Процессы роста могут быть описаны различными математическими функциями, включая линейные, экспоненциальные, модели ограниченного роста.
Линейный и экспоненциальный рост представляют разные траектории: линейный – стабильный, экспоненциальный – ускоряющийся. Линейный рост характерен для разных сфер, от физики до экономики, а его причины могут быть сложными и нелинейными, включая взаимодействия между переменными. Экспоненциальный рост характеризуется быстрым увеличением с каждым последующим изменением. Свойства этого роста, известные как геометрическая прогрессия, хорошо иллюстрирует история, дошедшая до нас из XIII века. Это история об изобретателе шахмат, который попросил своего правителя-благодетеля вознаградить его, удваивая число зерен риса на каждой следующей клетке поля. В конце первого ряда было всего лишь 128 зерен, однако к концу четвертого ряда число достигло 2,1 млрд, а в конце последнего – около 9,2 квинтиллиона зерен. В реальном мире экспоненциальный рост имеет ограничения, связанные с конкуренцией и нехваткой ресурсов.
Гиперболический рост отличается от экспоненциального роста тем, что стремится не только к бесконечности, но и к абсурду – к сингулярности, когда значение растущей переменной достигает бесконечности за конечный промежуток времени. Однако на практике такой рост невозможен, к его замедлению и остановке приводит обратная связь от окружающей среды. Примером квазигиперболического роста является быстрый рост населения. Рост некоторых раковых опухолей тоже начинается с ускорения, но затем переходит к сокращению периода удвоения во время самой агрессивной фазы.
Сигмоидальные функции, такие как S-образный рост (логистическая функция), описывают естественные и инновационные процессы. Изначально медленный рост ускоряется в точке нижнего изгиба, затем следует быстрый подъем, темп которого замедляется, формируя второй изгиб, за которым следует замедленный подъем, так как рост становится минимальным. В отличие от экспоненциального роста, относительное приращение логистического (ограниченного) роста уменьшается по мере приближения растущего значения к максимально возможному уровню (предельной нагрузке). Логистические кривые используются для прогнозирования роста живых организмов и антропогенных процессов. Однако их использование требует осторожности, так как они могут упускать важные детали и быть неточными в долгосрочных прогнозах.
Ограниченный экспоненциальный рост представляет собой альтернативный класс моделей роста, отличающихся от S-образных траекторий. Эти кривые описывают экспоненциальный спад с уменьшающимся темпом роста. Ограниченные экспоненциальные функции применяются, например, для анализа распространения технологий. Они также могут сочетаться с другими моделями роста.
В реальных условиях не все процессы роста поддаются описанию с помощью предложенных моделей. Тем не менее использование моделей роста может быть полезным для анализа.