В старину в школе начало нового этапа обучения отмечалось совместной трапезой – все угощались кашей (так, кстати, произошло слово «однокашник»). Нашкодивших и провинившихся учеников вместо угощения кашей пороли берёзовыми розгами – «потчевали» кашей берёзовой.
Выражение «дать берёзовой каши» употребляют, когда хотят пригрозить, предупреждают о возможном наказании за какие-то провинности; и, конечно же, говорят это с иронией, шутливо.