3 Из Лос-Аламоса – в Монте-Карло
Билл Бентер – один из самых успешных игроков в мире. Его базирующийся в Гонконге синдикат заработал на лошадиных скачках миллионы долларов. Но карьера Бентера началась вовсе не со скачек. И вообще не со спорта.
Студентом Бентер как-то увидел объявление в казино Атлантик-Сити: «Профессиональным счетчикам карт играть за нашими столами запрещено». Нельзя сказать, чтобы это предостережение как-то подействовало на Бентера. Скорее оно навело его на мысль о том, что подсчет карт работает. Это был конец 1970-х, и казино на протяжении последнего десятка лет боролись с приемами, которые считали жульническими. Винить в потерях, которые несли игорные дома, – или благодарить за них, зависит от точки зрения, – следовало Эдварда Торпа. В 1962 году он опубликовал книгу «Обыграй дилера», где описал успешную стратегию для блек-джека.
Торпа часто называют отцом карточных подсчетов, однако на самом деле идея идеальной стратегии для блек-джека родилась в военных казармах. За десять лет до того, как Торп издал свою книгу, рядовой Роджер Болдуин на Абердинском полигоне в штате Мэриленд играл с другими солдатами в карты. Решив сыграть в блек-джек, игроки стали обсуждать правила и сошлись на базовом варианте: дилер (банкомет) сдает каждому игроку по две карты и две карты себе – открытую и закрытую. Игрок может потребовать себе еще одну карту, чтобы набрать больше очков, чем у дилера, но если с учетом дополнительной третьей карты он наберет больше 21 очка, то проиграет и потеряет поставленные деньги.
После игроков наступает очередь дилера. По словам одного из солдат, с которыми играл Торп, в Лас-Вегасе банкомет, у которого на руках 17 и больше очков, не имеет права брать дополнительную карту. Болдуина это озадачило. Что это за правило? Раньше, когда Болдуин играл в блек-джек с друзьями, никаких ограничений на дилера правила не накладывали. У Болдуина была магистерская степень по математике, и он быстро смекнул, что его знания могут пригодиться ему в казино. Если возможности дилера строго ограничены, можно найти стратегию, которая максимизирует шансы игрока на победу.
Как и все азартные игры, блек-джек «заточен» под интересы казино. Игрок и дилер преследуют одну и ту же цель – собрать комбинацию карт с числом очков, максимально близким к 21, однако дилер находится в привилегированном положении, потому что первым карту берет игрок. Если на дополнительной карте он перебирает с числом очков, то выигрывает банкомет, даже ничего не делая.
Анализируя различные игровые ситуации, Болдуин заметил, что его шансы увеличиваются, когда при принятии решения он учитывает достоинство открытой карты дилера. Если она обладает невысоким достоинством, есть вероятность, что дилер будет добирать карты, тем самым увеличивая риск выйти за пределы 21 очка. Например, если у него на руках шестерка, вероятность его проигрыша составляет 40 %; если десятка – она вдвое меньше. Следовательно, если дилеру выпала шестерка, Болдуин может рассчитывать на выигрыш, не добирая дополнительных карт, потому что дилер, напротив, будет, скорее всего, вынужден их добирать и, возможно, переберет.
В теории Болдуин мог легко воплотить свои идеи в идеальную стратегию. Но на практике, сидя за игровым столом, добиться ее осуществления чрезвычайно трудно из-за огромного числа возможных игровых комбинаций. Кроме того, выбор игрока в казино не ограничивается решением, брать карту или не брать. У него есть возможность удвоить ставку при условии, что он к имеющимся двум картам получит еще одну, или, имея пару карт одинакового достоинства, сделает сплит – разделит одну руку на две.
Болдуин не мог выполнять все эти подсчеты вручную, поэтому попросил своего товарища, сержанта Уилберта Кенти, воспользоваться штабным калькулятором. Заинтересовавшись идеей Болдуина, сержант согласился помочь, и к нему присоединились служащие аналитического подразделения Джеймс Макдермотт и Херберт Мэйзел.
Пока Торп в Лос-Анджелесе пытался предугадать, как поведет себя рулетка, четверка военнослужащих коротала вечера за обдумыванием способов обыграть дилера. После нескольких месяцев расчетов математики разработали оптимальную, по их мнению, стратегию. Увы, «идеальная» система оказалась далекой от идеала. «Статистика говорила нам, что в долгосрочной перспективе, – позже объяснял Мэйзел, – особой надежды на крупный выигрыш нет, если нам банально не повезет». Но даже при таком раскладе преимущество казино снижалось до 0,6 %. Зато, если игрок попросту копировал действия дилера, то есть, имея на руках 17 очков и выше, не пытался набрать больше, его шансы снижались на 6 %. Четверка опубликовала результаты своих исследований в 1956 году в статье под названием «Оптимальная стратегия в блек-джеке».
Когда статья вышла, Торп как раз собирался в Лас-Вегас. Он ехал туда в отпуск с женой и собирался приятно провести время за обеденным, а не карточным столом. Однако перед самым отъездом один из профессоров Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе рассказал ученому о системе, разработанной военными. Любознательный Торп записал основные положения стратегии и взял конспект с собой.
В один из вечеров Торп решил протестировать стратегию за карточным столом в казино. Остальные игроки, наблюдая за ним, пришли к выводу, что перед ними сумасшедший. Торп брал карту, когда делать этого не следовало, и не брал, когда явно надо было брать. Он удваивал ставку, имея на руках слабую карту. Он сделал сплит на паре жалких восьмерок, понимая, что у дилера рука намного сильнее. О чем он вообще думал?
Несмотря на, казалось бы, безрассудную стратегию, фишки у Торпа все не заканчивались. Игроки один за другим покидали стол с пустыми карманами, а Торп продолжал делать ставки. Наконец, проиграв восемь из десяти долларов, он откланялся. Этот небольшой эксперимент убедил ученого, что стратегия военных работает лучше, чем любая другая из известных ему. Но она явно нуждалась в улучшении.
Строя расчеты, Болдуин для простоты предположил, что карты в колоде распределяются бессистемно и вероятность выпадения каждой из них одинакова. Однако в реальности блек-джек не настолько хаотичен. В отличие от рулетки, в которой каждый последующий спин не зависит (или, по крайней мере, не должен зависеть) от предыдущего, блек-джек обладает своего рода памятью: по ходу игры дилер постепенно перебирает всю колоду.
Торп был убежден: если фиксировать, какие карты уже сыграли, это помогло бы предугадать выпадение следующих. Теоретически выигрышная стратегия у него уже была. Если добавить к ней информацию о достоинстве следующей карты, рассудил он, этого должно хватить, чтобы склонить игру в свою пользу. Вскоре Торп понял, что выгоду может принести даже такая простая тактика, как отслеживание в колоде десяток. Он начал отмечать, какие карты вышли, постепенно превращая идею четырех абердинских военнослужащих – позже их назовут «четыре всадника Абердина» – в выигрышную стратегию.
Торп неплохо зарабатывал на блек-джеке, но не деньги были главной целью его поездок в Лас-Вегас. Гораздо больше его интересовала наука. Первые публикации Торпа о выигрышной стратегии были встречены читателями без энтузиазма. Они смеялись над его концепцией так же, как потешались над ним игроки во время первого карточного эксперимента. Но в конце концов ученый развенчал миф о непобедимости блек-джека. Доказательством его теории стала книга «Обыграй дилера».
Суровое объявление в Атлантик-Сити не давало Биллу Бентеру покоя. О книге Торпа он узнал, будучи студентом Бристольского университета, и сразу отправился за ней в местную библиотеку. «Обыграй дилера» потрясла его до глубины души. «Эта книга доказала мне, что в любой системе можно нащупать слабое место, – вспоминал он, – и все разговоры о том, что нельзя обыграть казино, не соответствуют действительности». По возвращении в США Бентер решил сделать паузу в академических занятиях. Университетский кампус в Кливленде, штат Огайо, он променял на казино Лас-Вегаса, где попытался применить разработанную Торпом систему на практике. И не ошибся: в свои 20 с небольшим лет Бентер всего за год заработал на блек-джеке около 80 тысяч долларов.
Тогда же он познакомился с выходцем из Австралии, который также неплохо обогатился, используя подсчет карт. В отличие от Бентера, который попал в казино прямо с университетской скамьи, Алан Вудс успел окончить колледж и поступил на работу в страховую компанию на должность актуария – специалиста по страховой математике. В 1973 году австралийское правительство поручило его компании рассчитать ожидаемый доход первого в стране легального казино. Неудивительно, что Вудс заинтересовался выигрышными стратегиями в блек-джеке. Следующие несколько лет он на каждый уик-энд отправлялся в очередное казино и таким образом объездил чуть ли не весь мир. К моменту встречи с Бентером блек-джек стал основным родом его занятий. Но вскоре для удачливых игроков наступили трудные времена.
После того как Торп опубликовал результаты своих исследований, казино начали вылавливать счетчиков. Одна из главных сложностей в подсчете карт – помимо необходимых умственных усилий – заключается в том, что собрать достаточно информации для прогнозов игрок может лишь после того, как увидит большое количество выпавших карт. Пока вы наблюдаете, у вас нет другого выбора, кроме как следовать оптимальной стратегии Болдуина и делать небольшие ставки, снижая риск проигрыша. Когда вы наконец решите, что следующая карта принесет вам удачу, надо резко увеличить ставку, чтобы получить максимальную выгоду. Увидев это, любой сотрудник службы безопасности казино немедленно поймет, что за столом находится счетчик. «Научиться считать карты легко, – заметил как-то один из профессиональных игроков в блек-джек, – трудно научиться считать их так, чтобы тебя не застукали».
Держать в уме достоинство выпадающих во время игры карт не являлось в Неваде (как и, собственно говоря, в остальном мире) противозаконным, что отнюдь не означало, что Лас-Вегас встретит Торпа и его стратегию с распростертыми объятиями. Поскольку казино – это частные компании, они имеют право пускать или не пускать к себе кого заблагорассудится. Торп, желая избежать изгнания, начал менять внешность. Другие картежники, спасаясь от преследования службы безопасности, попытались найти альтернативные способы побеждать в блек-джеке. Что, если не считать карты в ожидании благоприятного расклада, а спрогнозировать их расположение в колоде?
В начале ХХ века большинство математиков были знакомы с работами Пуанкаре по теории вероятности, однако в полной мере осмыслить их были способны немногие. Одним из тех, кто понял идеи Пуанкаре, стал профессор Парижского университета Эмиль Борель. Особенно его заинтересовала аналогия, при помощи которой Пуанкаре описал, как случайные взаимодействия – как в случае с краской в воде – в конечном счете приводят к состоянию равновесия.
Пуанкаре сравнил этот процесс с тасованием колоды карт. Если вы знаете изначальное расположение карт в колоде, то, наугад поменяв местами некоторые из них, вы не внесете в колоду большого беспорядка и ваше знание останется достаточно полным. Чем больше карт вы меняете местами, тем менее релевантным становится знание об изначальном расположении карт. Так же как молекулы краски спустя определенное время перемешиваются с молекулами воды, карты при тасовании мало-помалу распределяются так, что каждая имеет равный шанс появиться в любом месте колоды.
Вдохновленный работами Пуанкаре, Борель нашел способ просчитать, насколько быстро карты достигнут равномерного распределения. Этот алгоритм и по сей день используется при расчетах «времени перемешивания» в хаотических процессах, будь то тасование карт или взаимодействие химических веществ. А игрокам в блек-джек работа Бореля помогла решить одну важную проблему.
Чтобы усложнить жизнь счетчикам карт, устроители казино начали использовать несколько колод, иногда числом до шести, тщательно тасуя их перед игрой. Таким образом они надеялись усложнить процесс подсчета и лишить игроков преимущества. Однако они не учли, что подобное нововведение не лучшим образом скажется на качестве перетасовки карт.
Шаффл «ласточкин хвост». Фото предоставлено Todd Classy
В 1970-х в казино получил распространение способ тасования (на карточном жаргоне – шаффл) под названием «ласточкин хвост». Для его выполнения колода делится на две части, а затем одна половина карт врезается в другую. Если шаффл выполнен идеально и карты из обеих частей строго чередуются, информацию о расстановке карт в колоде восстановить легко: для этого достаточно проследить за каждой второй картой. Расстановку можно до известной степени воссоздать, даже если карты из каждой половины колоды будут браться случайным образом.
Допустим, у вас есть колода из тринадцати карт. Если вы делаете «ласточкин хвост», карты могут лечь следующим образом:
Карты в такой колоде расположены вовсе не хаотически. Мы видим здесь две хорошо выраженные последовательности возрастающих чисел (показаны обычным и жирным шрифтом). На этом шаффле основано несколько карточных фокусов: если поместить любую карту в упорядоченную колоду и перетасовать колоду один или два раза, узнать эту карту не составит труда, так как она будет выбиваться из восходящей последовательности.
Как показали расчеты математиков, дилер, чтобы ликвидировать следы легко считываемой последовательности, должен перетасовать колоду из 52 карт по меньшей мере шесть раз. Тем не менее, по наблюдениям Бентера, казино не всегда проявляли такую добросовестность: многие дилеры тасовали колоду два-три раза, а некоторые довольствовались и одним.
В начале 1980-х игроки начали использовать для наблюдения за колодой скрытые компьютеры. Информацию в них можно было вводить с помощью переключателя, и при возникновении благоприятной ситуации в устройстве возникала вибрация. Количество используемых колод значения уже не имело. Устройства позволяли не привлекать внимание службы безопасности казино: если компьютер подсказывал, что хорошие карты появятся на следующей руке, игрокам не было необходимости резко поднимать ставки. К несчастью для них, эта система просуществовала недолго: с 1986 года использование компьютеров в американских казино было объявлено вне закона.
Но у Вудса и Бентера проблем хватало и без ограничений на использование техники. Как и Торпу, все казино мира в конце концов отказали им в доступе. «Как только становишься известным, – замечал Бентер, – мир становится очень маленьким». Убедившись, что казино больше не разрешат им играть, Вудс и Бентер ушли из блек-джека. Но покидать игровую индустрию они не собирались. Партнеры планировали заняться куда более серьезными играми.
В среду вечером на ипподроме «Хеппи-Вэлли» не протолкнуться от народа. Окруженная небоскребами Гонконга территория, еще недавно бывшая болотом, теперь вмещает более 30 тысяч зрителей. Крики и гул толпы заглушают рев автомобилей из соседнего округа Ваньчай. Шум и толкотня не случайны: здесь крутятся большие деньги. Азартные игры занимают в жизни обитателей района Хеппи-Вэлли не последнее место: в 2012 году в день скачек общая сумма ставок достигла 145 миллионов долларов. Для сравнения: аналогичный показатель того же года на дерби в Кентукки составил 133 миллиона, и это был американский рекорд.
Ипподромом «Хеппи-Вэлли» управляет Жокейский клуб Гонконга, который каждую субботу организует также забеги на ипподроме Ша Тин, расположенном на другом берегу бухты Коулун. Жокейский клуб – некоммерческая организация с хорошей репутацией, и игроки могут не сомневаться, что все забеги проходят честно.
В Гонконге игроки делают ставки по так называемой системе «пари мютюэль». Ставки размещают у букмекера не по фиксированному коэффициенту; деньги игроков формируют общий пул, и коэффициент зависит от того, какая сумма поставлена на каждую лошадь. Представим, к примеру, что в забеге принимают участие две лошади: на первую поставлено в общей сумме 200 долларов, на вторую – 300. Эти деньги составляют общий пул ставок. Организаторы игр вычитают свою долю – в Гонконге она составляет 19 %, то есть при сумме 500 долларов в общей кассе остается 405. Затем организаторы высчитывают коэффициент для каждой лошади – сумму, которую получит выигравший игрок на каждый поставленный доллар, поделив общую сумму ставок (405 долларов) на сумму ставок на конкретную лошадь.
Примерное табло тотализатора
Предложенная парижским предпринимателем Жозефом Оллером – основателем кабаре «Мулен Руж» – система пари мютюэль требует постоянных перерасчетов для коррекции коэффициентов. С 1913 года, когда появился «автоматический тотализатор», более известный как табло тотализатора, вести подобные расчеты стало проще. Его изобретателем считается австралиец Джордж Джулиус. Изначально он планировал сконструировать автомат для подсчета голосов на выборах, но австралийское правительство не заинтересовалось его разработками. Джулиус не впал в уныние, внес в устройство необходимые изменения и продал его ипподрому в Новой Зеландии.
В тотализаторе зрители фактически делают ставки друг против друга. Организаторы забегов получают свою долю независимо от исхода скачек. Коэффициент ставки зависит от того, какая лошадь, по мнению игроков, имеет больше шансов на победу. «Счастливую» лошадь вычисляют по разным признакам. Игроки ставят на животное, удачно выступившее в предыдущих забегах и на прошлых скачках, лучше других выглядевшее на тренировке, показывающее хорошие результаты при определенной погоде. Решающую роль может сыграть репутация жокея, а иногда даже вес и возраст лошади.
Если в тотализаторе принимает участие достаточно много народу, то «правильный» коэффициент лошади должен отражать ее реальные шансы на победу. Иными словами, тотализатор – достаточно эффективная система, позволяющая собрать воедино разрозненную информацию о каждой лошади, не давая явного преимущества ни одному игроку. По крайней мере, этого мы ожидаем. На деле это не так.
Если коэффициент лошади на табло тотализатора равен 100, это значит, что ее шансы на выигрыш составляют 1 %. При этом игроки часто проявляют излишнюю щедрость, оценивая шансы на победу слабой лошади. Статистики сравнили суммы, которые игроки ставили на лошадей с малыми шансами на победу, с суммами, которые эти лошади приносили в случае победы, и пришли к выводу, что ее вероятность значительно меньше, чем сулит коэффициент. И наоборот: игроки склонны недооценивать перспективы лошади-победителя.
Так называемый эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров часто приводит к тому, что лошади, входящие в топ-список, имеют больше шансов на победу, чем можно судить по коэффициентам. Тем не менее ставки только на этих лошадей не всегда являются успешной стратегией. Поскольку ипподром имеет в тотализаторе свою долю, игроки вынуждены считаться с большим гандикапом. Если счетчикам карт, чтобы выйти в плюс, достаточно усовершенствовать метод «четырех всадников», в спортивном тотализаторе бетторам необходима стратегия, которая будет прибыльной, даже когда букмекеры забирают себе 19 %.
Эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров – явление хоть и заметное, но далеко не катастрофическое по масштабу. И он не отличается однородностью, сильнее давая о себе знать на одних ипподромах и слабее – на других. Однако можно с уверенностью сказать, что коэффициенты на скачках не всегда объективно отражают шансы лошади на победу. Как и в случае с блек-джеком, ипподром «Хеппи-Вэлли» не был надежно защищен от хитрых игроков. А в 1980-х стало очевидным, что кое-кому эта уязвимость может приносить громадный доход.
Гонконг был не первым местом, где Вудс опробовал свою беттинговую систему на скачках. Весь 1982 год он провел в Новой Зеландии в компании профессиональных игроков, пытаясь при помощи коллективного разума вычислять участников забега с некорректными коэффициентами. К сожалению, результаты не всегда были успешными.
Бентер был неплохо подкован в физике и интересовался компьютерными технологиями, поэтому на «Хеппи-Вэлли» они с Вудсом попробовали применить научный подход. Но выигрыш в блек-джеке и выигрыш на ипподроме требуют решения совершенно разных задач. Да и возможно ли в принципе предсказать результат лошадиных скачек?
Ответ нашелся в библиотеке Невадского университета. В свежем номере одного делового журнала Бентер нашел статью Рут Болтон и Рэндалла Чэпмена – ученых из Университета Альберты в Канаде. Двадцатистраничный материал назывался «Положительная доходность на скачках», но суть своей идеи авторы раскрывали уже в первом абзаце. «Если, играя в тотализатор, публика совершает систематические и распознаваемые ошибки, – утверждали Болтон и Чэпмен, – из этой ситуации можно извлечь выгоду, разработав превосходящую стратегию ставок». Более ранние стратегии основывались на хорошо известных отклонениях в распределении в коэффициентах ставок, таких как эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров. Болтон и Чэпмен пошли по другому пути. Они решили, собрав доступную информацию обо всех участниках забега – например, процентное соотношение выигрышей и проигрышей, среднюю скорость каждой лошади и так далее, – конвертировать их в оценку вероятности ее выигрыша. «Эта статья положила начало многомиллиардной индустрии», – вспоминал Бентер. Итак, в чем же заключался секрет?
Спустя два года после окончания своих изысканий в Монте-Карло Карл Пирсон познакомился с джентльменом по имени Фрэнсис Гальтон. Приходясь кузеном Чарльзу Дарвину, Гальтон разделял семейную страсть к науке, приключениям и бакенбардам. Однако, как вскоре заметил Пирсон, кое в чем он сильно отличался от своего знаменитого родственника.
Разрабатывая теорию эволюции, Дарвин потратил немало времени на определение содержания новой научной области, и многие из предложенных им терминов и направлений исследования до сих пор не потеряли своей актуальности. Но если Дарвин был архитектором, то Гальтон – разведчиком. Как и Пуанкаре, он любил выдвинуть свежую идею, но вскоре увлекался совсем другой. «Он никогда не оглядывался на тех, кто шел за ним, – вспоминал Пирсон. – Он указывал новые пути биологам, антропологам, психологам, метеорологам и экономистам, предоставляя им самим решать, стоит по ним идти или нет».
Интересовался Гальтон и статистикой. В ней он видел ключ к пониманию биологических процессов наследования – этот предмет интересовал его на протяжении многих лет. Гальтон привлекал к своим исследованиям людей, порой далеких от науки. В 1875 году он вручил семерым своим друзьям семена душистого горошка с просьбой вырастить из них растения, собрать с них семена и вернуть ему. Одни получили тяжелые семена, другие – легкие. Гальтон хотел знать, как вес семян-родителей влияет на вес семян в потомстве.
Сравнивая полученные результаты, Гальтон заметил, что потомки «больших родителей» меньше их по размеру, а потомки «маленьких родителей» – больше. Гальтон назвал это явление «регрессией к среднему». Вскоре он заметил ту же закономерность у людей, рассматривая соотношение роста родителей и детей.
Конечно, внешность ребенка – результат воздействия многих факторов. Некоторые из них изучены, другие – нет. Гальтон понимал, что в точности проследить роль каждого фактора невозможно, но при помощи регрессионного анализа он надеялся выяснить, какие факторы имеют большее значение, чем другие. Например, он заметил, что, хотя родительские признаки играют очень важную роль, некоторые черты могут «перескакивать» через поколение, переходя к детям от бабушек и дедушек и даже прабабушек и прадедушек. Гальтон полагал, что каждый предок вносит в наследственные признаки ребенка свою долю, и очень обрадовался, когда коннозаводчик из Питтсбурга, штат Массачусетс, опубликовал таблицу, иллюстрирующую процесс, который Гальтон пытался описать. Коневод А. Дж. Местон представил ребенка в виде квадрата, разделенного на меньшие квадраты, чтобы схематично изобразить вклад каждого предка: чем больше квадрат, тем больше вклад. Родители занимают половину площади квадрата, бабушки и дедушки – четверть, прадеды – одну восьмую часть и так далее.
Эта таблица произвела на Гальтона столь сильное впечатление, что в январе 1898 года он предложил журналу Nature ее напечатать.
Ученый долго размышлял над тем, как различные факторы влияют на такие признаки, как, например, рост ребенка, и кропотливо собирал данные для своих исследований. К сожалению, ограниченные познания в математике не позволили ему в полной мере использовать накопленную информацию. На момент встречи с Пирсоном Гальтон не знал, как точно рассчитать степень изменения того или иного фактора, способную повлиять на конечный результат.
Схема наследования по Местону
Гальтон сформулировал свою теорию в самых общих чертах, но строгий вид ей с опорой на математические расчеты придал Пирсон. Вскоре они попытались применить свои идеи к решению вопросов наследования. Оба видели в регрессии к среднему потенциальную проблему: как общество может быть уверено, что признаки, свойственные «высшей» расе, не будут утеряны последующими поколениями? По мнению Пирсона, нация могла улучшать свои характеристики «за счет постоянного пополнения высококачественного материала».
С сегодняшней точки зрения, Пирсон противоречил сам себе. В отличие от многих современников, он выступал за признание социального и интеллектуального равенства женщин и мужчин, но в то же время использовал статистические методы для доказательства превосходства одних рас над другими. Он выступал против законов, ограничивающих детский труд, утверждая, что дети не должны служить обществу обузой. Сегодня подобные идеи звучат более чем сомнительно. Тем не менее работы Пирсона имели огромное влияние. Вскоре после смерти Гальтона в 1911 году Пирсон создал первый в мире факультет статистики в Университетском колледже Лондона. Опираясь на таблицу, которую Гальтон в свое время отправил в Nature, Пирсон разработал метод «множественной регрессии»: рассматривая несколько потенциально влиятельных факторов, он установил, каким образом каждый из них воздействует на заданный результат.
Теория регрессии легла и в основу работ исследователей из Университета Альберты. Но если Гальтон и Пирсон использовали ее для изучения наследственных признаков у детей, то Болтон и Чэпмен попытались найти ей применение в оценке разных факторов, влияющих на шансы лошади на ипподроме. Что важнее: ее вес или процент выигранных забегов? Существует ли зависимость между скоростью лошади и репутацией жокея?
Болтон впервые столкнулась с миром азартных игр еще в юном возрасте. «Я была совсем маленькой, – вспоминала она, – когда отец взял меня с собой на скачки. Очевидно, моя детская ручка безошибочно указала будущего победителя». Но, несмотря на неожиданный успех, больше на ипподром родители ее не водили. Лишь спустя 20 лет Болтон вернулась на скачки, но теперь стремилась угадать победителей при помощи более рационального метода.
Впервые мысль о методике прогнозирования исхода скачек пришла ей в голову в 1970-х, когда Болтон была студенткой Университета Куинс в Канаде. Болтон интересовало моделирование выбора – область экономики, которая исследует, как меняются прибыли и издержки в зависимости от принятия того или иного решения. Дипломную работу Болтон писала в соавторстве с Чэпменом, который тоже занимался этой проблемой. Чэпмен давно интересовался играми и собрал большой массив данных о результатах забегов. Студенты поставили перед собой задачу выяснить, как можно использовать такого рода информацию в прогнозировании. Проект положил начало не только научному сотрудничеству – в 1981 году Болтон и Чэпмен поженились.
Спустя два года после свадьбы они отправили статью о проведенных исследованиях в журнал Management Science. Изучение методов прогнозирования набирало тогда популярность, и редакция журнала отнеслась к статье очень внимательно. «Ее показали сразу нескольким рецензентам», – вспоминала Болтон. Статья прошла четыре уровня проверки, прежде чем летом 1986 года была опубликована.
Болтон и Чэпмен предположили, что шансы конкретной лошади на выигрыш зависят от ее квалификации, для определения которой они сопоставляли ряд факторов, например, таких как стартовая позиция. Чем меньше был номер, под которым выступала лошадь, тем ближе к внутренней части беговой дорожки она стартовала, что увеличивало ее шансы на победу, так как ей приходилось преодолевать меньшее расстояние. Основываясь на методике регрессионного анализа, исследователи предположили, что увеличение стартового номера приведет к снижению квалификации.
Другой фактор – вес лошади. Здесь связь с квалификацией менее очевидна: в некоторых соревнованиях действуют весовые ограничения, не позволяющие выступать «тяжелым» лошадям, хотя у быстрых лошадей вес часто бывает выше среднего. Завсегдатаи скачек могли не согласиться с этим утверждением, однако Болтон и Чэпмена их мнение не интересовало: они просто положились на регрессионный анализ и искали зависимость между весом и квалификацией.
Согласно модели, разработанной Болтон и Чэпменом, квалификация зависит от девяти возможных факторов, включая вес, среднюю скорость на последних забегах и стартовую позицию. Проще всего было бы показать, как те или иные факторы влияют на квалификацию лошади, при помощи таблицы, наподобие предложенной Гальтоном журналу Nature. Однако в реальной жизни все сложнее. Таблица Гальтона демонстрирует влияние родственников на характерные черты ребенка, однако не дает полной картины, так как у человека не все черты – наследственные. Свое воздействие на него оказывают факторы, связанные с окружающей средой, в том числе скрытые. Более того, у аккуратных квадратиков с надписями «мать», «отец» и другими на самом деле не такие уж четкие границы – если у отца ребенка есть какие-то черты, они могут быть также у его бабушки с дедушкой. Таким образом, мы не можем сказать, что каждый значимый фактор полностью независим от остальных. То же самое относится к лошадиным скачкам. Наряду с девятью факторами, влияющими на выступление лошади, Болтон и Чэпмен учитывали фактор неопределенности, иначе говоря, всевозможные сюрпризы, то есть неожиданные события, которые могут произойти во время забега.
Научившись измерять квалификацию лошади, исследователи конвертировали полученные данные в прогноз на победу каждой лошади. Они рассчитывали суммарную квалификацию лошадей в забеге и определяли вероятность победы конкретной лошади в зависимости от ее вклада в общий показатель.
Чтобы понять, какие факторы можно использовать для прогнозов, Болтон и Чэпмен применили свою модель к результатам двух сотен забегов. Обработка информации стала поистине актом героизма, потому что данные хранились на десятках компьютерных перфокарт. «Это была огромная коробка, – рассказывала Болтон, – и я годами таскала ее с собой». Перенос данных на компьютер тоже был непростой задачей: на ввод информации по одному забегу уходило около часа.
Из девяти факторов, протестированных Болтон и Чэпменом, наиболее важной для принятия решения о ставке оказалась средняя скорость. А вот вес животного, судя по всему, не играл никакой роли. Либо этот фактор был нерелевантным, либо перекрывался другим, более значимым фактором, так же как фактор воздействия дедушки на внешность внука перекрывается влиянием отцовских генов.
То, какие факторы оказались самыми важными, удивило даже самих исследователей. В ранней версии модели Билла Бентера отмечалось существенное влияние на размер ставки количества предыдущих забегов, в которых участвовала лошадь. Внятного объяснения, почему этот фактор столь значим, не было. Некоторые игроки ссылались на то, что каждый раз имел место «особый случай», но Бентер избегал спекуляций подобного рода. Он знал, что разные факторы могут накладываться друг на друга. Вместо того чтобы анализировать значение каждого из них, он сосредоточился на разработке модели, которая воспроизводила бы результат реального, задокументированного забега. Так же как игроки, выискивавшие рулетку с дефектом, он надеялся получить действенный инструмент прогнозирования без скрупулезного разбора факторов, лежащих в его основе.
Знать, как каждый отдельный фактор влияет на результат, важно не только в тотализаторе. Пока Гальтон и Пирсон изучали механизм наследования, пивоварня «Гиннесс» работала над увеличением срока годности своего стаута. Эту задачу поручили Уильяму Госсету – талантливому молодому статистику, зимой 1906 года прошедшему стажировку в лаборатории Пирсона.
Если игровые синдикаты не имели возможности повлиять на такие факторы, как, например, вес лошади, то «Гиннессу» ничто не мешало изменить состав пива. В 1908 году Госсет при помощи метода регрессии рассчитал количество хмеля, непосредственно влияющее на срок годности пива. Пиво без добавления хмеля могло храниться 12–17 дней, с добавлением оптимального количества хмеля – до нескольких недель.
Бетторы не слишком интересуются тем, какие факторы влияют на результат игры, – им гораздо важнее знать, насколько верны их предсказания. Казалось бы, проще всего проверить эффективность системы прогнозирования по итогам уже состоявшихся забегов. Но здесь возникают свои сложности.
Во время Второй мировой войны будущий исследователь теории хаоса Эдвард Лоренц работал в метеослужбе Воздушного корпуса армии США в Тихоокеанском регионе. Осенью 1944 года его команда выдала серию идеально точных прогнозов о погодных условиях для полетов между Сибирью и островом Гуам. Во всяком случае, по сообщениям летчиков, совершавших рейсы в указанных областях, прогнозы оправдались на все 100 %. Вскоре Лоренц выяснил истинную причину столь невероятной точности: поглощенные выполнением других задач, пилоты вообще не вели наблюдение за погодой и просто повторяли прогноз метеослужбы.
Та же проблема возникает, когда игровые синдикаты проверяют свои прогнозы при помощи данных, которые использовались для калибровки системы. Создать видимость идеальной модели легко. Достаточно выделить для каждого забега некий показатель, характеризующий победителя, а затем обобщить эти показатели в полном соответствии с данными выигравших лошадей. Вам кажется, что вы создали безупречную модель, но на самом деле вы лишь подогнали свой прогноз под заранее известные результаты.
Если игроки хотят узнать, сработают ли их стратегии в будущем, они должны проверять их на свежих данных. Поэтому синдикаты, собирая информацию о состоявшихся забегах, игнорируют часть результатов, строят систему прогнозов на оставшихся, а затем тестируют ее на прежде не использовавшихся данных. Это позволяет проверить, как модель ведет себя в реальных условиях.
Тестирование на свежих данных помогает убедиться, что модель удовлетворяет научному принципу «бритвы Оккама», суть которого состоит в следующем: если перед вами стоит выбор между несколькими объяснениями наблюдаемого события, лучше всего взять самое простое. Другими словами, если вы хотите построить модель реального процесса, вы должны отсечь от нее все, чему нет объяснения.
Проверка прогнозов на свежих данных позволяет бетторам не перегружать модель информацией, но этого мало: необходимо также определить степень ее точности. Это можно сделать при помощи статистического показателя под названием коэффициент детерминации. Коэффициент может иметь величину от 0 до 1 и применяется для измерения аналитического потенциала регрессионной модели. Показатель «0» говорит о том, что модель не работает вообще (игроки могли бы с тем же успехом выбирать победителя наугад); показатель «1» означает, что прогнозы точно совпадают с полученными результатами. Модель Болтон и Чэпмена имела показатель 0,09. Это было, конечно, лучше, чем выбор лошади наугад, однако множество факторов все же остались за рамками модели.
Ряд трудностей возник и с самими данными, которые использовали исследователи. Информация о 200 забегах поступала к ним с пяти американских ипподромов и содержала массу скрытых факторов: менялись условия скачек, у лошадей менялись соперники и жокеи. Будь у Болтон и Чэпмена больше данных, эту проблему можно было бы решить, но они располагали весьма ограниченной информацией – две сотни заездов, и все. Впрочем, в менее изменчивых условиях их система потенциально могла работать.
Если вы ищете экспериментальную площадку для изучения лошадиных скачек, Гонконг – это то, что вам нужно. Забеги здесь проводятся на одной-двух дорожках, так что комфортные лабораторные условия вам обеспечены. Объект вашего исследования также будет относительно стабилен: в США по всей стране соревнуются десятки тысяч лошадей, тогда как в Гонконге существует закрытый пул примерно из тысячи животных. В год проводится не более 600 соревнований, и одни и те же лошади соревнуются друг с другом снова и снова, а значит, вы сможете наблюдать похожие события по нескольку раз, к чему всегда стремился Пирсон. В Гонконге, в отличие от Монте-Карло с его лентяями-журналистами, достаточно доступной информации о лошадях и результатах их выступлений.
Начав анализировать гонконгские данные, Бентер понял, что для прогноза надо проанализировать от 500 до 1000 забегов. Если взять меньше, не удастся учесть влияние на итог разных факторов, и модель будет нерелевантной. С другой стороны, дальнейшее расширение выборки не скажется на улучшении прогноза.
В 1994 году Бентер опубликовал статью с изложением своей базовой модели ставок. Он включил в статью таблицу, в которой сопоставил свои прогнозы с исходом реальных скачек. Его результаты выглядели впечатляюще. Модель, за исключением нескольких мелких недочетов, казалась на редкость реалистичной. Тем не менее Бентер предупредил, что у нее есть один существенный недостаток: если кто-то попытается сделать ставку на основании его прогноза, результаты могут оказаться катастрофическими.
Предположим, на вас нежданно-негаданно свалилось богатое наследство, и вы решили потратить деньги на приобретение книжного магазина. С чего вам начать? Можно составить список магазинов, которые вы хотели бы купить, посетить каждый из них – посмотреть ассортимент, пообщаться с сотрудниками, провести аудит. А можно обойтись без всех этих сложностей и просто сесть у дверей магазина и подсчитать, сколько посетителей в него входит и сколько из них выходит с покупкой. Эти две противоположные стратегии отражают два основных способа инвестирования. Если вы досконально изучаете состояние компании, это значит, что вы проводите фундаментальный анализ; если вы наблюдаете, как компанию оценивают другие, значит, вы проводите технический анализ.
В прогнозах Болтон и Чэпмена был использован фундаментальный анализ. Этот метод основан на владении качественной информацией и максимально тщательной ее обработке. Мнения и взгляды знатоков скачек в анализе не учитываются. Здесь не имеет значения, как поступают другие игроки и на каких лошадей они ставят. Фундаментальный анализ игнорирует рынок азартных игр. С тем же успехом можно делать прогнозы в вакууме.
Предсказывать результат скачек из вакуума можно, но делать ставки – нет. Если синдикаты хотят заработать на ипподроме, они должны перехитрить других игроков. И тут фундаментального анализа мало. Бентер сравнил прогнозы, полученные при помощи фундаментального анализа, со ставками обычных игроков, и заметил кое-что, что его встревожило. Бентер искал оверлеи – лошадей, имевших, согласно его расчетам, больший шанс на выигрыш, чем тот, что подразумевают сделанные на них ставки. Именно на таких лошадей он ставил бы, если бы надеялся переиграть других бетторов. Но, ознакомившись с результатами забегов, Бентер обнаружил, что лошади в ситуации оверлея приходили к финишу первыми не так часто, как согласно его выкладкам должны были. Иначе говоря, их истинные шансы на выигрыш лежали где-то в промежутке между вероятностью, которую давала модель Бентера, и вероятностью, которая вытекала из сделанных ставок. В фундаментальном подходе определенно зиял пробел.
Даже если у группы бетторов есть своя система, не стоит игнорировать и мнение публики о шансах лошадей на выигрыш (его нетрудно увидеть на табло тотализатора), так как не все игроки делают ставки, основываясь лишь на информации из открытых источников. Кто-то может знать подробности стратегии, выбранной жокеем для забега, или обладать сведениями о режиме питания и тренировок лошади. Когда игрок пытается капитализировать эксклюзивную информацию, его действия влияют на ситуацию на табло.
Разумным решением было бы комбинировать два доступных источника экспертной информации – собственные расчеты и мнения других игроков, то есть коэффициенты ставок на тотализаторе. Именно такой подход выбрал Бентер. Изначально его система игнорирует ставки, сделанные другими игроками, – на первой стадии прогноз строится так, будто тотализатора вообще не существует. Но затем этот прогноз объединяется с мнениями других игроков. Шансы лошади на победу находятся между вероятностью, диктуемой моделью, и вероятностью, вытекающей из сделанных ставок. Весы могут крениться в ту или в другую сторону, в зависимости от того, какой прогноз окажется ближе к реальному результату. Стоит найти золотую середину – и удачный прогноз обернется денежным выигрышем.
Успех к Вудсу и Бентеру в Гонконге пришел не сразу. Первый год Бентер потратил на разработку статистической модели; Вудс в это время пытался заработать на эффекте предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров. Игроки прибыли в Азию с капиталом в 150 тысяч долларов и за два года потеряли все. Потенциальных инвесторов их стратегия не заинтересовала. «Люди настолько не верили в систему, что не вложились бы в нее, даже пообещай мы им сто процентов дохода», – рассказывал Вудс.
В 1986 году дела пошли на поправку: модель Бентера, состоявшая из сотен тысяч строк программного кода, была готова к запуску. Вудс и Бентер собрали достаточно информации о результатах скачек, чтобы генерировать качественные прогнозы. За год, делая ставки согласно системе, они заработали 100 тысяч долларов.
Однако после первого успешного сезона у партнеров появились разногласия, и их сотрудничество прекратилось. В скором времени Вудс и Бентер сформировали конкурирующие синдикаты и принялись играть в Гонконге друг против друга. Позже Вудс признал, что у команды Бентера модель была лучше, но в последующие несколько лет обе группы сумели существенно увеличить прибыль.
В настоящее время в Гонконге действует несколько синдикатов, применяющих для вычисления результатов забега математические модели. Но просто угадать победителя сегодня недостаточно, так как это не приносит большой прибыли, и синдикаты предлагают более сложные ставки – например, на трех первых лошадей, которые придут к финишу в определенном порядке (так называемый «тройной экспресс» или трифекта). Кроме того, есть «три тройки» – ставка, предполагающая угадывание трех трифект подряд. Эти экзотические ставки могут принести огромный выигрыш, но и поле допустимой ошибки у игрока существенно снижается.
Один из недостатков оригинальной модели Болтон и Чэпмена заключается в том, что она рассматривает всех лошадей как в равной степени предсказуемых. Это предположение облегчает расчеты, но грешит против реальности. Для примера представим себе двух лошадей. Первая – образец надежности, она всегда приходит к финишу, показывая одно и то же время. Вторая лошадь непредсказуема, иногда она приходит гораздо раньше первой, иногда – сильно от нее отстает. В среднем обе лошади прибывают к финишу за одинаковое время. Если соревнуются только эти две лошади, шансы у них равны, и угадывать победителя – все равно что подбрасывать монету. Но что делать, если в соревнованиях принимает участие несколько лошадей с разным «уровнем надежности»? Если команда игроков хочет определить трех фаворитов, которые последовательно придут первыми к финишу, им необходимо учитывать все различия в предсказуемости между участниками забега. Долгие годы определить это не удавалось даже в лучших моделях прогнозирования лошадиных скачек. В последнее десятилетие, однако, синдикаты нашли способ справиться с проблемой. И произошло это не только благодаря развитию компьютерных технологий. Игрокам помогла одна старая теория, первоначально выдвинутая группой математиков, работавших над созданием водородной бомбы.
Январским вечером 1946 года Станислав Улам отправился спать с ужасной головной болью. На следующий день, проснувшись, он не мог говорить, и его срочно направили в больницу Лос-Анджелеса, и хирурги сделали ему операцию по вскрытию черепной коробки. Обнаружилось, что у Улама воспаление оболочек мозга, вызванное инфекционным заболеванием. Больному ввели пенициллин.
Улам родился в Польше, но в 1939 году, буквально за несколько недель до вторжения нацистов, был вынужден покинуть Европу и перебраться в США. Математик по образованию, в военное время он работал над проектом атомной бомбы в Лос-Аламосской национальной лаборатории, а затем преподавал математику в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Нельзя сказать, что это был его сознательный выбор: после войны пронесся слух, что лабораторию в Лос-Аламосе закроют, и Улам разослал свои документы в несколько престижных университетов, но не получил ни одного приглашения.
К середине весны 1946 года Улам полностью оправился от болезни. Время, проведенное в госпитале, не прошло для него даром: по зрелом размышлении он решил вернуться в лабораторию в Лос-Аламосе, которую никто и не думал закрывать – напротив, правительство выделило ей деньги на создание водородной «супербомбы». Улам присоединился к проекту, когда перед разработчиками стоял целый ряд вопросов. В частности, исследователи бились над проблемой прогнозирования цепной реакции в процессе детонации. Для этого требовалось вычислить частоту столкновения нейтронов и выяснить количество выделяемой бомбой энергии. К разочарованию Улама, при помощи обычных математических формул процесс не поддавался расчету.
В отличие от своих коллег-математиков Улам не относился к числу любителей проводить долгие часы за письменным столом. Коллега Улама как-то застал его за решением квадратного уравнения: «Наморщив от напряжения лоб, он своим мелким почерком строчил на доске формулы. Получив наконец ответ, он обернулся и с облегчением сказал: „Думаю, на сегодня я свое отработал“».
Ученый предпочитал генерировать новые идеи, а их реализацию оставлял другим. Находчивость он проявлял не только при решении математических головоломок. Зимой 1943 года Улам, работавший тогда в Висконсинском университете, заметил, что несколько его коллег перестали появляться на работе. Вскоре он получил письмо с приглашением присоединиться к некоему проекту в Нью-Мехико, однако никаких подробностей не сообщалось. Заинтригованный, Улам отправился в университетскую библиотеку – поискать информацию о Нью-Мехико. Он нашел всего одну книгу об этом штате. Улам проверил, кто брал издание до него, – и понял, куда пропали все его друзья. Зная об их научных интересах, он догадался, над чем они работают в пустыне.