Введение

Одним из основоположников современных представлений о самоорганизации является профессор Штуттгартского университета Г. Хакен. Еще в начале 1970-х годов Хакеном было замечено, какую важную роль в самоорганизующихся системах играют самосогласованные, коллективные движения частиц. Тогда же им был введен в современный научный язык термин «синергетика», которым теперь обозначается область науки, включающая в себя изучение любых кооперативных явлений природы.

По гречески слово synergeia означает коллективное (совместное) действие. Поэтому в своем названии синергетика как бы подчеркивает тот факт, что при объединении частиц в систему возникает новое качество, присущее только «коллективу» частиц. Заметим, что возникновение у системы нового качества означает, что появилась новая структура, порождающая это качество, т. е. произошла самоорганизация1. Поэтому синергетику часто называют наукой о самоорганизации.

Синергетические системы – это открытые (незамкнутые) системы2. В подавляющем числе случаев именно с такими системами нам приходится иметь дело. Характерной чертой современных исследований в области синергетики является упор на изучение нелинейного поведения. Под нелинейным поведением понимается неоднозначная реакция системы на внешнее воздействие. С математической точки зрения нелинейность возникает тогда, когда уравнение имеет несколько решений. Например, квадратное уравнение имеет два решения, кубическое – три, и т. д. В окружающем нас мире нелинейность проявляется в виде многовариантного поведения, т. е. когда у системы появляется возможность выбора из нескольких новых состояний.

Под внешним воздействием система становится открытой. В нелинейной динамике изменение внешнего воздействия соответствует изменению управляющих параметров. Управляющими параметрами называются константы (постоянные величины), входящие в эволюционное уравнение [2,14, 20]. В качестве последнего выступает уравнение вида

(1)

где Yi – переменные системы; t – время; Fi – функция переменных, вид которой определяется свойствами системы; n — количество переменных, минимально необходимое для описания исследуемого процесса.

Управляющие параметры представляют в эволюционном уравнении (1) внешние условия, которые система изменить не может, и поэтому вынуждена под них подстраиваться [20]. Например, если система движется по выпуклой или вогнутой поверхности и при этом на нее действует сила тяжести и сила сопротивления среды, то в правую часть уравнения (1) в качестве постоянных величин войдут кривизна поверхности, ускорение свободного падения и коэффициент сопротивления среды. Эти постоянные величины будут управляющими параметрами. Изменить их система не может, поэтому ей придется двигаться, подстраиваясь к ним. В частности, она будет двигаться в направлении от выпуклости к вогнутости. Если мы изменим кривизну поверхности, поменяв, например, выпуклое на вогнутое, то это сразу же скажется на движении системы – оно изменится на обратное. Другими словами, изменяя значения указанных параметров, внешний мир управляет поведением системы. Собственно, поэтому эти параметры и названы управляющими.

Эволюционными уравнениями вида (1) описываются объекты весьма широкого класса. В том числе и такие, какие не могут быть отнесены к системам, например материальная точка. Предметом же настоящей книги являются самоорганизующиеся системы. В связи с этим необходимо уточнить, что мы понимаем в (1) под переменными Yi.

Прежде всего, предполагается, что нам известно, какие части системы являются ее элементами. Отдельные группы элементов могут образовывать подсистемы данной системы (в предельном случае подсистема может быть одна, т. е. совпадать с самой системой). Так вот, переменные Yi в эволюционном уравнении – это переменные, описывающие связи между подсистемами. Иными словами, отдельная Yi символизирует некоторую обобщенную характеристику коллективного движения элементов подсистемы.

Только при таком понимании Yi эволюционное уравнение (1) может описывать самоорганизацию. Действительно, если внешний мир изменит управляющие параметры, то процесс подстраивания системы к новым их значениям проявится в том, что элементы подсистем, представленных в (1) в виде обобщенных переменных, изменят свое коллективное движение. Это следует из того, что в (1) изменение управляющих параметров непосредственно влияет на значения Yi, т. е. на подсистемы, а не на их элементы. Следовательно, элементам придется самопроизвольно изменить взаимодействие между собой, чтобы их коллективное движение стало соответствовать новым значениям управляющих параметров. Иначе говоря, в системе произойдет самоорганизация (см. определение самоорганизации в первой сноске на с. 5).

Итак, в данной книге под переменными Yi в (1) мы понимаем макроскопические переменные, соответствующие некоторым обобщенным характеристикам коллективного движения элементов системы. Напомним, что в синергетике такие переменные называются параметрами порядка [19].

Математически создание синергетической модели, как правило, начинается с выбора параметров порядка, т. е. с выбора макроскопических переменных, количественно характеризующих основные связи в системе. Следующий шаг заключается в составлении пропорций, формирующих эти связи. Правило составления пропорций подробно описано в [19] (см. также [3]). Согласно этому правилу, увеличение некоторой величины с течением времени пропорционально приросту этой величины минус ее потери. Затем эти пропорции преобразуются в эволюционное уравнение типа (1).