Проблемой континуума является вопрос существования промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Континуум-гипотеза утверждает, что такой не существует. Математики доказали, что как существование такого множества, так и его отсутствие не противоречат остальным аксиомам теории множеств. Тем самым они пришли к выводу, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Автор не считает вывод математиков решением проблемы. Автор же при решении проблемы исходил из того, что если бы решение проблемы находилось в аксиоматике теории множеств, то она давно была бы решена. Поэтому он направил собственные усилия на анализ исходных принципов.
В процессе исследования исходных принципов автор пришел к выводу, что в действительности проблемой континуума является само понимание континуума в математике. Первая концепция континуума была представлена в виде неделимых моментов – мигов времени и неделимых точек пространства. Проблема континуума была сформулирована Зеноном, выявившим парадоксы в этой концепции.
Рассмотрим один из этих парадоксов, например, третий. Зенон в парадоксе «Стрела» доказывает, что летящая стрела покоится. Здесь он исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов «теперь», а пространства как суммы неделимых точек. Зенон считал, что в каждый момент времени стрела занимает место, равное своему объему, значит, движение можно представить как сумму «продвинутостей» – состояний покоя, так как при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Таким образом, Зенон доказал, что атомистический континуум не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.
Аристотель, создавая свою физику, был вынужден доказать возможность мыслить движение без противоречий, то есть решить парадоксы Зенона. Аристотель сделал это, углубив понимание природы континуума вводом понятия непрерывности. Согласно его утверждению, непрерывность – это состояние, когда у соприкасающихся друг с другом элементов, граница соприкосновения принадлежит как одному, так и другому элементу. В противовес этому смежность – это соприкосновение элементов друг с другом с сохранением границы. По Аристотелю, непрерывными могут быть части пространства, времени и движения. Непрерывное – это то, что делится на части. То есть непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель разрешил парадоксы, которые возникли в физике с допущением атомарности пространства и времени, показав возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Автора восхитила глубина мысли Аристотеля, которая до сих пор не осознана в полной мере, и он считает, что теория континуума философа является фундаментом не только физики, но и математики, так как принцип непрерывности изложен с соблюдением строгой математической логики.
А как же обстоит дело с пониманием природы континуума в современной математике? Рассмотрим на примере решения математической проблемы континуума, заданной в категории актуальной бесконечности. Натуральный ряд в современной математике определяется как множество всех натуральных чисел, что напрямую противоречит природе натурального ряда. Натуральный ряд является примером потенциально бесконечного множества по определению. Беспредельно возрастающий ряд натуральных чисел, сколько бы его не увеличивали, остается конечной величиной. Однако в категории потенциальной бесконечности мы не имеем права говорить о Натуральном ряде как о совокупности всех натуральных чисел или как о бесконечном счетном множестве.
Далее разберём, что такое мощность всех действительных чисел, так называемая континуальная мощность. Континуум в категории актуальной бесконечности определяется как бесконечное множество всех действительных чисел, представленных в виде числовой прямой. Рассмотрим эту числовую прямую с учетом принципа непрерывности. Согласно этому принципу числовая прямая не может быть представлена в виде актуального бесконечного множества, поэтому аналогом множества мощности континуума будет понятие возможности неограниченного деления числовой прямой в выбранной системе исчисления. Это понятие определено в категории потенциальной бесконечности.
Итак, понятие натурального ряда и понятие неограниченного деления числовой прямой в категории потенциальной бесконечности преобразуются в одно понятие – понятие числа. Возможность неограниченного счета с возможностью неограниченного деления в выбранной системе исчисления для определения численных значений объектов математики сколь угодно больших со сколь угодной точностью есть определение числа в категории потенциальной бесконечности.
Отсюда видим, что вопрос о существование промежуточного множества, определенного в категории актуальной бесконечности, в категории потенциальной бесконечности теряет смысл. Однако возникает вопрос: почему трансцендентные и иррациональные числа, определенные в категории актуальной бесконечности, в категории потенциальной бесконечности не имеют места? Действительно, в категории потенциальной бесконечности они являются не числами, а математическими объектами, которые могут быть вычислены с любой точностью, так как в категории потенциальной бесконечности числа по определению конструктивны. Следовательно, число вне числовой конструкции появиться не может.
Заключение. Хотя проблема континуума сформулирована в категории актуальной бесконечности, тем не менее автор нашел решение проблемы только в категории потенциальной бесконечности, так как изначально заданные как актуальные бесконечности на самом деле оказались потенциальными. То есть актуальная бесконечность непредставима и, соответственно, автор пришел к выводу, что теория бесконечных множеств Кантора ошибочна, поскольку его доказательства также основаны на потенциальной бесконечности.
Автор также утверждает, что математика в принципе не может содержать парадоксы, так как является инструментом логики. Однако парадоксы в теории множеств возникли из – за неправомерного использования понятия актуальной бесконечности. На основе предшествующего анализа и решения проблемы континуума наглядно видно, что актуальная бесконечность представима, но не в проявленной форме, то есть как непрерывность.
Во второй главе автор покажет, на каком математическом абсурде держится вся современная теоретическая физика.