В 10 лет Александр придавил себе ноги, развязывая воз дров. Очень долго он не мог ходить, а по выздоровлении родители по обету отдали его на год в Соловецкий монастырь. Монашеская среда, с ее аскетизмом и трудолюбием, сильно повлияла на впечатлительного юношу. Став в 1881 году послушником Соловецкого монастыря, Александр попал в рыболовецкую бригаду. Он ставил сети на лесных озерах, а в свободное время рисовал местную беломорскую природу и портреты скитской братии.
Через год Александр уехал домой, но в 18-летнем возрасте решил вернуться в Соловецкий монастырь и поступить в иконописную мастерскую. Там на его талант вскоре обратили внимание: архимандрит определил юношу в школу живописи при монастыре.
Летом 1885 года Соловки посетил президент Академии художеств, великий князь Владимир Александрович. Посмотрев работы Борисова, он пообещал ему содействие в получении художественного образования. Практические же шаги предпринял знаток живописи генерал Андрей Андреевич Боголюбов. Благодаря его хлопотам Александр получил пособие и осенью 1886 года приехал в Петербург.
В столице у него никого не было, поэтому очень своевременным оказалось ходатайство настоятеля Соловецкого монастыря о поселении и питании молодого человека в Александро-Невской лавре. Покровителями будущего художника стали всё тот же генерал Боголюбов и директор Александровского механического завода в Петербурге Болеслав Антонович Яловецкий. Первый занимался с ним русским языком и историей, второй – математикой. У поморского уроженца Борисова не имелось даже начального образования.
Занятия в рисовальной школе Общества поощрения художеств проходили три раза в неделю. Учеников было много, но самым великовозрастным и малообразованным среди них оказался Александр. Только сильная воля и внутренняя сосредоточенность помогли ему не потерять веру в себя. Трехлетний курс рисовальной школы Александр прошел за один год и в июле 1888-го подал прошение о приеме вольнослушателем в Академию художеств. Плату за обучение вносили Боголюбов, Яловецкий и директор Балтийского судостроительного завода Михаил Ильич Кази. Занимался Борисов усердно: за четыре года его успехи были отмечены двумя малыми и одной большой поощрительными серебряными медалями, а также назначением государственной стипендии.
В 1893 году в Академии учредили индивидуальные мастерские профессоров-руководителей. На эти должности пригласили известных художников-передвижников. Борисов обучался вначале у Ивана Ивановича Шишкина, а позже у Архипа Ивановича Куинджи.
В летние периоды Борисов не имел возможности уезжать к себе на Север и обычно проводил это время на академической даче со своим учителем, трудясь над прорисовкой пейзажей. Шишкин учил своего подопечного точности в рисунке и терпеливому труду рисовальщика. Позднее под влиянием Куинджи Александр Алексеевич отойдет от протокольного отношения к природе и приблизится к более глубокому пониманию художественной правды. В его работах появятся внутренняя взволнованность, экспрессия и творческая индивидуальность.