Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний - читать онлайн

Введение в масштабирование

Прежде чем обратиться к многочисленным проблемам и вопросам, упомянутым во вступительной главе, я хотел бы посвятить эту главу общему введению в некоторые базовые концепции, которые используются во всем остальном тексте этой книги. Хотя некоторые из читателей могут быть уже знакомы с этим материалом, я хочу быть уверен в том, что все мы понимаем его одинаково.

Этот обзор составлен главным образом в историографическом ключе: он начинается с Галилея и объяснения того, почему не могут существовать гигантские насекомые, и заканчивается лордом Рэлеем и объяснением того, почему небо синее. Между этими пунктами я коснусь Супермена, ЛСД и дозировки медикаментов, индексов массы тела, кораблекрушений и истоков теории моделирования, а также связи всего этого с происхождением и природой инноваций и пределов роста. Я хочу использовать эти примеры прежде всего для того, чтобы дать представление о концептуальных возможностях математического мышления, ориентирующегося на понятие масштаба.

1. От Годзиллы до Галилея

Я, как и многие другие ученые, время от времени получаю от журналистов просьбы об интервью, обычно по каким-нибудь вопросам или проблемам, касающимся городов, урбанизации, окружающей среды, устойчивости, сложности или Института Санта-Фе, а иногда даже бозона Хиггса. Вообразите же мое удивление, когда ко мне обратилась одна журналистка из «Популярной механики» (Popular Mechanics), которая сообщила мне, что Голливуд собирается выпустить новую крупнобюджетную версию классического японского фильма «Годзилла», и поинтересовалась моим мнением по этому вопросу. Как вы, возможно, помните, Годзилла – это огромное чудовище, которое главным образом занимается тем, что слоняется по городам (в оригинале 1954 г. – по Токио), сея разрушения и хаос и наводя ужас на население.

Журналистка слышала, что я кое-что знаю о масштабировании, и просила меня «весело, простенько и по-научному рассказать о биологии Годзиллы (в связи с выходом нового фильма)… с какой скоростью такое большое животное может ходить… сколько энергии будет вырабатывать его обмен веществ, сколько оно могло бы весить и т. д.». Разумеется, этот новый американский Годзилла XXI в. был самым крупным из всех воплощений этого персонажа: его рост достигал целых 106 м, более чем вдвое превышая рост чудовища в исходном японском фильме, составлявший «всего» 50 м. Я немедленно ответил, что почти любой ученый, к которому она обратится, скажет ей, что никакое животное типа Годзиллы на самом деле существовать не может. Если бы оно состояло приблизительно из тех же базовых материалов, что и мы (то есть все живые существа), оно было бы нежизнеспособно, так как обрушилось бы под собственным весом.

Научное обоснование этого утверждения сформулировал более четырехсот лет назад, на заре современной науки, Галилей. Самую суть его составляет элегантное рассуждение о масштабировании: Галилей задался вопросом о том, что произойдет, если попытаться бесконечно увеличивать животное, дерево или здание, и выяснил, что у такого увеличения имеются пределы. Его рассуждение стало базовым шаблоном для всех последующих рассуждений о масштабировании вплоть до настоящего времени.

Галилея не зря часто называют «отцом современной науки», имея в виду его многочисленные фундаментальные вклады в физику, математику, астрономию и философию. Наверное, более всего известны его легендарные опыты, в которых он бросал предметы разных размеров, изготовленные из разных материалов, с вершины наклонной Пизанской башни, чтобы продемонстрировать, что все они достигают земли за одно и то же время. Это неочевидное наблюдение противоречило Аристотелевой догме, согласно которой тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, и скорость их падения прямо пропорциональна их весу. Это фундаментальное заблуждение никем не подвергалось сомнению в течение почти двух тысяч лет, пока Галилей наконец не проверил его на опыте. Задним числом кажется удивительным, что до исследований Галилея никто, по-видимому, не задумывался о справедливости этого «самоочевидного факта», не говоря уже о том, чтобы проверить его.

Галилей в возрасте тридцати пяти и шестидесяти девяти лет; он умер менее чем десятью годами позже. Старение и смертность, которые наглядно иллюстрируют эти портреты, подробно обсуждаются в главе 4

Опыт Галилея произвел революцию в нашем фундаментальном понимании движения и динамики и проложил дорогу Ньютону с его знаменитыми законами движения. Эти законы привели к появлению точной, обладающей предсказательной силой численной математической системы понимания любого движения, будь то на Земле или на другом конце Вселенной, объединив тем самым небеса и Землю под властью одних и тех же законов природы. Это не только дало новое определение места человека в мироздании, но и создало эталон для всех последующих научных исследований, в том числе подготовив почву для наступления века Просвещения и научно-технических революций двух последних столетий.

Галилей также знаменит тем, что усовершенствовал конструкцию телескопа и открыл луны Юпитера, что убедило его в справедливости Коперниковой точки зрения на строение Солнечной системы. Однако Галилею пришлось дорого заплатить за последовательное отстаивание гелиоцентрической гипотезы, вытекавшей из его наблюдений. В возрасте шестидесяти девяти лет, тяжелобольным, он предстал перед судом инквизиции, который признал его воззрения еретическими. Он был вынужден отречься от своих взглядов и после недолгого тюремного заключения провел остаток жизни (еще девять лет, в течение которых он ослеп) под домашним арестом. Его книги были запрещены и попали в печально известный ватиканский «Индекс запрещенных книг» (Index Librorum Prohibitorum). Лишь в 1835 г., более двухсот лет спустя, его работы были исключены из этого списка, и только в 1992-м – по прошествии почти четырех веков – папа Иоанн Павел II публично выразил сожаление по поводу обращения церкви с Галилеем. Мысль о том, что какие-то слова, написанные в незапамятные времена на еврейском, греческом и латинском языках, основанные на чьих-то личных мнениях, догадках и предрассудках, могли столь безапелляционно перевешивать результаты научных наблюдений и математическую логику, действует отрезвляюще. Как ни печально это признавать, мы и сегодня не можем похвастаться полной свободой от таких заблуждений.

Несмотря на ужасную трагичность того, что случилось с Галилеем, его заключение принесло человечеству огромную выгоду. Возможно, это произошло бы и в другом случае, но именно находясь под домашним арестом, он написал, вероятно, лучшую свою работу, одно из поистине великих произведений научной литературы, озаглавленное «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638)[23]. Эта книга, по сути дела, подводит итоги предыдущих сорока лет работы Галилея, в течение которых он пытался разработать систематический подход к задаче логического, рационального понимания окружающего нас природного мира. Этой работой он заложил тот фундамент, на котором впоследствии возникли не менее основополагающие труды Исаака Ньютона и практически вся позднейшая наука. Эйнштейн не преувеличивал, когда, говоря об этой книге, назвал Галилея «отцом современной науки»[24].

Это великая книга. Несмотря на непривлекательное название и несколько архаичный язык и стиль изложения, ее на удивление приятно и интересно читать. Она написана в форме «бесед» трех человек (Симпличио, Сагредо и Сальвиати), которые встречаются на протяжении четырех дней и обсуждают различные вопросы, великие и малые, ответов на которые искал Галилей. Симпличио символизирует «простого» обывателя, интересующегося устройством мира и задающего ряд вопросов, кажущихся наивными. Сальвиати – ученый (Галилей!), знающий ответы на все вопросы, которые излагаются в авторитетной, но терпеливой манере, а Сагредо играет роль посредника между этими двумя, то подвергая сомнению утверждения Сальвиати, то подбадривая Симпличио.

На второй день своих бесед они переходят к несколько туманному на первый взгляд обсуждению прочности веревок и балок, и как раз в тот момент, когда читатель уже начинает недоумевать, куда приведет этот довольно нудный, перегруженный подробностями разговор, туман рассеивается, все освещается, и Сальвиати делает следующее заявление:

Вот и все: Галилей чуть ли не четыреста лет назад предугадал наши параноидальные фантазии о гигантских муравьях, жуках, пауках и тех же самых Годзиллах, столь ярко изображаемые в комиксах и фильмах, а затем самым блестящим образом продемонстрировал их физическую невозможность. Точнее говоря, он показал, что реально достижимая величина всех этих существ ограничена некими фундаментальными пределами. Так что многочисленные образы научной фантастики в области фантастики и остаются.

Рассуждение Галилея отличается элегантностью и простотой, но имеет при этом весьма глубокие следствия. Кроме того, оно служит превосходным введением во многие из тех концепций, которые мы будем рассматривать в следующих главах. Оно состоит из двух частей: геометрического доказательства, демонстрирующего, как масштабируются площадь и объем любого объекта при увеличении его размеров (рис. 5), и инженерного доказательства, показывающего, что прочность колонн, поддерживающих здания, конечностей, на которые опираются животные, или стволов деревьев пропорциональна площади их поперечного сечения (рис. 6).

В следующей рамке приведен общедоступный вариант первого из этих доказательств, показывающего, что если форма объекта неизменна, то при увеличении его размеров все его поверхности увеличиваются пропорционально квадрату, а все его объемы – пропорционально кубу линейных размеров.

Рис. 5. Иллюстрация масштабирования объемов и площади поверхностей для простейшего случая квадратов и кубов

Рис. 6. Прочность балки или конечности пропорциональна площади их поперечного сечения

При удвоении всех длин

Площадь поверхности увеличивается в 2 × 2 = 4 (22) раза

Объем увеличивается в 2 × 2 × 2 = 8 (23) раз

Таким образом, при увеличении размеров объекта его объем увеличивается гораздо быстрее, чем площадь его поверхностей. Приведем простой пример: при удвоении всех линейных размеров дома с сохранением его формы объем увеличивается в 2³ = 8 раз, а площадь помещений – всего в 2² = 4 раза. Если взять гораздо более радикальный случай и увеличить все линейные размеры в 10 раз, все площади поверхностей – полов, стен, потолков и так далее – увеличатся в 10 × 10 = 100 раз (то есть стократно), а объемы помещений возрастут много больше, в 10 × 10 × 10 = 1000 раз (то есть тысячекратно).

Это обстоятельство чрезвычайно важно для устройства и деятельности многого из того, что нас окружает, будь то здания, в которых мы живем и работаем, или строение животных и растений природного мира. Например, уровни отопления, охлаждения и освещения в большинстве случаев пропорциональны площади поверхности нагревателей, кондиционеров и окон. Поэтому их производительность растет гораздо медленнее, чем объем помещений, которые требуется отапливать, охлаждать или освещать, поэтому при масштабном увеличении здания его потребности в этом отношении возрастают непропорционально. Сходным образом для крупных животных может быть проблематичным обеспечение рассеяния тепла, выделяемого в результате обмена веществ и физической деятельности, так как площадь поверхности, через которую это тепло рассеивается, у них меньше относительно объема тела, чем у животных более мелких. Например, слоны решили эту проблему, отрастив себе непропорционально большие уши, которые существенно увеличивают площадь поверхности их тела и позволяют рассеивать большее количество тепла.

Весьма вероятно, что принципиальное различие между масштабным увеличением поверхностей и объемов осознавали многие и до Галилея. Его дополнительная новая идея заключалась в объединении этой геометрической истины с осознанием того, что прочность колонн, балок и членов тела определяется величиной площади их поперечного сечения, а не длиной. Так, столб с прямоугольным сечением 4 на 10 см (= 40 см²) может поддерживать вес, в четыре раза больший, чем столб из того же материала, линейные размеры поперечного сечения которого в два раза меньше, то есть 2 на 5 см (= 10 см²) независимо от длин обоих столбов. Первый из них может быть длиной 2 м, а второй – 4, это не имеет значения. Именно поэтому строители, архитекторы и инженеры, занимающиеся строительством, классифицируют пиломатериалы по площади поперечного сечения, а в строительных магазинах их снабжают этикетками типа «40 × 40», «40 × 50», «50 × 50» и так далее.

Однако при масштабном увеличении здания или животного их вес возрастает прямо пропорционально объему – если, конечно, материалы, из которых они состоят, не изменяются и, следовательно, их плотность остается той же. Таким образом, удвоение объема приводит к удвоению веса. Это означает, что вес, который поддерживает колонна или конечность, возрастает значительно быстрее, чем увеличивается прочность: вес (как и объем) масштабируется пропорционально кубу линейных размеров, а прочность увеличивается лишь пропорционально их квадрату. Чтобы проиллюстрировать это положение, представим себе дерево или здание, высота которых увеличивается в 10 раз, а форма остается неизменной. Тогда вес, который необходимо поддерживать, возрастает тысячекратно (в 10³ раз), а прочность колонны или ствола, поддерживающих этот вес, – лишь стократно (в 10² раз). Таким образом, способность поддерживать дополнительный вес после такого увеличения оказывается равна всего лишь одной десятой исходной величины. Поэтому произвольное увеличение размеров конструкции, какой бы она ни была, рано или поздно приведет к ее обрушению под собственным весом. Размер и рост имеют пределы.

Иначе говоря, по мере увеличения размеров последовательно уменьшается относительная прочность. Или, если использовать яркий образ, который приводит сам Галилей, «в телах меньших замечается даже относительное увеличение [прочности], так, я думаю, что небольшая собака может нести на себе двух или даже трех таких же собак, в то время лошадь едва ли может нести на спине одну только другую лошадь, равную ей по величине»[26].

2. Ошибочные выводы и недоразумения с масштабами: Супермен

Супермен, впервые появившийся на Земле в 1938 г., до сих пор остается одним из величайших кумиров мира фантастики и фэнтези. Я привожу здесь первую страницу первого комикса о Супермене 1938 г., на которой объяснялось его происхождение[27]. Еще младенцем он прилетел с планеты Криптон, «физическое строение обитателей которой на миллионы лет опередило наше. В зрелом возрасте представители его расы приобретали титаническую силу». Действительно, повзрослевший Супермен «легко мог прыгать на ⅛ мили[28], перескакивать через двадцатиэтажные здания… поднимать огромные тяжести… бежать быстрее скоростного поезда…» – и все эти качества торжественно провозглашались в знаменитой заставке к радиопередачам и позднейшим телевизионным сериалам и фильмам: «Он быстрее летящей пули. Он сильнее локомотива. Он может перепрыгнуть через высотное здание одним прыжком. ‹…› Это Супермен!»

Исходный миф о Супермене и объяснение его сверхсилы; начальная страница первого комикса о Супермене 1938 г.

Все это, может быть, и так. Но в последнем квадрате этой же первой страницы мы находим еще одно смелое заявление, настолько важное, что его даже набрали прописными буквами: «НАУЧНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ ПОРАЗИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ КЛАРКА КЕНТА… Невероятно? Нет! Ибо прямо сейчас в нашем мире есть существа, обладающие сверхсилой!» В подтверждение этому приводятся два примера: «Скромный муравей может держать вес, в сотни раз превышающий его собственный» и «Кузнечик прыгает на расстояние, которое для человека составило бы длину нескольких кварталов».

Какими бы убедительными ни казались эти примеры, в них проявляются классическое непонимание и ошибочные выводы из достоверных фактов. Муравей кажется, по меньшей мере на первый взгляд, гораздо сильнее человека. Однако, как мы узнали от Галилея, относительная прочность или сила систематически увеличивается с уменьшением размеров. Поэтому при уменьшении масштаба с размеров собаки до размеров муравья из простых правил масштабного изменения силы при изменении размеров следует, что если «небольшая собака может нести на себе двух или даже трех таких же собак», то муравей сможет нести на своей спине целую сотню муравьев такого же размера. Кроме того, поскольку человек приблизительно в 10 миллионов раз тяжелее муравья, из того же рассуждения следует, что человек может нести на себе лишь одного другого человека. Таким образом, муравей на самом деле обладает силой, нормальной для существа его размера, так же как и человек, и в том, что он способен поднять груз, вес которого в сто раз превышает его собственный, нет ничего необычного или удивительного.

Это недоразумение возникает из-за естественной склонности к линейному мышлению, которое подразумевает, что удвоение размеров животного приводит к удвоению его силы. Будь это так, мы были бы в 10 миллионов раз сильнее муравьев и смогли бы поднимать около тонны, что соответствует способности Супермена поднимать более десяти человек за раз.

3. Порядки величины, логарифмы, землетрясения и шкала Рихтера

Как мы только что видели, при увеличении линейных размеров объекта в 10 раз без изменения его формы или состава, площади его поверхностей (и, следовательно, прочность) увеличиваются в 100 раз, а объемы его частей (и, следовательно, вес) – в 1000 раз. Такие степени десяти называют порядками величины и обычно записывают в удобном сокращенном виде: 10¹, 10², 10³ и так далее. Степенной показатель – маленькие цифры над десяткой – показывает, сколько нулей следует после единицы. Так, 10⁶ обозначает миллион, то есть шесть порядков величины, так как это число записывается в виде единицы с шестью нулями: 1 000 000.

В этих обозначениях результат, полученный Галилеем, можно выразить следующим образом: при увеличении линейного размера на каждый порядок площадь и прочность увеличиваются на два порядка, а объем и вес – на три порядка. Из этого следует, что при увеличении площади на один порядок величины объем увеличивается на 3/2 (то есть полтора) порядка. То же соотношение существует и между прочностью и весом: при увеличении прочности на один порядок величины вес, который может поддерживать данная конструкция, увеличивается на полтора порядка. И наоборот, если вес увеличивается на один порядок величины, прочность возрастает лишь на ⅔ порядка. В этом состоит существенное проявление нелинейного соотношения между этими величинами. Если бы это соотношение было линейным, то при увеличении площади на один порядок величины объем тоже увеличивался бы на один порядок.

Хотя многие из нас могут этого и не осознавать, концепция порядков величины, в том числе и дробных, знакома всем нам из сообщений о землетрясениях, появляющихся в средствах массовой информации. Мы нередко слышим в новостях что-нибудь вроде «сегодня в Лос-Анджелесе было зарегистрировано умеренное землетрясение силой 5,7 балла по шкале Рихтера; толчок поколебал многие здания, но причинил лишь незначительные повреждения». А иногда мы узнаем о землетрясениях, подобных тому, что произошло в лос-анджелесском районе Нортридж в 1994 г. Хотя его сила по шкале Рихтера была выше всего на один балл, причиненные им разрушения были огромны. Ущерб от землетрясения в Нортридже силой 6,7 балла составил более 20 миллиардов долларов, причем погибли 60 человек, что делает его одним из самых тяжелых с экономической точки зрения стихийных бедствий в истории США. В то же время землетрясение силой 5,7 балла может причинить лишь пренебрежимо малый ущерб. Такая огромная разница в последствиях при, казалось бы, небольшом увеличении силы толчка связана с тем, что в шкале Рихтера величины выражаются в порядках величины.

Поэтому увеличение на один балл на самом деле означает увеличение на один порядок, и землетрясение силой 6,7 балла на самом деле в десять раз сильнее, чем землетрясение силой в 5,7 балла. Точно так же землетрясение силой 7,7 балла – такое произошло на Суматре в 2010 г. – в 10 раз сильнее, чем землетрясение в Нортридже, и в 100 раз сильнее, чем землетрясение силой 5,7 балла. Землетрясение на Суматре произошло в сравнительно малонаселенной местности, но и оно принесло обширные разрушения, так как вызвало цунами, которое оставило без жилья более 20 тысяч человек и убило почти пятьсот. К несчастью, пятью годами раньше Суматра перенесла еще более разрушительное землетрясение силой 8,7 балла, то есть еще в 10 раз больше. Разумеется, уровень разрушений, вызываемых землетрясением, зависит не только от его силы, но и от местных условий – например, численности и плотности населения, прочности зданий и инфраструктуры и так далее. Сила землетрясения в Нортридже 1994 г. и более недавнего землетрясения в Фукусиме 2011 г., причинивших огромные разрушения, составляла, соответственно, «всего» 6,7 и 6,6 балла.

Собственно говоря, шкала Рихтера измеряет амплитуду «тряски» при землетрясении, регистрируемую сейсмометрами. Количество выделяющейся при этом энергии масштабируется относительно этой амплитуды нелинейно: при увеличении измеренной амплитуды землетрясения на один порядок выделяющаяся энергия увеличивается на полтора (то есть 3/2) порядка величины. Это означает, что изменение амплитуды на два порядка величины эквивалентно изменению выделяющейся энергии на три порядка (в 1000 раз), а изменение всего на 1,0 балла соответствует изменению энергии в квадратный корень из тысячи, то есть в 31,6 раза[29].

Чтобы получить некоторое представление об огромной энергии землетрясений, можно рассмотреть некоторые цифры: при взрыве одного фунта (то есть около 0,5 кг) тринитротолуола высвобождается энергия, приблизительно соответствующая 1 баллу по шкале Рихтера. Сила 3 балла эквивалентна взрыву 1000 фунтов (около 500 кг) ТНТ: взрыв приблизительно такой силы произошел в 1995 г. во время теракта в Оклахома-Сити. 5,7 балла по шкале Рихтера соответствуют приблизительно 5000 т взрывчатки; 6,7 (сила землетрясений в Нортридже и Фукусиме) – приблизительно 170 000 т; 7,7 (землетрясение 2010 г. на Суматре) – приблизительно 5,4 млн т; а 8,7 (землетрясение 2005 г. на Суматре) – приблизительно 170 млн т. Самым сильным из зарегистрированных землетрясений было Великое чилийское землетрясение 1960 г. в городе Вальдивия: его сила составила 9,5 балла (почти в тысячу раз больше по амплитуде, чем в Нортридже и Фукусиме), что соответствует 2700 млн тонн ТНТ.

Отметим для сравнения, что атомная бомба «Малыш», сброшенная в 1945 г. на Хиросиму, высвободила энергию, эквивалентную приблизительно 15 000 тонн ТНТ. Средняя водородная бомба высвобождает более чем в тысячу раз больше энергии, что соответствует крупному землетрясению силой 8 баллов. Речь идет об огромных количествах энергии: 170 млн тонн ТНТ, энергии суматранского землетрясения 2005 г., достаточно для энергоснабжения города с населением 15 миллионов человек (то есть размером со всю агломерацию Большого Нью-Йорка) в течение целого года.

Масштаб, в котором приращение идет не линейно (1, 2, 3, 4, 5…), а по степеням десяти (10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵…), как на шкале Рихтера, называется логарифмическим. Отметим, что в этом масштабе на самом деле происходит линейное увеличение порядков величины, как видно по показателям степени десяти (верхним индексам). Одна из многочисленных особенностей логарифмического масштаба состоит в том, что она позволяет отображать на одном и том же графике величины, отличающиеся друг от друга по одной из осей во много раз, например силу землетрясения в Вальдивии, землетрясения в Нортридже и взрыва динамитной шашки, то есть значения, различающиеся более чем в миллиард (10⁹) раз. На графике, построенном в линейном масштабе, это было бы невозможно, так как большинство точек сгрудилось бы в самом низу графика. Чтобы построить в линейном масштабе график, включающий в себя все землетрясения, сила которых различается на пять или шесть порядков величины, потребовался бы лист бумаги длиной несколько километров – потому и была изобретена шкала Рихтера.

Благодаря тому что логарифмический масштаб дает удобную возможность компактного представления величин разных порядков на одной и той же странице, он широко используется во всех научных дисциплинах. Эту методику, позволяющую охватить сразу весь диапазон сильно изменяющихся величин, широко применяют, например, для представления яркости звезд, кислотности химических растворов (величины рН), физиологических характеристик животных или ВВП разных стран мира. Именно так построены графики, приведенные на рис. 1–4 во вступительной главе.

4. Тяжелая атлетика и проверка Галилея

Важная особенность науки, часто отличающая ее от других умственных занятий, состоит в требовании подтверждения гипотез опытами и наблюдениями. Это вовсе не тривиальное обстоятельство, как можно видеть из того факта, что утверждение Аристотеля, согласно которому скорость предметов, падающих под действием силы тяжести, пропорциональна их весу, никто не удосужился проверить в течение более двух тысяч лет, а когда его наконец проверили, оно оказалось ошибочным. К сожалению, хотя многие из наших нынешних догм и убеждений, особенно в ненаучных областях, точно так же остаются непроверенными, в них безоговорочно верят, даже не пытаясь найти им каких-либо подтверждений – и это порой приводит к неприятным и даже катастрофическим последствиям.

Поэтому, завершив наше отступление, посвященное степеням десяти, я хотел бы приложить то, что мы узнали о порядках величины и логарифмах, к проверке предсказаний Галилея относительно масштабирования прочности или силы при изменении массы. Можно ли показать, что в «реальном мире» сила действительно изменяется с массой так, как предсказывает правило, гласящее, что изменение порядка ее величины должно происходить в пропорции два к трем?

В 1956 г. химик М. Г. Лицке придумал простое и элегантное подтверждение предсказания Галилея. Он осознал, что данные о том, как максимальная сила масштабируется при изменении массы тела, по меньшей мере у человека, можно найти в статистике тяжелоатлетических соревнований в разных весовых категориях. Все лучшие тяжелоатлеты стараются максимально увеличить вес, который они могут поднять, и тренируются для этого приблизительно с одинаковой интенсивностью и в течение одинакового времени, что позволяет сравнивать их силу в приблизительно одинаковых условиях. Кроме того, соревнования проводятся в трех дисциплинах – жим, рывок и толчок, – так что совокупные результаты по всем трем достаточно хорошо усредняют индивидуальные вариации склонности к той или иной из этих дисциплин. Поэтому такие суммарные результаты можно считать хорошей мерой максимальной силы.