– Есть разница между полной истиной и частью истины, и это можно доказать: таков по сути вывод Тарского из теоремы Гёделя, – сказал Селдом. – И разумеется, судьи, судебные врачи, а также археологи усвоили это куда раньше математиков. Возьмем для примера любое преступление с двумя подозреваемыми. Каждый из них знает всю правду, то, что первостепенно важно в данном деле: «это был я» или «это был не я». Но правосудие не может напрямую использовать их правду, ему приходится двигаться к ней извилистыми и трудными путями, собирая доказательства: проводить допросы, изучать и проверять алиби, искать отпечатки пальцев… И очень часто очевидных вроде бы фактов оказывается недостаточно ни для того, чтобы доказать вину одного, ни для того, чтобы снять подозрения с другого. По сути, Гёдель в 1930 году убедительно продемонстрировал в своей теореме о неполноте, что нечто подобное случается и в математике. Имеется в виду механизм доказательства истины, восходящий к Аристотелю и Евклиду, весь этот набор приемов, с помощью которых, опираясь на постулаты и правила вывода, путем логических дедукций получают утверждения (теоремы) данной теории – иначе говоря, то, что мы называем аксиоматическим методом. Но и он порой может оказаться столь же неудовлетворительным, как и шаткие критерии приблизительности в глазах правосудия. – Селдом на миг прервался, протянув руку к соседнему столу за бумажной салфеткой. Я подумал было, что он хочет написать на ней одну из своих формул, но он лишь быстро вытер салфеткой уголок рта и вновь заговорил: – Гёдель показал, что далее на самых элементарных математических уровнях существуют идеи, которые не могут быть ни доказаны, ни отвергнуты на основе аксиом, и последние находятся вне зоны достижения формальных механизмов и не поддаются никаким попыткам доказательства. Есть случаи, относительно которых ни один судья не может сказать, где правда, а где ложь, виноват человек или невинен. Когда я впервые познакомился с этой теоремой, Иглтон был моим официальным научным руководителем, и вот что поразило меня больше всего, как только я сумел разобраться и – главное – принять истинное значение теоремы: мне показалось весьма любопытным то, что математики на протяжении столь долгого времени пользовались, не испытывая особых неудобств и сомнений, абсолютно – и безусловно – ошибочным принципом.
Мало того, поначалу почти все полагали, что это сам Гёдель совершил какую-то ошибку и что вскоре в его доказательстве обнаружится некая трещина; даже сам Зермело[10] оставил все прочие работы и два года жизни полностью посвятил попыткам теорему опровергнуть.
Первый вопрос, который я себе задал, был таким: почему математики не спотыкаются да и не спотыкались на протяжении нескольких веков ни об один из этих недоказуемых постулатов, почему и после Гёделя, то есть в настоящее время, математика способна идти своей дорогой – в любом направлении, куда ей заблагорассудится?