природе, имеющие разные математические ожидания и дисперсии и по разному меняющиеся во времени.

Коэффициент рождаемости (P/NΔt) и коэффициент смертности (C/NΔt) могут изменяться со временем в процессе роста популяции, но если при этом их разность будет оставаться неизменной – рост будет экспоненциальным.

Если же это условие будет нарушено – экспоненты не получится; например, если для некоторой популяции коэффициент рождаемости – константа и не зависит от численности, а коэффициент смертности пропорционален численности, то рост будет логистическим.

Обобщенный закон роста численности изолированной популяции

Каким должен быть закон свободного роста изолированной популяции в условиях среды, свойства которой не меняются и при учете взаимодействия ее членов? Будем считать выполненными все возможные идеализации, рассмотренные нами ранее. Для такой популяции прирост за счет рождаемости, так же как и убыль за счет смертности, возрастает при увеличении ее общей численности.

Поэтому в простейшем случае без учета внутривидовых взаимодействий (тех из них, что влияют на прирост численности) скорость роста должна быть пропорционально общей численности. Поскольку даже и при учете взаимодействий, если их влияние устремить к нулю, обобщенный закон роста должен превращаться в уравнение Мальтуса, то дифференциальное уравнение этого закона должно быть уравнением первого порядка.

Процесс роста численности свободной популяции, т. е. популяции, рост которой никем и никак не регулируется, не зависит (при прочих равных условиях) от того на каком участке шкалы физического времени он наблюдается. Поэтому время как независимая переменная не должно явным образом входить в состав его правой части.

Такие уравнения называются автономными. Структура правой части обобщенного закона должна иметь вид (5): линейный член αN плюс нелинейный F(N), описывающий взаимодействие между членами популяции.

Рис. 1. Обобщенный закон свободного роста изолированной популяции.

Причем значение этой функции при N = 0 должно быть равным нулю: F(0) = 0, т. к. иначе пришлось бы допустить существование составляющей прироста, не зависящей от численности популяции. Так, например, при N = 0, т. е. при полном отсутствии членов популяции, скорость роста была бы не равна нулю. Что противоречит фундаментальному свойству жизни: живое происходит только от живого, и прирост определяется, прежде всего, численностью.

Если все же допустить присутствие аддитивной константы в правой части уравнения (5), то в простейшем случае, если отбросить линейный и нелинейный член и оставить только константу, получим закон линейного роста численности от времени, который не может описывать рост никакой свободно растущей популяции, поскольку прирост здесь является постоянным и никак не зависит от растущей численности. (Это утверждение находится в противоречии с феноменологической теорией Капицы, согласно которой скорость роста численности гоминид на первом этапе продолжительностью 2,8 млн лет была постоянной и не зависела от растущей численности.)

Если же оставить линейный член плюс константа от нелинейного – получим простейшее линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. В зависимости от знаков С и α имеется четыре варианта роста численности.

Рис. 2. Пример простейших линейных законов, которые не могут описывать свободный рост (убывание) численности популяции.

1. Случай С > 0, α > 0 можно интерпретировать как экспоненциальный рост популяции с учетом постоянного дополнительного прироста за счет клонирования. При этом численность популяции неограниченно возрастает.

2. Случай С < 0, α > 0 – рост численности популяции рыб в «неограниченном» водоеме с заданной квотой отлова. Численность популяции неограниченно возрастает.

3. Для случая С > 0, α < 0 можно предложить такую леденящую душу легенду: вымирающее человечество с отрицательным коэффициентом естественного прироста, постепенно заменяемое киборгами (инопланетянами) с тем же коэффициентом естественного прироста α < 0, что у людей; С – число киборгов, вводимых в социум за месяц, αN – число погибших за месяц членов социума (киборгов и людей). При приближении к асимптоте N = −С/α «человеческая составляющая» социума устремляется к нулю.

4. Случай С < 0, α < 0 – совсем уже печальный с N = 0 в итоге: планомерное истребление и без того уже вымирающей по естественным причинам популяции.

Все это примеры несвободного, управляемого роста популяции, т. к. в каждом из этих случаев прирост ее численности происходит не только за счет собственной способности популяции к размножению (αNΔt), но и за счет сторонних (управляющих) сил, вносящих постоянный вклад в этот прирост (СΔt). Следовательно, уравнение (4) не может считаться причинным законом, а при α > 0 (т. е. в случае роста популяции) процесс роста, описываемый этим уравнением, не может быть определен как простой автокаталитический, самоускоряющийся процесс.

Итак, уравнение (4) не может служить для описания динамики свободного роста популяции каких-либо организмов из-за присутствия в его правой части аддитивной константы. В дальнейшем будем говорить только о мальтузианской составляющей, определяющей рост популяции, т. е. считаем, что α > 0.

Согласно теореме о разложении функции в степенной ряд, любую «достаточно хорошую» функцию всегда можно в такой ряд разложить. Следовательно, нелинейный член F(N) в правой части уравнения (5) можно разложить в ряд Маклорена; при этом первый и второй член разложения должны быть равны нулю: β_o = β₁ = 0, т. к. константу отбрасываем, а линейный член равен αN, α > 0.

Полученное уравнение с разделяющимися переменными можно проинтегрировать для каждой конкретной F(N). Отсутствие аддитивной константы в правой части приводит к тому, что она обращается в нуль при N = 0. Т. к. левая часть уравнения – это производная от численности по времени или скорость роста, то для кривой роста имеется горизонтальная асимптота, совпадающая с осью времени, т. е. такая же асимптота, как у экспоненты.

Это хороший показатель, он говорит о том, что рост численности популяции, определяемый обобщенным законом роста в его идеальном описании с непрерывной численностью, не имеет начала. Если бы рост начинался в некоторый фиксированный момент времени, пришлось бы давать какое-то объяснение выделенности этого момента, как, например, при описании степенного параболического роста.

Кроме того, очень важно понимать то, что линейным членом αN в обобщенном уравнении роста (5) пренебречь нельзя в принципе. Перечислим причины, почему это так:

1. Т. к. разложение F(N) начинается с квадратичного члена, то F(N)/αN → 0 при N → 0, откуда следует, что при небольшой численности рост описывается линейным уравнением Мальтуса, является экспоненциальным и не зависит в первом приближении от взаимодействий между членами популяции. Т. е. получается правильная асимптотика.

2. Если отбросить линейный член αN, оставить только F(N) и считать, например, что F(N) = β_iNⁱ, β_j = 0, j ≠ i, т. е. все члены разложения кроме одного равны нулю, как в уравнении Капицы, то получаем причинный закон степенного роста, согласно которому, как мы покажем в главе «Критика», не растет ни одна популяция в природе. Если же в разложении F(N) присутствует более одного члена, а функция F(N) является монотонной, что соответствует любому реально возможному росту изолированной популяции, то и в этом случае можно показать, что рост будет аналогичен степенному со всеми теми противоречиями, которые были рассмотрены нами ранее.

3. Согласно первому закону экологии популяций, все популяции в неизменных, благоприятных внешних условиях и при отсутствии взаимодействий – растут экспоненциально. Взаимодействия могут замедлить или ускорить этот экспоненциальный рост, но полностью отменить его они не могут. Если взять, к примеру, размножающееся человечество, то это, прежде всего, биологический вид, такой же как и множество других видов, когда-либо существовавших в природе, умножающий численность своих популяций по закону Мальтуса; и только затем его можно рассматривать как совокупность существ с множеством изученных и неизученных социальных связей, влияющих на всё и вся, в том числе и на мировой естественный прирост. (По закону Мальтуса могла расти численность популяций первых архантропов и отдельных народов в историческое время, когда была выполнена третья из обозначенных нами идеализаций об однородности популяции.)

Важным следствием обобщенного закона является уравнение (6): зависимость коэффициента естественного прироста ΔN/NΔt (среднего прироста численности на особь популяции за единицу времени) от полной численности этой популяции.

Эта зависимость может существовать только в том случае, если популяция представляет собой систему взаимодействующих особей, что возможно для сосредоточенной популяции с небольшим по площади ареалом обитания или для пространственно-рассредоточенной, но объединенной единым информационным полем Мир-системы растущего человечества.

Что полностью отвечает тем идеализациям, которые изначально закладывались в обобщенную модель. И что, несомненно, значительно снижает ее эвристическую ценность. (Учет «распространения» в пространстве особей (информации) приводит к необходимости построения моделей второго типа, основанных на уравнениях типа диффузия-кинетика, т. е. к значительно более сложной математике.)

Для рассредоточенной популяции животных и для человеческого сообщества это условие представляется слишком жестким и вряд ли может быть в реальности выполнено, т. к. размер ареала обитания популяции может в сотни раз превосходить расстояние, которое особь проходит за время своей жизни. Кроме того, «сильно рассредоточенную» в пространстве популяцию вряд ли вообще можно считать популяцией по определению. Здесь может оказаться нарушенной главная из принятых идеализаций: одинаковые и неизменные внешние условия для всех ее частей.

Разные части такой популяции могут в таком случае размножаться в разных природно-климатических условиях, иметь различные коэффициенты прироста и считаться отдельными популяциями. А все человечество в целом вообще не представляло собой единое информационное поле ни в какие времена, исключая, возможно, последние два-три столетия.

Вывод здесь такой: обобщенный причинный закон (5) как закон нелинейного роста имеет ограниченное применение и годится лишь для описания временно́й динамики изменения численности сосредоточенной, изолированной популяции [12].

Наибольшую общность закону (5) можно придать, добавив в его правую часть дельта функцию Дирака (7), которая описывает акт творения или случайное зарождение жизни в первобытном океане Земли. Это «обобщение», впрочем, не следует воспринимать слишком серьезно.

Частные случаи общего закона

Если взаимодействия между членами популяции отсутствуют и коэффициент естественного прироста равен нулю, т. е., если убрать в правой части уравнения (5) и линейный, и нелинейный член, то получим уравнение (7), в котором разность между числом родившихся и умерших за единицу времени (Р – С)/Δt равна нулю (т. е. прирост за счет рождений равен убыли за счет смертности), и численность популяции остается неизменной.

В более сложном случае при α ≠ 0 и наличии взаимодействий популяционный гомеостаз (N = const) достигается при тех значениях N, которые обращают правую часть уравнения (5) в нуль. Нелинейный член может быть немонотонной функцией численности, и тогда рост будет более сложным. Устойчивый гомеостаз, когда численность популяции остается неизменной или слабо колеблется около положения равновесия, возможен в тех точках гомеостаза, в которых вторая производная от правой части уравнения (5) – отрицательна [11].

Рис. 1. Состояние популяционного гомеостаза.

Экспоненциальный рост возникает при отсутствии взаимодействий между членами популяции, способных оказать влияние на естественный прирост (он был рассмотрен нами ранее). В этом случае в обобщенном уравнении (5) необходимо отбросить нелинейный член F(N).

Рис. 2. Экспоненциальный рост популяции.

Если для некоторой популяции коэффициент рождаемости есть величина постоянная и не зависит от численности, а коэффициент смертности пропорционален численности, то рост будет логистическим (9). Логистический рост был впервые описан бельгийским математиком Ферхюльстом на примере роста численности населения. Уравнение такого роста – уравнение Ферхюльста – сам Ферхюльст по неизвестным причинам назвал логистическим.

Рис. 3. Логистический рост популяции.

Модель логистического роста, основанная на предположении об убывающей линейной зависимости удельной скорости популяционного роста от численности популяции, является наиболее простой из существующих моделей ограниченного роста.

В этом ее несомненное достоинство. Но берется она, по сути, с потолка, т. к. уравнение (9) никак не вытекает из каких-либо особенностей размножения и гибели организмов. Этим она отличается от модели естественного экспоненциального роста, которая полностью прозрачна и не содержит никаких искусственных допущений. Поэтому реальная S-образная кривая роста популяции может сильно отличаться от логистической кривой.

В случае, когда нелинейный член F(N) = −N²f(N) представляет собой монотонную функцию можно говорить об обобщенном логистическом росте (9A). Такое уравнение называют иногда обобщенным уравнением роста Ричардса (Richards, Карманова, Иванилова, 1971) и используют для описания роста как отдельных организмов, так и популяций в целом [13].

Рис. 4. Обобщенное уравнение логистического роста популяции.

Какими качествами должны обладать организмы, чтобы рост их популяций описывался логистической или обобщенной логистической моделью?

1. Во-первых, при возрастании численности (плотности) популяции должна возрастать вероятность их гибели и/или снижаться вероятность оставить потомство.

2. Во-вторых, реакция этих организмов на возрастание численности (плотности), проявляющаяся в снижении рождаемости и/или увеличении смертности, должна осуществляться без запаздывания, иначе говоря, она должна быть значительно меньше времени жизни отдельной особи этой популяции, т. е. быть практически мгновенной.

Ни один из реально существующих видов таким свойством (по крайней мере вторым свойством), очевидно, не обладает. И лучше всего такой модели соответствует рост простейших или бактерий, размножающихся в условиях конкуренции за пищевые ресурсы в среде, объем которой ограничен.

Суть логистической модели заключается в том, что на начальной стадии роста, при малой численности, в правой части уравнения роста доминирует линейный член, и рост является экспоненциальным.

По мере увеличения численности постепенно начинает сказываться присутствие квадратичного (нелинейного) члена, и численность устойчивым образом устремляется к некоторому предельному значению, величина которого зависит как от линейного, так и от нелинейного члена. Здесь важно то, что линейным членом в правой части логистического уравнения, в отличие от нелинейного, пренебречь нельзя ни на каком этапе роста.

Если поменять знак второго члена логистического уравнения с минуса на плюс получим некий антипод логистического роста, когда взаимодействия между членами популяции способствуют, а не препятствуют приросту ее численности.

Экспоненциальный рост, также справедливый здесь на начальном этапе, плавно переходит затем в гиперболический. (Еще раз подчеркнем, что речь здесь идет только о причинных законах роста!) Ни одна популяция в природе, в том числе и популяция Homo sapiens, как мы это сейчас покажем, по такому закону никогда не росла.

Более того, функция F(N) = −N²f(N), входящая в обобщенный причинный закон роста, для всякой свободно растущей в естественных природных условиях изолированной популяции должна быть, по-видимому, монотонно убывающей, принимающей лишь отрицательные значения функцией.

Это так, поскольку связи между членами популяции, описываемые нелинейным членом F(N), определяют борьбу за территорию и/или ресурсы и всегда отрицательно сказываются на приросте ее численности. Такие связи не могут ускорить ее естественный экспоненциальный рост, а могут лишь его замедлить.

Исключением из этого правила могла бы стать популяция Homo sapiens: единственная популяция в природе, представители которой обладают сознанием. Однако рост населения Земли не может быть описан обобщенным причинным законом (5) с положительным нелинейным членом.

Действительно, «чисто» гиперболический рост населения мира, который, собственно, и был доказан в работах Фёрстера и Капицы, возможен лишь в том случае, если в разложении F(N) оставить только положительный квадратичный член β₂N², а линейным членом αN – пренебречь.

Рис. 5. Уравнение экспоненциального роста, переходящего в гиперболический, согласно которому не растет ни одна популяция в природе.

Но пренебречь членом αN для растущей популяции Homo sapiens нельзя из принципиальных соображений, поскольку человек всегда размножался так же, как и любой другой биологический вид, прежде всего, по закону Мальтуса: естественный прирост пропорционален численности. (По закону Мальтуса могла расти численность популяций первых архантропов и отдельных народов в историческое время, когда была выполнена третья из обозначенных нами идеализаций об однородности популяции.)

Примером модели, уравнение которой в правой своей части не содержит линейного члена, может служить модель Подлазова, описывающая рост численности населения Земли. Эту модель мы рассмотрим в главе «Критика».

Рис. 6. Уравнение Подлазова, не содержащее члена αN. Может рассматриваться как регрессионная зависимость, т. е. как формула, описывающая связь между численностью и скоростью ее роста и не претендующая на описание причинно-следственных отношений между ними [52].

Положительный нелинейный член β₂N², отвечающий за «прогрессивные» взаимодействия между членами человеческой «популяции», мог лишь ускорить этот рост, но абсолютно доминировать при любой численности и на всех этапах роста он не мог ни при каких обстоятельствах.

Иначе говоря, для того, чтобы рост был «чисто» гиперболическим на всех этапах роста, он должен был определяться на всех этих этапах только связями, взаимодействиями между членами популяции. Причем не просто определяться: необходимо, чтобы связи описывались на всех этих этапах единственным и неизменным членом β₂N², стоящим в правой части уравнения роста с постоянным коэффициентом β₂, не зависящим от растущей численности.

При этом нужно учесть, что такое уравнение роста как причинный закон описывает простейшую нелинейную ПОС, т. е. неустойчивый итеративный процесс, приводящий, тем не менее, по каким-то непонятным причинам к устойчивому гиперболическому росту.

В такое невозможно поверить еще и потому, что ничто не может отменить животной составляющей природы человека. Люди вовсе не роботы передающие, принимающие, перерабатывающие информацию и размножающиеся лишь благодаря коллективному взаимодействию Капицы. Составляющая прироста за счет рождаемости возникает по причине естественного человеческого желания иметь детей, глубоко «зашитого» в подсознании человека. Если бы это было не так – не было бы и тех семи с лишнем миллиардов людей, которые живут ныне на планете Земля.

Действительно, и это трудно себе представить, что с тех пор как первый архантроп два миллиона лет тому назад перешел к прямохождению, стал пользоваться орудиями труда и проявил первые признаки разумности – сменилось 100000 (сто тысяч!) поколений.

И на протяжении всего этого бесконечно долгого пути эволюции наши предки никогда «не забывали» о необходимости обзавестись потомством. (О жизнесберегающих технологиях, во все времена уменьшавших смертность и также влиявших на рост популяции, говорить здесь не будем.) И размножались они лишь благодаря какому-то коллективному взаимодействию? Можно ли в такое поверить! С.П. Капица о гиперболическом росте населения Земли (выделено мной. – А.М.):

Можно предвидеть следующее возражение: коллективное взаимодействие лишь сделало возможным этот чрезвычайно медленный рост численности наших далеких предков, продолжавшийся сотни тысяч лет, рост, согласно которому не растут никакие популяции животных. И благодаря которому на момент начала неолита, т. е. спустя примерно 1,7 млн лет после его начала, численность человечества возросла от ста тысяч до нескольких миллионов.

Это была лишь небольшая добавка в уравнение роста, которой бы не было, не будь коллективного взаимодействия, а был бы обычный экспоненциальный, а затем логистический рост и гомеостаз с неизменной численностью в финале, определяемой существующими ООС, каким растут популяции животных того же класса, что и человек, и численность которых никогда не превышает примерно ста тысяч.

В том то и дело, что это не так. Утверждая, что гиперболический рост человечества начался 1,6 млн лет тому назад, С.П. Капица фактически отбрасывает линейный член αN в уравнении роста (5), а от нелинейного оставляет лишь ту составляющую, которая отвечает за прогрессивные, способствующие росту численности взаимодействия. Следовательно, ничего похожего на логистический, а затем, благодаря коллективному взаимодействию и антилогистический рост здесь не получается, и весь естественный прирост, а не какая-то прибавка к нему, возникает у него лишь благодаря влиянию (прямому или косвенному) коллективного взаимодействия.

Но первые гоминиды мало чем отличались от человекообразных обезьян, и считать рост численности их популяций сначала линейным (−4,4 млн лет, −1,6 млн лет), а затем гиперболическим (−1,6 млн лет, 1960 год), происходившим лишь за счет связей, взаимодействий между членами популяций, как полагает С.П. Капица, – представляется ошибочным.

Краткие выводы

Какие из всего этого должны быть сделаны выводы? Т. к. мальтузианской составляющей естественного прироста пренебречь нельзя ни на каком этапе роста человеческой «популяции», рост ее, очевидно, не мог быть гиперболическим. Поскольку, как показывают многочисленные исследования, – это все-таки не так, необходимо признать, что дифференциальный закон, связывающий скорость роста и численность населения Земли, не может считаться законом причинным. И в соответствии с причинным законом dN/dt = N²/C не растет ни одна популяция в природе.

Как ни странно, точно такой же вывод можно было бы сделать и в том случае, если бы выяснилось, что численность населения Земли с начала новой эры до 1960 года росла с хорошей точностью не гиперболически, а экспоненциально. Дело в том, что на историческом этапе своего развития, особенно последние два столетия, человечество не было какой-то одной популяцией вида Homo sapiens sapiens, а представляло скорее конгломерат популяций, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту составляющими (коэффициент естественного прироста в разные времена, для разных народов мог различаться в разы, поэтому никакое его усреднение по всей массе человечества не может считаться приемлемым).

Поэтому по закону Мальтуса могли расти лишь отдельные страны или народы такие, как Америка в период освоения территорий. И даже если допустить, что численность каждого народа, этноса будет расти экспоненциально – из этого вовсе не следует, по изложенным выше соображениям (сумма экспонент с отличающимися коэффициентами прироста не может быть сведена к одной экспоненте), что численность человечества тоже будет расти экспоненциально. Вывод был бы точно таким же, как и в случае гиперболического роста: учитывая чрезвычайную простоту полученного закона и неизменное для всего человечества время удвоения численности, его нельзя было бы считать причинным законом, а сам рост автокаталитическим, самоускоряющимся процессом.

Причины аномального гиперболического роста численности населения Земли заключаются, по-видимому, в многочисленных возникающих и исчезающих управляющих связях, которыми был охвачен социум во все времена. И, поскольку связи с такими парадоксальными свойствами, приводящие к простейшему из возможных гиперболическому росту, не могли возникать и поддерживаться спонтанно, сами по себе, то, очевидно, что они должны были обеспечиваться во все времена некой управляющей системой. И гиперболический рост населения Земли есть в таком случае рост «вынужденный», управляемый.

Если же исключить существование реальной управляющей системы, стоящей над популяцией, а сам термин «управляющая система» понимать только как метафору, можно предположить, что для авангардных систем универсальной эволюции должен существовать некий принцип, подобный принципу наименьшего действия в физике. Суть его в том, что всякая авангардная система, подчиняющаяся известным физическим законам, способна еще и к опережающему отражению действительности. Но не в обычном его понимании, когда это отражение не более, чем способность системы, используя накопленный опыт, оптимально реагировать на текущие задачи. А в смысле фейнмановского интеграла по траекториям, когда электрон движется сразу по всем возможным путям и обнаруживает себя в том или ином месте в соответствии с распределением их вероятностей.

Цель всякой авангардной системы эволюции – достичь очередного промежуточного, а затем и Абсолютного Финала. (Причем будущее (и даже отдаленное будущее) каким-то непостижимым образом может оказывать влияния на настоящее.) Движение в этом направлении – случайный, но постоянно подправляемый процесс с установкой к достижению промежуточных ранжированных целей. Дойдя до очередной промежуточной станции, госпожа Эволюция просматривает все возможные пути до следующей и случайным образом выбирает один из тех, что гарантированно приведет ее к Абсолютного Финалу.

В нашей модели причина гиперболического роста заключена в эквифинальном, плановом – по циклам Кондратьева – росте биниальной иерархической сети четвертого ранга. Рост популяций любых представителей животного мира, согласно нашей гипотезе, сопровождают сети, ранг которых не превышает трех. (Ранг сетей, связанных с человекообразными обезьянами, возможно, равен четырем, но эти сети автономны и не объединяются в растущую до пятого ранга сеть, подобную Сети человека.)

И в этом, по нашему мнению, состоит качественное отличие между любым представителем земной фауны и человеком. Поскольку уровень развития носителя связан с рангом и размером сопровождающей эволюцию сети, то на вопрос о том, есть ли сознание у животных, существует простой и ясный ответ: да, животные обладают сознанием, но независимо от сложности «аппаратной базы» (человекообразные обезьяны, дельфины, слоны), которая может даже превышать таковую человека, это сознание качественно отличается от сознания человека, поскольку сети, связанные с их популяциями, имеют меньший ранг и не объединяются в иерархическую сеть более высокого ранга. (Не объединяются по той причине, что лидер уже существует и этот лидер должен быть один.)

Сеть третьего ранга содержит 256 узлов, сеть четвертого ранга – 65536, но сколько бы ни существовало таких автономных сетей они никак не могут сравниться с растущей сетью четвертого и тем более с сетью пятого ранга. Популяции домашних животных, единственные популяции высших животных в природе (не считая человека), численность которых может составлять десятки и даже сотни миллионов особей, связаны с автономными сетями низших рангов, поэтому сознание их представителей также несопоставимо с сознанием человека.