Параметры сечений.
Расчет параметров сечения круга.
Сечение – Круг:
Диаметр круга d.
Контрольный расчет:
Круглое сечение: Диаметр = 80;
S=5026,548246; Jxx =2010619,298; Wxх=50265,48246.. .i=20,0…
Решение:
.s=d*d*Pii/4… Площадь круга.
.wr=Pii*d*d*d/16… Момент сопротивления радиальный.
.wx=wr/2… Момент сопротивления изгибу.
.jr=wr*d/2… Момент инерции радиальный.
.jx=jr/2 … Момент инерции по оси Х-Х.
.rm=sqrt(jx/s)… Радиус инерции оси Х-Х.
Расчет параметров трубного сечения.
Сечение – трубное.
Наружный диаметр d.
Внутренний диаметр dv.
.x=(d-dv)/2… Толщина стенки трубы.
.sn=d*d*Pii/4… Площадь отверстия.
.sv=dv*dv*Pii/4… Площадь по внешнему контуру.
.s=sn-sv… Площадь трубного сечения.
.jrn=Pii*(d**4)/32…
.jrv=Pii*(dv**4)/32…
.jr=jrn-jrv… Момент инерции радиальный.
.jx=jr/2… Момент инерции по оси Х-Х.
.wr=jr*2/d… Момент сопротивления радиальный.
.wx=wr/2… Момент сопротивления изгибу.
.rm=sqrt(jx/s)… Радиус инерции оси Х-Х.
Контрольный расчет:
Круглое трубное сечение: Диаметр = 80; Отв. Ф = 60..
Площадь сечения S=2199,11485751;
Jxx =1374446,785946; Wxх=34361,1696486.. .i=25,0..
……..
Расчет параметров сечения прямоугольника.
Сечение – Прямоугольник.
Высота сечения h.
Ширина сечения b.
Контрольный расчет:
Прямоугольное сечение: Высота = 80; Ширина = 60..
S=4800; Jxx =2560000; Wxх= 64000..
Jyy =1440000; Wyy= 48000.. .i=17,320510…
Диагональ = 100..
.s=h*b… Площадь прямоугольника.
.dg =sqr ((b*b)+(h*h))… Диагональ прямоугольника.
.jx=b*h*h*h/12 … Момент инерции по оси Х-Х.
.wx=b*h*h/6… Момент сопротивления изгибу по оси Х-Х.
.jy=h*b*b*b/12… Момент инерции по оси Y-Y.
Выбираем меньшее значение момента инерции « j min ».
.rm=sqrt(j min/s)… Радиус инерции минимальный.
Расчет параметров сечения прямоугольной трубы.
Сечение – Прямоугольная труба.
Высота сечения h.
Ширина сечения b.
Высота отверстия hm.
Ширина отверстия bm.
Расчет:
.s=(h*b)-(hm*bm)… Площадь сечения прямоугольной трубы.
.jx=(b*h*h*h/12)-(bm*hm*hm*hm/12)… Момент инерции по оси Х-Х.
.wx=2*jx/h… Момент сопротивления изгибу по Х-Х.
.jy=(h*b*b*b/12)-(hm*bm*bm*bm/12)… Момент инерции по оси Y-Y.
.wy=2*jy/b… Момент сопротивления изгибу по Y-Y.
Выбираем меньшее значение момента инерции « j min ».
.rm=sqrt(j min/s)… Радиус инерции минимальный.
Контрольный расчет:
Прямоугольная труба.
Высота = 80;
Высота отв.= 60;
Ширина = 60..
Ширина отв.= 40..
S=2400; Jxx =1840000; Wxх= 46000.. Jyy =1120000; Wyy= 37333,(3)..
.i=21,60246899… Диагональ = 100..
Расчет параметров сечения треугольника.
Сечение – Треугольник.
Высота треугольника h.
Основание треугольника b.
Центр тяжести ЦТ. От основания до ЦТ размер Z.
Расчет:
Sk=(h*b)/2… Площадь сечения.
Jxk=b*h*h*h/36… Момент инерции по оси Х-Х.
Для волокна вершины треугольника:
Mik=Jxk/(h*2/3)… Момент сопротивления изгибу по оси Х-Х.
Для волокна основания треугольника:
Mio=Jxk/(h*1/3)… Момент сопротивления изгибу по оси Х-Х.
Rk=sqrt(Jxk/Sk)… Радиус инерции сечения.
Z=h/3… Высота Ц.Т. от основания.
Контрольный расчет:
Треугольное сечение: Высота=80; Основание=60;
S=2400; Z =26,6(6); от подошвы до центра тяжести..
Jxx =853333,3(3); Wxn=32000,0; для нижних волокон..
Wxv=16000,0; … для верхних волокон..
.i=18,85618083..
Расчет параметров сечения тавра.
Сечение – Тавр.
Высота пера h.
Толщина пера b.
Высота подошвы hm.
Ширина подошвы bm.
Центр тяжести ЦТ. От подошвы до ЦТ расстояние xc.
Контрольный расчет:
Тавровое сечение:
Высота ребра = 80.. Толщина ребра =20..
Ширина подошвы = 60.. Толщина подошвы = 40..
Площадь S=4000.;
XC=44,0..; от подошвы до центра тяжести..
Jxx =4629333,(3)..
Х-Х – параллельна подошве..
Wxx=60912,28070175;.. минимальное..
Jyy=773333,(3)..;
Wyy=25777,(7);..
Радиус инерции .i= 13,90444.. минимальное..
…….
Расчет:
.s=(h*b)+(hm*bm)… Площадь сечения тавра.
.j1=b*h*h*h/12… Момент инерции пера относительно Ц.Т. пера.
.j2=bm*hm*hm*hm/12… Момент инерции подошвы относительно Ц.Т. подошвы.
.f1=h*b… Площадь пера.
.f2=hm*bm… Площадь подошвы.
.x1=(h/2)+hm…
.x2=hm/2… Gsf = 461030/2725231222…
Центр тяжести тавра от низа подошвы « xc ».
.xc=((f1*x1)+(f2*x2))/(f1+f2)…
.r1=(((h/2)+hm)-xc)… Радиус ц.т. пера от ц.т. тавра.
.r2=xc-(hm/2)… Радиус ц.т. подошвы от ц.т. тавра.
.jx1=j1+(r1*r1*f1)… Момент инерции смещенного пера.
.jx2=j2+(r2*r2*f2)… Момент инерции смещенной подошвы.
.jx=jx1+jx2… Момент инерции тавра по Х.
.wx=jx/((h+hm)-xc)… Момент сопротивления изгибу тавра по Х.
.jy1=h*b*b*b/12…
.jy2=hm*bm*bm*bm/12…
.jy=jy1+jy2… Момент инерции тавра по Y.
.wy=jy/(bm/2)… Момент сопротивления изгибу тавра по YY.
Выбираем меньшее значение момента инерции « j min ».
.rm=sqrt(j min/s)… Радиус инерции минимальный.
Расчет параметров сечения рельса.
Высота головки = h.
Ширина головки = b.
Высота стенки = hs.
Толщина стенки = bs.
Ширина подошвы = bm.
Толщина подошвы = hm.8888
Контрольный расчет:
Сечение типа Рельс:
Высота головки = 40..
Ширина головки =60..
Высота ребра = 80..
Толщина ребра =20..
Ширина подошвы = 100..
Толщина подошвы = 10..
S=5000.;
XC =69,80..; от подошвы до центра тяжести..
Jxx =9886466,(6)..
Х-Х – параллельна подошве..
Wxx=141639,923591;.. минимальное..
Jyy=1606666,(6)..
Wyy=32133,(3);..
.i= 17,925773.. минимальное..
……
Расчет:
.s=(h*b)+(hm*bm)+(hs*bs)… Площадь сечения рельса.
.j1=b*h*h*h/12… Момент инерции головки относительно собственного Ц.Т.
.j2=bs*hs*hs*hs/12 … Момент инерции стенки относительно собственного Ц.Т.
.j3=bm*hm*hm*hm/12… Момент инерции подошвы относительно собственного Ц.Т.
.f1=h*b … Площадь головки.
.f2=hs*bs … Площадь стенки.
.f3=hm*bm… Площадь подошвы.
.x1=(h/2)+hs+hm …
.x2=(hs/2)+hm…
.x3=hm/2…
Центр тяжести рельса от подошвы « xc ».
.xc=((f1*x1)+(f2*x2)+(f3*x3))/(f1+f2+f3)…
.r1=((h+hs+hm)-h/2)-xc… Радиус ц.т. головки от ц.т. рельса.
.r2=((hs/2)+hm)-xc… Радиус ц.т. стенки от ц.т. рельса.
.r3=xc-(hm/2)… Радиус ц.т. подошвы от ц.т. рельса.
.jx1=j1+(r1*r1*f1)… Момент инерции смещенной головки.
.jx2=j2+(r2*r2*f2)… Момент инерции смещенной стенки.
.jx3=j3+(r3*r3*f3)… Момент инерции смещенной подошвы.
.jx=jx1+jx2+jx3… Момент инерции рельса по ХХ.
.wx1=jx/((h+hs+hm)-xc)… Момент сопротивления изгибу рельса по ХХ.
.wx=jx/xc… Момент сопротивления изгибу рельса по ХХ.
Берем меньшее значение W из двух значений…
.jy1=h*b*b*b/12…
.jy2=hm*bm*bm*bm/12…
.jy3=hs*bs*bs*bs/12…
.jy=jy1+jy2+jy3… Момент инерции рельса по Y.
Выбор максимально удаленной части для оси Y-Y.
.wy=jy/(b/2)… Момент сопротивления изгибу рельса по YY.
.wy=jy/(bm/2)… Момент сопротивления изгибу рельса по YY.
Берем меньшее значение W из двух значений…
Выбираем меньшее значение момента инерции « j ».
.rm=sqrt(jx/s)…
.rm=sqrt(jy/s)…
Расчет параметров сечения трапеции.
Высота трапеции = h.
Верх трапеции = a.
Основание трапеции = b.
# Ведем расчет по классическим формулам 14-03-2020 г..
Pii = 3,141592654… Число Пи.
.x=(b-a)/2..
.y=(h*h)+(x*x)..
.ab=sqrt(y).. # Извлекаем квадратный корень ( Боковая грань трапеции ).
.xx=((a+x)*(a+x))+(h*h)..
.dt=sqrt(xx).. # Извлекаем квадратный корень (Диагональ трапеции ).
Ugrx=h/x..
Ugr=arctan(Ugrx).. # АрксТангенс от Ugrx в радианах.
Ug=Ugr*180/Pii.. # Угол в градусах…( Угол при основании ).
.s=h*(b+a)/2.. Площадь трапеции.
Далее расчет по оси Х-Х ( Ось Х-Х параллельна основанию ).
Разложим трапецию на два треугольника и на прямоугольник.
Sp=a*h.. # Площадь прямоугольника.
Jp=h*h*h*a/12.. # Момент инерции прямоугольника.
St=((b-a)/2)*h/2.. # Площадь одного треугольника.
.x=(b-a)/2.. # Основание одного треугольника.
Jt=h*h*h*x/36.. # Момент инерции одного треугольника.
.yt=h/3.. # Нейтральная ось от основания треугольника.
# Центр тяжести системы от основания ( нейтральная ось ).
.z=(((St+St)*yt)+(Sp*h/2))/(St+St+Sp).. ( На рисунке z обозначена как V ).
# Момент инерции двух треугольников со смещенным центром.
.at=z-yt.. # Смещение центра тяжести треугольников относительно Ц.Т. трапеции.
Момент инерции двух треугольников по Х-Х со смещенным центром.
Jts=2*(Jt+at*at*(St))..
# Момент инерции прямоугольника по Х-Х со смещенным центром.
.ap=z-(h/2).. # Смещение центра прямоугольника относительно Ц.Т. трапеции.
Jps=Jp+ap*ap*Sp.. Момент инерции прямоугольника по Х-Х со смещенным центром.
.jx=Jps+Jts.. # Момент инерции трапеции по оси ХХ.
.v=z.. # От основания – до нейтральной оси трапеции.
.wxv=jx/(h-v).. # Момент сопротивления изгибу для верхнего основания X-X.
.wxn=jx/v.. # Момент сопротивления изгибу для нижнего основания X-X.
.xr=jx/(Sp+St+St).. # jx / Площадь трапеции.
Rix=sqrt(xr).. # Извлекаем квадратный корень ( Радиус инерции ).
Далее расчет по оси YY.
# Разложим трапецию на два треугольника и на прямоугольник.
Sp=a*h.. # Площадь прямоугольника.
Jpy=a*a*a*h/12.. # Момент инерции прямоугольника.
# …
St=((b-a)/2)*h/2.. # Площадь одного треугольника.
.hy=(b-a)/2.. # Высота одного треугольника.
Jty=hy*hy*hy*h/36.. # Момент инерции одного треугольника Y-Y.
.yty=hy/3.. # Нейтральная ось от основания треугольника.
.ytyc=yty+(a/2).. # Нейтральная ось треугольника от оси Y-Y.
# Момент инерции двух треугольников со смещенным центром.
# .ytyc – Смещение центра треугольников от оси Y-Y.
Jtsy – Момент инерции двух треугольников по Y-Y со смещенным центром.
Jtsy=2*(Jty+ytyc*ytyc*(St))..
# Jpy – Момент инерции прямоугольника ( смещения нет ).
.jyy=Jpy+Jtsy.. # Момент инерции трапеции по оси Y-Y.
.wyv=jyy/(b/2).. # Момент сопротивления изгибу для Y-Y.
.xr=jyy/(Sp+St+St).. # ( jx / Площадь трапеции ).
Riy=sqrt(xr).. # Извлекаем квадратный корень ( Радиус инерции по Y-Y ).
Контрольный расчет:
Сечение в виде симметричной трапеции.
Высота трапеции = 30.
Основание трапеции = 50.
Верх трапеции = 20.
…
Боковая грань трапеции = 33.54102.
Диагональ трапеции = 46.097722.
Угол при основании = 63.434949 Градус.
Площадь трапеции = 1050.0.
Далее расчет по оси Х-Х.
Момент инерции по Х-Х одного треугольника Jt = 11250.0.
Центр тяжести системы Х-Х от основания = 12.8571.
Момент инерции двух треугольников по Х-Х со смещенным центром. = 26173.4694.
Момент инерции прямоугольника по Х-Х со смещенным центром. = 47755.102.
Момент инерции трапеции по оси ХХ. = 73928.5714.
Момент сопрот.изгибу по оси ХХ. = 4312.5 верх; 5750.0 низ;
Радиус инерции оси Х-Х = 8.391..
Далее расчет по оси YY.
Момент инерции по Y-Y одного треугольника Jt = 2812.5..
Момент инерции двух треугольников по Y-Y со смещенным центром. = 106875.0..
Момент инерции прямоугольника по оси Y-Y ( смещения нет ) = 20000.0..
Момент инерции трапеции по оси Y-Y. = 126875.0..
Момент сопрот.изгибу по оси Y-Y. = 5075.0..
Радиус инерции оси Y-Y = 10.9924..
Расчет параметров сечения шестигранника.
Ось ХХ проходит через вершины на описанном диаметре do.
.d – Вписанный диаметр ( размер под ключ ).
.ss=0,866025403*d*d … Площадь шестигранника через вписанный диаметр.
.do=1,154700538*d … Описанный диаметр.
.ss=0,6495190528*do*do … Площадь шестигранника через описанный диаметр.
.ls=do/2 … Длина грани.
Для дальнейшего расчета представим шестигранник.
Как две трапеции соединенные основаниями.
Далее расчет заимствуем из расчета трапеции.
.h=d/2 … Высота трапеции.
.a=do/2… Верх трапеции ( Длина грани ).
.b=do… Основание трапеции.
Далее расчет трапеции:
.s=h*(b+a)/2.. Площадь трапеции.
Далее расчет по оси Х-Х ( Ось Х-Х параллельна основанию )..
Разложим трапецию на два треугольника и на прямоугольник.
Sp=a*h.. # Площадь прямоугольника.
Jp=h*h*h*a/12.. # Момент инерции прямоугольника.
St=((b-a)/2)*h/2.. # Площадь одного треугольника.
.x=(b-a)/2.. # Основание одного треугольника.
Jt=h*h*h*x/36.. # Момент инерции одного треугольника.
.yt=h/3.. # Нейтральная ось от основания треугольника.
# Центр тяжести системы ( трапеции ) от основания ( нейтральная ось )..
.z=(((St+St)*yt)+(Sp*h/2))/(St+St+Sp).. ( На рисунке z обозначена как V ).
# Момент инерции двух треугольников со смещенным центром.
.at=z-yt.. # Смещение центра тяжести треугольников относительно Ц.Т. трапеции.
Момент инерции двух треугольников по Х-Х со смещенным центром.
Jts=2*(Jt+at*at*(St))..
# Момент инерции прямоугольника по Х-Х со смещенным центром.
.ap=z-(h/2).. # Смещение центра прямоугольника относительно Ц.Т. трапеции.
Jps=Jp+ap*ap*Sp.. Момент инерции прямоугольника по Х-Х со смещенным центром.
.jx=Jps+Jts.. # Момент инерции трапеции по оси ХХ.
Ось ХХ трапеции смещена относительно оси ХХ шестигранника на величину V или z.
Jtz – Момент инерции трапеции по оси смещенной на величину V.
Jtz= jx + V*V*s..
Jse= Jtz+ Jtz.. Момент инерции шестигранника по оси ХХ.
Wse=Jse*2/d.. Момент сопротивления изгибу шестигранника по оси ХХ.
.rm=sqrt(Jse/(s+s))… Радиус инерции оси Х-Х.
..... .....
Контрольные цифры:
Вписанный диаметр ( размер под ключ ) d = 86,60254038..
Описанный диаметр do = 100..
Площадь шестигранника = 6495,190528..
Расчет параметров произвольного сечения.
Заданное произвольное сечение представим как набор элементарных прямоугольников.
Ось Х-Х расположим по нижней стороне первого прямоугольника.
Определяем площадь, расстояние центра тяжести от оси Х-Х и
момент инерции первого прямоугольника.
Определяем площадь, расстояние центра тяжести от оси Х-Х и
момент инерции второго прямоугольника.
Находим расстояние центра тяжести системы двух прямоугольников от оси Х-Х.
Находим момент инерции каждого прямоугольника относительно оси
проходящей через общий центр тяжести.
Находим общий для системы момент инерции и общую площадь.
Рассчитанную систему принимаем как первый прямоугольник.
Добавляем еще один прямоугольник и повторяем выше приведенный расчет.
Этот цикл расчетов ведем, пока не просчитаем все прямоугольники произвольного сечения.
Высота первого прямоугольника = h.
Ширина первого прямоугольника = b.
.j1=b*h*h*h/12… Момент инерции первого прямоугольника.
.w1=j1/(h/2)… Момент сопротивления первого прямоугольника.
.s1=h*b… Площадь сечения первого прямоугольника.
.xc1=h/2… Высота центра тяжести первого прямоугольника от оси Х-Х.
.m1=s1*(h/2)… Момент площади первого прямоугольника относительно оси Х-Х.
# Точка расчета № 1…
Высота второго прямоугольника = h1.
Ширина второго прямоугольника = b1.
Высота расположения основания
второго прямоугольника относительно оси Х-Х = hx.
.j2=b1*h1*h1*h1/12… Момент инерции второго прямоугольника.
.w2=j2/(h1/2)… Момент сопротивления второго прямоугольника.
.s2=h1*b1… Площадь сечения второго прямоугольника.
.xc2=(h1/2)+hx… Высота центра тяжести второго прямоугольника от оси Х-Х.
.m2=s2*((h1/2)+hx)… Момент площади второго прямоугольника относительно оси Х-Х.
.xx=(m1+m2)/(s1+s2)… Расстояние Ц.Т. от оси Х-Х системы двух прямоугольников.
R1=xx-xc1… Расстояние между Ц.Т. системы и Ц.Т. первого прямоугольника.
R2=xc2-xx… Расстояние между Ц.Т. системы и Ц.Т. второго прямоугольника.
.j1x=j1+( R1*R1*s1)…Момент инерции первого прямоугольника относительно Ц.Т. системы.
.J2x=j1+( R2*R2*s2)…Момент инерции второго прямоугольника относительно Ц.Т. системы.
.Jx=j1x+j2x… Момент инерции системы двух прямоугольников относительно Ц.Т. системы.
Sx=s1+s2… Суммарная площадь двух прямоугольников.
.... .....
Далее в расчете принимаем систему двух прямоугольников за новый, первый прямоугольник у которого:
.s1=Sx… xc1=xx… j1=Jx… m1=Sx*xx…
Вводим данные следующего прямоугольника:
( считая его новым вторым прямоугольником ) и снова проходим весь расчет,
начиная с # Точки расчета № 1…
Для проверки можно пересчитать сечение « Рельс ».
……..
Кстати все вышеизложенные расчеты эффективнее выполнять используя программы.
Программы можно скопировать из книги « Python 3 Полезные программы книга третья. ».
Программы значительно экономят время и уменьшают вероятность ошибок в расчетах..
Программы можно выполнить так же в Excel.
,,,,