Энциклопедия финансового риск-менеджмента - читать онлайн

1.1. Введение

Научно обоснованное управление финансовыми рисками невозможно без соответствующей методики измерения этих рисков. Существующие методы измерения финансовых рисков в основном опираются на современную теорию финансовых инструментов с фиксированными доходами, теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов. Именно эти вопросы составляют основное содержание первой главы настоящей книги.

В частности, при изучении финансовых инструментов с фиксированными доходами вводятся многие фундаментальные понятия теории финансов: будущая и приведенная стоимости инвестиций, внутренняя доходность облигаций, временная структура процентных ставок, кривая рыночных доходностей, дюрация и выпуклость портфелей облигаций. Все эти понятия широко используются как при измерении финансовых рисков, так и при построении стратегий хеджирования этих рисков.

После небольшого обзора основных положений теории вероятностей рассматриваются важнейшие статистические методы оценки различных финансовых показателей, используемых в риск-анализе.

В заключительной части главы вводятся основополагающие понятия теории случайных процессов: сечения и траектории, математическое ожидание и дисперсия, процесс случайного блуждания, биномиальная модель, винеровский случайный процесс, стохастические дифференциальные уравнения. Подробно исследуется процесс геометрического броуновского движения, который играет ключевую роль в оценке производных финансовых инструментов.

1.2. Будущая стоимость денежного потока

Предположим, что денежная сумма Р инвестирована на Т лет под годовую процентную ставку r(m) при начислении процентов m раз в год. Тогда будущая стоимость (future value) инвестиции может быть найдена следующим образом:

Если же денежная сумма Р инвестирована под годовую процентную ставку при непрерывном начислении процентов, то будущая стоимость инвестиции определяется равенством:

Пример 1.1. Денежная сумма в 1 млн долл. инвестирована на 6 лет под годовую процентную ставку 6,4 %. Определим будущую стоимость инвестиции, если проценты начисляются: а) один раз в год; б) дважды в год; в) ежеквартально; г) непрерывно:

Очевидно, что будущая стоимость инвестиции возрастает при:

а) увеличении срока;

б) возрастании годовой процентной ставки;

в) росте частоты начисления процентов.

Годовые процентные ставки называют эквивалентными, если при инвестировании любой суммы Р под эти ставки на один и тот же срок совпадают будущие стоимости.

В частности, годовые процентные ставки r(m) и r(n) при начислении процентов m и n раз соответственно оказываются эквивалентными тогда и только тогда, когда

Годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов эквивалентна годовой процентной ставке r(m) при начислении процентов m раз в год тогда и только тогда, когда

Пример 1.2. Банк предлагает по депозитам годовую процентную ставку в 8 % при начислении процентов один раз в год. Какую годовую процентную ставку можно требовать при начислении процентов: а) дважды в год; б) ежеквартально; в) непрерывно?

Предположим теперь, что инвестору обещают через t₁, t₂…., t_n лет денежные суммы P_t1, P_t2…., P_tn соответственно. Если инвестор предполагает инвестировать все поступающие денежные суммы под одну и ту же годовую процентную ставку, то через Т лет будущая стоимость денежного потока будет равна:

Какова будущая стоимость денежного потока через 3 года, если инвестор предполагает инвестировать поступающие денежные суммы под 7 % при начислении процентов: а) дважды в год; б) непрерывно?

Если одну и ту же денежную сумму выплачивают (или получают) периодически в течение ряда лет, то соответствующий денежный поток называют рентой[13] (annuity). Промежуток времени между двумя соседними платежами – это рентный период. Ренту называют обыкновенной (ordinary annuity), если первый рентный платеж приходится в точности на конец одного рентного периода.

Рассмотрим обыкновенную ренту размером А сроком на Т лет, рентный период которой составляет года. По данной ренте будут произведены Тт платежей одной и той же величины А, причем i-й платеж (i = 1, 2…., Тт) должен быть произведен через лет.

Если предположить, что все рентные платежи будут инвестироваться под одну и ту же годовую процентную ставку r(m) при начислении процентов m раз в год, то будущая стоимость обыкновенной ренты через Т лет может быть определена следующим образом:

Так как

то

Пример 1.4. Менеджер покупает облигацию, по которой выплачиваются проценты в размере 40 долл. каждые полгода в течение 10 лет и номинальная стоимость в 1000 долл. в конце десятого года. Определим будущую стоимость инвестиции через 10 лет, если все платежи реинвестируются под 6,7 %, а первый процентный платеж производится через 6 месяцев.

Денежный поток, определяемый облигацией, представляет собой обыкновенную ренту, в которой А = 40 долл., m = 2, Т = 10 лет, и выплату 1000 долл. в конце десятого года. Отсюда

1.3. Приведенная стоимость денежного потока

Денежную сумму, которую необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенное время получить данную будущую стоимость, называют приведенной стоимостью (present value).

Имеет место следующее равенство:

где

РV – приведенная стоимость инвестиции;

FV – будущая стоимость;

Т – срок инвестиции;

r(m) – процентная ставка при начислении процентов m раз в год.

Процентную ставку r(m), используемую для определения приведенной стоимости инвестиции, называют ставкой дисконтирования (discount rate). Если ставка дисконтирования определяется при непрерывном начислении процентов, то формула (1.10) принимает вид:

Пример 1.5. Менеджер пенсионного фонда должен через 6 лет выплатить 10 млн долл. В данный момент менеджер имеет возможность инвестировать любую сумму под 7,5 % при начислении процентов дважды в год. Сколько должен инвестировать менеджер пенсионного фонда, чтобы выполнить свое обязательство?

Приведенная стоимость 10 млн долл. может быть найдена по формуле (1.10):

Следовательно, менеджер должен инвестировать 6 428 989,78 долл., чтобы через 6 лет получить 10 млн долл.

Из равенства (1.10) следует, что при прочих равных условиях:

1) чем больше ставка дисконтирования, тем меньше приведенная стоимость, и наоборот;

2) чем меньше срок инвестиции, тем больше приведенная стоимость, и наоборот.

Приведенная стоимость потока денежных платежей определяется в виде суммы приведенных стоимостей платежей, образующих этот денежный поток.

Пример 1.6. Финансовый директор компании знает, что ему предстоит произвести следующие платежи:

Какую денежную сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы обеспечить выполнение обязательств, если процентная ставка равна 6 % при начислении процентов дважды в год?

Достаточно определить приведенную стоимость данного потока платежей:

Если денежный поток представляет собой обыкновенную ренту, по которой т раз в год в течение Т лет выплачивается одна и та же денежная сумма А, то приведенная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:

Пример 1.7. Банк согласился предоставить 30-летний ипотечный кредит в размере 100 000 долл. По условиям ипотечного кредитования ежемесячные платежи заемщика должны быть одинаковыми. Годовая процентная ставка, требуемая банком, равна 12 %. Какова величина ежемесячного платежа заемщика?

Величина ежемесячного платежа заемщика определяется из условия, что приведенная стоимость потока платежей заемщика должна составить 100 000 долл. Значит,

Обыкновенную ренту называют бессрочной[14] (perpetual annuity), если поток рентных платежей не ограничен по времени. Приведенная стоимость бессрочной ренты, по которой m раз в год выплачивается сумма А, может быть найдена следующим образом:

1.4. Внутренняя доходность финансовых инструментов

Внутренней доходностью (internal rate of return – IRR) финансового инструмента называют процентную ставку, при которой приведенная стоимость потока платежей по данному финансовому инструменту совпадает с его рыночной ценой.

Пример 1.8. Финансовый инструмент продается по цене 1243,82 долл., и по нему каждые 6 месяцев выплачивается по 50 долл. в течение 5 лет и еще 1000 долл. в конце пятого года. Покажем, что внутренняя доходность данного финансового инструмента при начислении процентов дважды в год составляет 4,5 %.

Приведенная стоимость денежного потока по данному финансовому инструменту определяется следующим образом:

где r(2) – годовая процентная ставка при начислении процентов дважды в год.

При r(2) = 0,045 имеем

Так как приведенная стоимость денежного потока, определяемого финансовым инструментом, совпала с его рыночной ценой, то внутренняя доходность этого инструмента действительно равна 4,5 %.

Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:

Внутренняя доходность рассматриваемого финансового инструмента при начислении процентов m раз в год является решением уравнения:

где Р – рыночная цена финансового инструмента.

Функция стоящая в правой части уравнения (1.14), всегда является убывающей и выпуклой. График функции изображен на рис. 1.1.

Для решения уравнения (1.14) можно использовать метод проб и ошибок. Вначале найдем простым подбором числа α₁ и β₁ так, чтобы P(α₁) > Р, а P(β₁) < Р (рис. 1.2). Тогда искомая внутренняя доходность будет находиться между α₁ и β₁, т. е. у ∈ (α₁, β₁). Промежуток (α₁, β₁) разделим на 10 равных частей. И, вычисляя значение функции Р(у) в точках деления, найдем числа α₂ и β₂ так, чтобы:

Тогда у ∈ (α₂, β₂). Повторяя данную процедуру несколько раз, можно найти достаточно малый промежуток (α₁, β₁), на котором находится искомая внутренняя доходность. В этом случае искомую внутреннюю доходность можно определить на основе линейной интерполяции:

Определим внутреннюю доходность финансового инструмента при начислении процентов дважды в год, если рыночная цена финансового инструмента равна 7000 долл.

Чтобы определить искомую внутреннюю доходность, достаточно решить уравнение:

Так как

то полагаем α₁ = 0,06, β₁ = 0,07. Промежуток (α₁, β₁) разделим на 10 равных частей:

Заметим, что P(0,066) = 7000,5057 > 7000; P(0,067) = 6993,3546 < 7000. Значит, можно считать, что α₂ = 0,066, а β₂ = 0,067.

Используя линейную интерполяцию, получим, что

Так как Р(0,06607) = 7000,005, то искомая внутренняя доходность составляет 6,607 %.

Если по данному финансовому инструменту приходится только один платеж, то его внутренняя доходность при начислении процентов m раз в год может быть найдена по формуле:

где С – размер платежа по финансовому инструменту;

Р – рыночная цена финансового инструмента;

Т – срок платежа по финансовому инструменту.

1.5. Котируемая цена купонных облигаций

Купонной облигацией (coupon bond) называют финансовый инструмент, по которому периодически выплачиваются купонные проценты вплоть до погашения и номинальная стоимость в момент его погашения.

Отношение суммы купонных платежей за год к номинальной стоимости облигации называют купонной ставкой облигации (coupon rate).

Если f – купонная ставка облигации, то размер одного купонного платежа может быть найден по формуле:

где q – размер купонного платежа;

А – номинальная стоимость облигации;

m – количество купонных выплат за год.

Пример 1.10. Дана 9 %-ная купонная облигация с полугодовыми купонами и номинальной стоимостью 1000 долл. Определим поток платежей по облигации, когда до ее погашения остается 2,25 года.

В данном случае f = 0,09, А = 1000 долл., m = 2. Значит,

и поток платежей по облигации имеет вид:

Цена купонной облигации должна совпадать с приведенной стоимостью потока платежей, обещаемых по этой облигации. Чтобы определить приведенную стоимость потока платежей, необходимо знать ставку дисконтирования, которая в данном случае является требуемой доходностью (required yield).

Требуемая доходность для данной купонной облигации устанавливается на основе исследования внутренних доходностей финансовых инструментов, сравнимых с данной купонной облигацией. При этом учитываются такие факторы, как кредитный рейтинг эмитентов, ликвидность финансовых инструментов и т. д.

Котируемая цена (clean price) купонных облигаций определяется в моменты времени, когда происходят выплаты очередных купонных платежей. Котируемая цена купонной облигации с полугодовыми купонами может быть найдена по формуле:

где P – котируемая цена облигаций;

– размер одного купонного платежа;

r – требуемая доходность;

А – номинальная стоимость облигации;

n – количество купонных платежей, остающихся до погашения облигации.

Пример 1.11. Найдем цену 9 %-ной купонной облигации, номинальной стоимостью 1000 долл., когда до ее погашения остается 20 лет, а требуемая доходность составляет 8 %.

В данном случае A = 1000 долл., f = 0,09, = 45 долл., n = 40, r = 0,08.

Котируемую цену облигации можно найти по формуле (1.18):

Говорят, что купонная облигация продается по номиналу (par value), если ее котируемая цена совпадает с номинальной стоимостью. Купонная облигация продается по номиналу тогда и только тогда, когда купонная ставка облигации равна требуемой доходности.

Облигация продается с премией (at a premium), если ее котируемая цена выше номинальной стоимости. Купонная облигация продается с премией тогда и только тогда, когда купонная ставка выше требуемой доходности. Размер премии для облигаций с полугодовыми купонами составляет:

Говорят, что купонная облигация продается с дисконтом (at a discount), если ее котируемая цена ниже номинала. Облигация продается с дисконтом тогда и только тогда, когда купонная ставка облигации меньше требуемой доходности. Размер дисконта можно найти следующим образом:

Пример 1.12. Облигация из примера 1.11 продается с премией, так как ее купонная ставка f = 0,09 выше требуемой доходности r = 0,08. Размер премии можно определить по формуле (1.19):

Если с течением времени требуемая доходность не изменяется, то чем ближе дата погашения облигации, тем меньше размер премии (дисконта).

Зависимость котируемой цены облигации от количества купонных платежей, остающихся до погашения облигации, показана на рис. 1.3.

Котировкой облигации называют отношение

где Р – котируемая цена облигации;

А – номинальная стоимость облигации.

Зная котировку облигации и ее номинальную стоимость, можно найти котируемую цену облигации.

Пример 1.13. Если котировка облигации номинальной стоимостью 5000 долл. равна то ее котируемая цена равна

1.6. Цена купонных облигаций

Рассмотрим некоторую облигацию с полугодовыми купонами. Будем считать, что требуемая доходность известна и равна r.

Если расчетная дата приходится на дату купонного платежа, то цена облигации считается равной ее котируемой цене и может быть найдена по формуле (1.18). Если же расчетная дата находится между датами купонных платежей, то цена облигации определяется следующим образом:

где Р – цена облигации;

q – полугодовой купонный платеж;

А – номинальная стоимость облигации;

n – число купонных платежей, остающихся до погашения облигации;

w – отношение числа дней от расчетной даты до очередного купонного платежа к числу дней в купонном периоде.

Формулу (1.21) можно записать и в ином виде:

Пример 1.14. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами номиналом 100 долл., погашаемая 1 марта 2003 г. Определим, какова была цена этой облигации 17 июля 1997 г. при требуемой доходности в 7 %.

В данном случае А = 100 долл., q = 5 долл., r = 0,07, n = 12.

При расчете фактического числа дней между двумя датами принято учитывать только одну из этих дат. Тогда число дней между 1 марта и 1 сентября 1997 г. – 184, а между 17 июля и 1 сентября 1997 г. – 46. Значит,

По формуле (1.22) найдем, что

Замечание. В примере 1.14 мы определяли число дней между двумя датами по календарю. Так принято, в частности, на рынке казначейских облигаций США. Этот стандарт расчета числа дней обозначают Actual/Actual. На других рынках облигаций могут использоваться и другие стандарты. Например, стандарт 30/360, когда число дней в любом месяце считается равным 30, а число дней в году – 360.

Пример 1.15. Определим цену облигаций из примера 1.14, если на рынке действует стандарт 30/360.

При стандарте 30/360 число дней между 1 марта и 1 сентября считается равным 180, а между 17 июля и 1 сентября – 44. Тогда

В этом случае цена облигации находится следующим образом:

Если покупка облигации производится на бирже, то покупатель обязан уплатить котируемую цену облигации и накопленные проценты (accrued interest), которые рассчитываются следующим образом:

где q – полугодовой купонный платеж;

N₁ – число дней от последнего купонного платежа до расчетной даты;

N – число дней в купонном периоде.

Сумму котируемой цены облигации и накопленных процентов называют «грязной» ценой (dirty price).

Пример 1.16. Определим величину накопленных процентов для облигации из примера 1.14.

При использовании стандарта Actual/Actual имеем:

а при стандарте 30/360:

1.7. Оценка доходности облигаций

1.7.1. Текущая доходность

Текущей доходностью (currentyield) купонной облигации принято считать отношение суммы купонных платежей за год к рыночной цене облигации.

Пример 1.17. Определим текущую доходность 6 %-ной облигации с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., продающейся по цене 700,89 долл., когда до ее погашения остается 18 лет.

1.7.2. Доходность к погашению

Доходность к погашению (yield to maturity) облигации с полугодовыми купонами является решением уравнения:

где Р – котируемая цена облигации;

AI – накопленные проценты на расчетную дату;

q – полугодовой купонный платеж;

А – номинальная стоимость облигации;

n – число купонных платежей, остающихся до погашения облигации;

w – отношение числа дней между расчетной датой и очередным купонным платежом к числу дней в купонном периоде.

Пример 1.18. Найдем доходность к погашению облигации из примера 1.17.

В данном случае

Следовательно, доходность к погашению удовлетворяет уравнению:

то доходность к погашению облигации равна 9,50 %.

Нетрудно убедиться, что имеют место следующие утверждения:

1) если купонная облигация продается по номиналу, то купонная ставка равна текущей доходности облигации и ее доходности к погашению;

2) если купонная облигация продается с премией, то ее купонная ставка больше текущей доходности, которая, в свою очередь, больше доходности к погашению;

3) если же купонная облигация продается с дисконтом, то ее купонная ставка меньше текущей доходности, которая, в свою очередь, меньше доходности к погашению (см. примеры 1.17 и 1.18).

1.7.3. Доходность к отзыву

Во многих случаях при эмиссии облигаций оговаривается право эмитента выкупить всю эмиссию или некоторую ее часть до установленной даты погашения облигаций. Такие облигации принято называть отзывными (callable bonds). Для отзывных облигаций заранее устанавливается специальный график отзыва, показывающим цены отзыва в зависимости от времени, прошедшего после даты эмиссии; обычно через определенное время после эмиссии цена отзыва устанавливается выше номинала облигации, а затем она постепенно снижается до номинала.

Доходность к отзыву (yield to call) при условии, что расчетная дата приходится на дату купонного платежа, является решением уравнения следующего вида:

где Р – котируемая цена облигации с полугодовыми купонами;

q – полугодовой купонный платеж;

n* – число купонных платежей, остающихся до рассматриваемой даты отзыва;

А* – цена отзыва в соответствующий момент времени.

Пример 1.19. Дана 11 %-ная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл. и сроком погашения 19 лет, продающаяся по цене 1224,07 долл. Определим доходность облигации: а) к погашению; б) к отзыву через 6 лет по цене 1055 долл.; в) к отзыву через 10 лет по номиналу.

Доходность к погашению данной облигации должна удовлетворять следующему уравнению:

Решив уравнение, получим, что у = 0,0858. Таким образом, доходность к погашению составляет 8,58 %.

Доходность к отзыву через 6 лет является решением уравнения

Откуда у = 0,0710, т. е. 7,10 %.

Наконец, доходность к отзыву по номиналу равна 7,74 %, так как должна удовлетворять уравнению

1.7.5. Маржа дисконтирования

Мера доходности, называемая маржей дисконтирования (discounted margin), применяется только к облигациям с плавающей купонной ставкой (floating-rate securities). В простейшем случае плавающая купонная ставка определяется в установленные моменты времени по формуле:

Маржей дисконтирования называют надбавку к ставке-ориентиру, которую держатель облигации ожидает получить за все время существования облигации, если ставка-ориентир не будет отклоняться от своего текущего уровня.

Пример 1.20. Дана 6-летняя облигация с плавающей купонной ставкой номиналом 100 долл. Купонная ставка больше ставки-ориентира на 80 базисных пунктов и определяется каждые 6 месяцев. Определим маржу дисконтирования, если цена облигации 99,31 долл., а текущее значение ставки-ориентира – 10 %.

При определении маржи дисконтирования считается, что ставка-ориентир не меняется с течением времени. Значит, в этом случае полугодовой купонный платеж составит:

Маржа дисконтирования должна удовлетворять следующему уравнению:

которое можно переписать в виде:

Решив уравнение, получим, что х = 0,0096. Таким образом, маржа дисконтирования составляет 96 базисных пунктов.

1.8. Оценка доходности портфелей облигаций

1.8.1. Средневзвешенная доходность портфеля облигаций

Средневзвешенная доходность портфеля облигаций (weighted average portfolio yield) определяется по формуле:

где k – число облигаций в портфеле;

y_i – доходность i-й облигации, i = 1, 2, …, k;

w_i – отношение рыночной стоимости i-й облигации к рыночной стоимости всего портфеля, i = 1, 2, …, k.

Пример 1.21. Портфель состоит из двух облигаций с полугодовыми купонами, параметры которых указаны в таблице:

Определим средневзвешенную доходность портфеля облигаций. В данном случае

Следовательно, средневзвешенная доходность портфеля равна

y_П = 0,3312 • 0,08 + 0,6688 • 0,10 = 0,0934, т. е. 9,34 %.

1.8.2. Внутренняя доходность портфеля облигаций

Внутренней доходностью портфеля облигаций (portfolio internal rate of return) является процентная ставка, при которой приведенная стоимость потока платежей от портфеля совпадает с рыночной стоимостью этого портфеля. Следовательно, чтобы определить внутреннюю доходность портфеля облигаций, предварительно необходимо найти поток платежей по данному портфелю.

Пример 1.22. Найдем внутреннюю доходность портфеля облигаций из примера 1.21.

Поток платежей по рассматриваемому портфелю имеет следующий вид:

Следовательно, внутренняя доходность портфеля облигаций должна удовлетворять уравнению:

Значит, у = 0,0959.

Таким образом, внутренняя доходность портфеля облигаций составляет 9,59 %.

1.9. Кривые рыночных доходностей

Рассмотрим некоторую купонную облигацию. Каждый отдельный купонный платеж и каждую выплату номинальной стоимости можно интерпретировать как облигацию с нулевым купоном при соответствующем сроке до погашения. В этом случае саму облигацию можно рассматривать как портфель облигаций с нулевыми купонами.

Так как купонная облигация и портфель соответствующих облигаций с нулевыми купонами характеризуются одинаковыми потоками платежей, то должны совпадать и их цены. Следовательно, зная внутренние доходности облигаций с нулевыми купонами, можно найти цену купонной облигации.

Набор внутренних доходностей облигаций с нулевыми купонами, выпущенных эмитентами одного и того же кредитного рейтинга, называют временной структурой процентных ставок (term structure of interest rates).

Графическое изображение временной структуры процентных ставок принято называть кривой (рыночных) доходностей (yield curve, zero coupon curve).

Кривая доходностей может изменяться с течением времени. На рис. 1.4-1.7 показаны примеры кривых рыночных доходностей.

Кривую рыночных доходностей для казначейских (государственных) облигаций называют кривой спот-ставок (spot curve).

Если известна кривая спот-ставок, то можно определить цену любой купонной казначейской облигации.

Например, котируемая цена казначейских облигаций с полугодовыми купонами может быть найдена по следующей формуле:

где Р – котируемая цена облигации;

А – номинальная стоимость облигации;

n – число купонных платежей, остающихся до погашения облигации;

r_i – спот-ставка на i полугодовых периодов, i = 1, 2…., n.

Пример 1.23. Дана 8 %-ная казначейская облигация с полугодовыми купонами номиналом 100 долл. Определим цену этой облигации, когда до ее погашения остается 2 года, а спот-ставки на 0,5, 1,0, 1,5 и 2 года соответственно равны 6, 6,5, 6,8 и 7 %.

Согласно формуле (1.26), имеем:

Чтобы построить кривую спот-ставок, необходимо знать рыночные цены облигаций с нулевыми купонами при различных сроках до погашения. Однако обычно облигации с нулевыми купонами выпускаются лишь при небольших сроках до погашения. В таком случае кривую спот-ставок можно смоделировать на основе цен купонных облигаций с разными сроками до погашения.

Пример 1.24. На рынке имеются казначейские облигации с полугодовыми купонами номиналом 100 долл. со следующими данными:

Выясним, как можно построить кривую спот-ставок в данной ситуации.

1. 6-месячную спот-ставку можно найти с помощью первой облигации. Так как должно выполняться равенство

2. Спот-ставку на год можно определить по второй облигации из нашего списка:

3. Спот-ставку на 1,5 года будем искать с помощью третьей облигации, зная уже найденные спот-ставки r₁ и r₂.

Так как цена облигации должна совпадать с приведенной стоимостью потока платежей от этой облигации, то

Следовательно, r₃ = 0,0893.

4. Спот-ставку r₄ найдем с помощью линейной интерполяции:

Тогда должно выполняться следующее равенство:

т. е. мы имеем уравнение с одним неизвестным. Решив это уравнение методом проб и ошибок, получим, что r₅ = 0,0948. Тогда

В данном случае кривая спот-ставок имеет нормальный вид (рис. 1.8).

В развитых финансовых системах государственные облигации считаются безрисковыми, а все остальные облигации принято с ними сравнивать. Для сравнения облигаций, выпущенных негосударственными эмитентами, с государственными облигациями можно использовать показатель, называемый спредом нулевой волатильности.

Спредом нулевой волатильности (zero-volatility spread) называют такую надбавку к спот-ставкам, при которой приведенная стоимость потока платежей от облигации совпадает с ее рыночной ценой.

Спред нулевой волатильности удовлетворяет следующему уравнению:

где Р – котируемая цена облигации с полугодовыми купонами;

q – полугодовой купонный платеж;

А – номинальная стоимость облигации;

n – число купонных платежей, остающихся до погашения облигации;

r_i – спот-ставка на i полугодовых периодов, i = 1, 2, …, n.

Пример 1.25. Дана 10 %-ная корпоративная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., когда до ее погашения остается 3 года. Определим спред нулевой волатильности, если облигация продается за 1002,75 долл., а спот-ставки на 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5 и 3 года соответственно равны 6, 6, 7, 7, 8 и 8 %.

Решив уравнение

найдем, что х = 0,02. Таким образом, в данном случае спред нулевой волатильности составляет 200 базисных пунктов.

Замечание. Для сравнения краткосрочных облигаций можно использовать разницу между доходностями к погашению. Однако для долгосрочных облигаций спред нулевой волатильности дает более точную оценку.

1.10. Предполагаемые форвардные ставки

Если известна кривая рыночных доходностей, можно найти предполагаемые форвардные ставки.

Предполагаемая форвардная ставка (implied forward rate) через n полугодовых периодов на t периодов вперед определяется следующей формулой:

где _nf_t – предполагаемая форвардная ставка через n полугодовых периодов на t полугодовых периодов;

r_n+t – внутренняя доходность облигации с нулевым купоном, погашаемой через n + t полугодовых периодов;

r_n – внутренняя доходность облигации с нулевым купоном, погашаемой через n полугодовых периодов.

Чтобы выяснить смысл предполагаемых форвардных ставок, рассмотрим две стратегии.

Стратегия 1. Денежную сумму Q инвестируем на n + t полугодовых периодов под ставку r_{n + t} (это означает, что на сумму Q закупаются облигации с нулевыми купонами, погашаемые через n + t полугодовых периодов).

Стратегия 2. Денежную сумму Q инвестируем на n полугодовых периодов под ставку r_n, а затем накопленную сумму реинвестируем еще на t полугодовых периодов под ставку z_t.

Данные стратегии дадут один и тот же конечный результат тогда и только тогда, когда z_t = _nf_t.

Таким образом, предполагаемая форвардная ставка _nf_t – это такая ставка, которую может себе обеспечить инвестор на t полугодовых периодов в будущем, оперируя на рынке облигаций с нулевыми купонами.

Пример 1.26. Рыночные доходности на 3 и 5 полугодовых периодов соответственно равны 8 и 9 %.

Предполагаемая форвардная ставка через 1,5 года на один год вперед может быть найдена следующим образом:

Если 100 долл. инвестировать на 2,5 года под ставку 9 %, то через 2,5 года получим

Если же 100 долл. инвестировать на 1,5 года под ставку 8 %, а затем накопленную сумму

реинвестировать под предполагаемую форвардную ставку 10,51 % еще на один год, то получим

Таким образом, обе рассмотренные стратегии дают один и тот же результат (небольшое расхождение объясняется погрешностями при расчетах).

Графическое изображение предполагаемых форвардных ставок _nf_t при t = 1, 2, 3…. называют кривой форвардных ставок (forward rate curve) через n полугодовых периодов.

Можно доказать, что если кривая форвардных ставок является возрастающей (убывающей), то и кривая рыночных доходностей возрастает (убывает). Однако при возрастающей кривой рыночных доходностей кривая форвардных ставок не обязательно будет возрастающей.

Пример 1.27. На данный момент времени известны следующие рыночные доходности:

Таким образом, кривая рыночных доходностей возрастает. По определению предполагаемых форвардных ставок имеем:

Следовательно, кривая форвардных ставок не является возрастающей (₁f₂ > ₁f₃).

Если известны предполагаемые форвардные ставки, то можно определить и рыночные доходности:

Так как среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих чисел, то

C помощью предполагаемых форвардных ставок можно найти котируемую цену облигации с полугодовыми купонами:

1.11. Относительное изменение цены купонной облигации

На данный момент времени цена купонной облигации зависит только от требуемой доходности. При этом чем выше требуемая доходность, тем ниже цена облигации, и, наоборот, чем ниже требуемая доходность, тем выше цена.

Обозначим через Р(r) цену купонной облигации при требуемой доходности, равной r. Если Δr – некоторое положительное число, то величину

назовем относительным ростом, а величину

относительным снижением цены облигации.

Относительное изменение цены купонной облигации является важным показателем рискованности этой облигации.

Основные утверждения

1. При одном и том же изменении требуемой доходности относительный рост цены купонной облигации всегда больше относительного снижения (рис. 1.9).

Пример 1.28. Дана 8 %-ная купонная облигация с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 15 лет, когда требуемая доходность равна 10 %, а цена облигации – 84,6275 долл.

Относительный рост и относительное снижение цены облигации при различных изменениях требуемой доходности приведены в таблице:

Замечание. При достаточно малых изменениях требуемой доходности относительный рост цены облигации практически совпадает с относительным снижением.

2. Чем выше купонная ставка облигации, тем меньше относительное изменение цены купонной облигации.

Пример 1.29. Даны 5-летние облигации с полугодовыми купонами при требуемой доходности r = 10 %, купонные ставки которых равны 0, 8 и 12 %. Относительный рост и относительное снижение цен облигаций при изменении требуемой доходности на 10 базисных пунктов приведены в таблице:

Следствие. Среди облигаций с одним и тем же сроком до погашения, выпущенных данным эмитентом, наиболее рискованными являются облигации с нулевым купоном.

3. Чем выше требуемая доходность при прочих равных условиях, тем ниже относительное изменение цены купонной облигации.

Пример 1.30. Дана 8 %-ная купонная облигация с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 15 лет, когда требуемая доходность равна 12 %, а цена облигации равна 72,4703 долл.

Относительный рост и относительное снижение цены облигации при различных изменениях требуемой доходности, приведенные в таблице, сравним с аналогичными показателями для облигации из примера 1.28:

4. Чем меньше времени остается до погашения облигации, тем меньше относительное изменение цены облигации (за исключением долгосрочных облигаций, продающихся с дисконтом).

Пример 1.31. Рассмотрим 4 %-ную облигацию с полугодовыми купонами при разных сроках погашения, если требуемая доходность равна 10 %, а изменение требуемой доходности составляет 50 базисных пунктов.

Все расчеты приведены в таблице:

Следствие. Если ожидается падение процентных ставок на рынке, то следует держать долгосрочные облигации, а если ожидается рост процентных ставок, то краткосрочные.

1.12. Цена базисного пункта

Для оценки рискованности облигаций используется показатель, называемый ценой базисного пункта.

Ценой базисного пункта (price value of a basis point – PVBP) называют изменение цены облигации номиналом 100 долл. при уменьшении требуемой доходности на один базисный пункт.

Таким образом, цена базисного пункта определяется следующей формулой:

где δP – цена базисного пункта облигации;

Р(r) – цена облигации номиналом 100 долл. при требуемой доходности, равной r;

Р(r – Δr) – цена облигации при требуемой доходности, равной r – Δr;

Δr = 0,0001.

Замечание

1. Изменение цены облигации номиналом 100 долл. при увеличении требуемой доходности на 1 базисный пункт практически совпадает с ценой базисного пункта этой облигации.

2. Изменение цены облигации номиналом 100 долл. при уменьшении (увеличении) требуемой доходности на х базисных пунктов при х ≤ 10 приблизительно равно произведению цены базисного пункта на число х.

Пример 1.32. Рассмотрим 6 %-ную облигацию с полугодовыми купонами, когда до погашения остается 10 лет, а требуемая доходность равна 10 %.

В данном случае

и по формуле (1.30) цена базисного пункта

Следовательно, изменение цены облигации при увеличении требуемой доходности на 8 базисных пунктов должно приблизительно равняться:

Точное значение этого изменения может быть найдено следующим образом:

Нетрудно проверить, что имеет место следующее утверждение: чем выше требуемая доходность для данной облигации, тем ниже цена базисного пункта (рис. 1.10).

Пример 1.33. Рассмотрим облигацию из примера 1.32 при требуемой доходности 6 %. В этом случае цена базисного пункта

превышает цену базисного пункта из примера 1.32.

Цена базисного пункта для портфеля облигаций находится по формуле:

где Ak – номинальная стоимость облигации k-го вида

δ_kP – цена базисного пункта облигации k-го вида при номинале 100 долл.;

N – число облигаций в портфеле.

1.13. Дюрация финансовых инструментов

Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:

Если требуемая доходность при начислении процентов дважды в год равна r, то дюрацией Маколея (Macaulay duration) данного финансового инструмента называется величина

Модифицированная дюрация (modified duration) финансового инструмента определяется равенством

где D – дюрация Маколея,

r – требуемая доходность при начислении процентов дважды в год.

Имеет место следующее равенство:

т. е. производная цены финансового инструмента по требуемой доходности равна произведению модифицированной дюрации этого инструмента на его цену с обратным знаком.

Основное свойство дюрации – при малых изменениях требуемой доходности имеет место равенство

Геометрическая иллюстрация равенства (1.34) приведена на рис. 1.11.

Расчет дюрации финансового инструмента при требуемой доходности 10 % приведен в таблице:

Таким образом, дюрация Маколея финансового инструмента равна 2,155 года.

Тогда модифицированная дюрация находится следующим образом:

Если требуемая доходность увеличится на 10 базисных пунктов, то

т. е. цена финансового инструмента упадет на 0,2 %.

Если же требуемая доходность мгновенно упадет на 200 базисных пунктов, то цена финансового инструмента вырастет приблизительно на 4,104 %, так как

Точные значения относительного изменения цены финансового инструмента в этих двух случаях соответственно равны -0,002049 и 0,04222.

Дюрацию обыкновенной ренты с полугодовыми платежами можно найти по формуле:

где r – требуемая доходность (при начислении процентов дважды в год);

n – число платежей ренты.

В частности, дюрация бессрочной ренты определяется равенством

Дюрация Маколея облигации с полугодовыми купонами, когда до ее погашения остается в точности п полугодовых периодов, может быть найдена по формуле

где r – требуемая доходность при начислении процентов дважды в год;

f – купонная ставка облигации;

H – отношение приведенной стоимости ренты из купонных платежей к цене облигации.

Пример 1.35. Дана 7 %-ная облигация с полугодовыми купонами, когда до ее погашения остается 20 лет, а требуемая доходность – 10 %.

В данном случае r = 0,1, f = 0,07, n = 40, q = 3,50 долл.

Приведенная стоимость ренты из полугодовых купонных платежей может быть найдена следующим образом:

Для расчета модифицированной дюрации любого финансового инструмента с заданным потоком платежей можно использовать следующую приближенную формулу:

Пример 1.36. Рассмотрим облигацию из примера 1.35. Точное значение модифицированной дюрации этой облигации 9,18023 года. Найдем модифицированную дюрацию с помощью приближенной формулы (1.38) при Δу = 20 базисных пунктов.

Основные утверждения о дюрации Маколея для купонных облигаций с полугодовыми купонами, когда до очередного купонного платежа остается 6 месяцев:

1. Дюрация любой купонной облигации не превышает срока до ее погашения, а дюрация облигации с нулевым купоном всегда совпадает со сроком до ее погашения.

2. Если купонная ставка облигации отлична от нуля, то чем больше требуемая доходность, тем меньше дюрация.

3. Если до погашения облигации остается более одного купонного периода, то чем выше купонная ставка при неизменной требуемой доходности, тем меньше дюрация.

4. Чем меньше времени остается до погашения облигации при прочих неизменных факторах, тем меньше дюрация (за исключением долгосрочных облигаций, продающихся с дисконтом).

1.14. Модифицированная дюрация портфеля облигаций

Модифицированной дюрацией портфеля облигаций называют взвешенную по стоимости сумму модифицированных дюраций облигаций, входящих в этот портфель, т. е.

Основное свойство модифицированной дюрации портфеля облигаций: если требуемые доходности всех облигаций портфеля изменяются на одну и ту же достаточно малую величину, имеет место следующее приближенное равенство:

Пример 1.37. Рассмотрим портфель, состоящий из трех облигаций с полугодовыми купонами при требуемой доходности 10 % со следующими данными:

В данном случае начальная стоимость портфеля П = 9 609 961 долл. Тогда

Следовательно, модифицированная дюрация портфеля облигаций составляет

Если требуемые доходности мгновенно увеличатся на 60 базисных пунктов, то

т. е. цена портфеля упадет на 3,88 %.

Точное изменение цены портфеля равно -0,0376, т. е. -3,76 %.

Говорят, что инвестор занимает длинную позицию (long position) на рынке облигаций, если он купил некоторую облигацию на этом рынке.

Если же инвестор взял облигацию взаймы у дилера и продал ее на рынке, то говорят, что на рынке облигаций он занимает короткую позицию (short position). Инвестор, занимающий короткую позицию, обязан в определенный момент времени в будущем вернуть облигацию дилеру и выплатить компенсацию за недополученные купонные платежи. Рассмотрим на примере, как определить модифицированную дюрацию портфеля, состоящего из длинных и коротких позиций на рынке облигаций.

Пример 1.38. Портфель состоит из двух позиций: длинной позиции в размере 100 млн долл. по двухлетней облигации ценой 101 долл. с модифицированной дюрацией 1,7 и короткой позиции в размере 50 млн долл. по 5-летней облигации ценой 99 долл. с модифицированной дюрацией 4,1. Определим модифицированную дюрацию этого портфеля.

Исходная стоимость портфеля может быть найдена следующим образом:

1.15. Приложения дюрации

1.15.1. Обмен облигаций

Предположим, что инвестор рассматривает вопрос об обмене облигации Х стоимостью V_X с модифицированной дюрацией на облигацию Y с модифицированной дюрацией при цене PY (на номинал 100 долл.).

Выясним, каким должен быть номинал облигации Y, чтобы обмен облигации Х на облигацию Y не увеличивал подверженность инвестора процентному риску.

Если требуемая доходность облигации Х изменится на величину Δr, то соответствующее изменение стоимости этой облигации определяется равенством

Можно предположить, что на основе статистических исследований установлено, что при изменении требуемой доходности облигации Х на величину Δr требуемая доходность облигации Y изменяется на величину βΔr.

Тогда соответствующее изменение стоимости облигации Y можно найти по формуле:

где A_y – номинал облигации Y.

Обмен облигаций не будет увеличивать подверженность процентному риску, если при любом Δr

Равенство (1.43) показывает, каким должен быть номинал облигации Y, чтобы при обмене облигации Х на облигацию Y не увеличивался процентный риск.

Пример 1.39. Инвестор рассматривает вопрос об обмене облигации Х стоимостью 8 млн долл. на облигацию Y при цене P_Y = 96 долл. Модифицированные дюрации облигаций Х и Y равны 5 и 4 соответственно, а коэффициент β равен 1,6.

Чтобы при обмене не менялась подверженность процентному риску, номинал облигации Y должен удовлетворять равенству:

Таким образом, искомый номинал облигаций Y должен равняться 6 510 417.

1.15.2. Иммунизация портфеля облигаций

Предположим, что в данный (нулевой) момент времени инвестор владеет портфелем облигаций, который он собирается продать через Т лет.

Если в данный момент времени все рыночные доходности одинаковы, т. е. кривая доходности имеет ровный вид, то будущая стоимость инвестиций П^А(Т) через Т лет определяется следующим образом:

где r – рыночная доходность,

П(r) – стоимость портфеля при рыночной доходности, равной r.

Будущую стоимость П^А(Т) будем называть целевой накопленной стоимостью портфеля облигаций.

Однако если между данным моментом времени и первым процентным платежом рыночные доходности изменяются на одну и ту же величину Δr, а в дальнейшем уже меняться не будут, то будущая стоимость инвестиции П^ф(Т) через Т лет удовлетворяет равенству

Будущую стоимость П^ф(Т) будем называть фактической накопленной стоимостью портфеля облигаций.

Фактическая накопленная стоимость портфеля облигаций может оказаться выше или ниже целевой накопленной стоимости этого портфеля. Однако если временной горизонт инвестора Т совпадает с дюрацией Маколея портфеля облигаций, то фактическая накопленная стоимость портфеля никогда не будет меньше его целевой накопленной стоимости.

Пример 1.40. Рассмотрим портфель из двух облигаций с полугодовыми купонами, когда все рыночные доходности равны 6 %. Основные данные об облигациях портфеля приведены ниже в таблице:

Дюрация Маколея данного портфеля облигаций находится следующим образом:

Целевая накопленная стоимость портфеля через 4,053 года будет равна:

В таблице указаны фактические накопленные стоимости через 4,053 года при различных изменениях рыночных доходностей:

Стратегия иммунизации портфеля облигаций рассчитана на защиту портфеля облигаций от процентного риска. Эта стратегия предполагает следующие действия. В начальный момент времени формируется портфель облигаций так, чтобы дюрация Маколея этого портфеля совпадала с временным горизонтом инвестора. С годами портфель периодически пересматривается так, чтобы каждый раз дюрация Маколея совпадала с временным горизонтом инвестора.

1.16. Выпуклость финансовых инструментов

Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:

Если требуемая доходность при начислении процентов дважды в год равна r, то выпуклостью (convexity) данного финансового инструмента называют число

Имеет место следующее равенство:

т. е. производная второго порядка цены финансового инструмента по требуемой доходности равна произведению выпуклости этого финансового инструмента на его цену.

При малых изменениях требуемой доходности имеет место следующее приближенное равенство:

Равенство (1.45) можно переписать в следующем виде:

Геометрический смысл этого равенства проиллюстрирован рис. 1.12.

Пример 1.41. Финансовый инструмент характеризуется следующим потоком платежей:

Расчет выпуклости данного финансового инструмента при требуемой доходности 10 % приведен в таблице:

Модифицированная дюрация финансового инструмента

Если требуемая доходность в начальный момент времени увеличится на 50 базисных пунктов, то цена финансового инструмента упадет приблизительно на 1,0188 %, так как

Заметим, что относительное изменение цены финансового инструмента, найденное приближенно, без учета выпуклости, равно -0,01026, а точное значение этого изменения равно -0,010189.

Если же требуемая доходность в начальный момент времени упадет на 200 базисных пунктов, то цена финансового инструмента вырастет приблизительно на 4,219 %, так как

в то время как относительное изменение цены инструмента, найденное приближенно, без учета выпуклости, равно 0,04104, а точное значение этого изменения равно 0,04222.

1. Произведение начальной цены финансового инструмента на его модифицированную дюрацию называют долларовой дюрацией (dollar duration) этого инструмента. Производная долларовой дюрации финансового инструмента по требуемой доходности равна произведению выпуклости этого финансового инструмента на его цену с обратным знаком, т. е.

Это означает, что выпуклость финансового инструмента является мерой скорости изменения долларовой дюрации этого инструмента.

2. При уменьшении требуемой доходности растут модифицированная дюрация и выпуклость финансового инструмента, причем

3. Если финансовый инструмент имеет одинаковые модифицированные дюрации, то при достаточно малом изменении требуемой доходности у финансового инструмента с большей выпуклостью относительный рост цены больше, а относительное снижение цены – меньше. Это означает, что при одной и той же модифицированной дюрации для инвесторов более привлекателен финансовый инструмент с большей выпуклостью.

4. При заданных требуемой доходности и сроке до погашения купонной облигации: чем меньше купонная ставка, тем больше выпуклость.

Для оценки выпуклости любого финансового инструмента можно использовать следующую приближенную формулу:

Пример 1.42. Рассмотрим 7 %-ную облигацию с полугодовыми купонами, когда до ее погашения остается 3 года, а требуемая доходность равна 10 %.

Оценим выпуклость данной облигации с помощью приближенной формулы (1.47), считая, что номинал облигации равен 100 долл. Изменение требуемой доходности выберем в 20 базисных пунктов (Δу = 0,002). Тогда

Расчет точного значения выпуклости данной облигации приведен в таблице:

Значит,

Таким образом, приближенная формула (1.47) дает достаточно хорошую оценку выпуклости облигации.

1.17. Выпуклость портфеля облигаций

Выпуклостью портфеля облигаций называют взвешенную по стоимости сумму выпуклостей облигаций, из которых составлен этот портфель, т. е. по определению

Если требуемые доходности облигаций портфеля изменяются на одну и ту же величину, то имеет место следующее приближенное равенство:

Заметим, что равенство (1.49) соблюдается тем точнее, чем меньше Δr (по абсолютной величине).

На основе равенства (1.49) можно сделать следующий вывод о роли выпуклости портфеля облигаций как меры процентного риска: если портфели облигаций имеют одну и ту же модифицированную дюрацию, то у портфеля с большей выпуклостью относительный рост цены больше, а относительное снижение цены – меньше.

Однако это утверждение справедливо лишь в том случае, когда требуемые доходности облигаций портфеля изменяются на одну и ту же величину.

Пример 1.43 [5]. Даны три облигации с полугодовыми купонами, основные показатели которых приведены в таблице:

Из данных облигаций сформируем два портфеля: портфель А (50,2 % – облигация Х и 49,8 % – облигация Y), портфель В (облигация Z).

Модифицированная дюрация и выпуклость портфеля А находятся следующим образом:

Таким образом, дюрации портфелей А и В одинаковы, а выпуклость портфеля А выше выпуклости портфеля В.

Относительные изменения стоимостей портфелей А и В при различных изменениях требуемых доходностей облигаций на одну и ту же величину приведены в следующей таблице:

Таким образом, при различных параллельных сдвигах кривой доходностей относительное изменение стоимости портфеля А всегда больше относительного изменения стоимости портфеля В.

При непараллельных сдвигах кривой доходностей (yield curve twist), т. е. когда требуемые доходности изменяются по-разному, ситуация может оказаться противоположной. В частности, если требуемые доходности облигаций Х, Y и Z уменьшаются на 75, 25 и 50 б. п. соответственно, то относительные изменения стоимостей портфелей А и В будут равны 2,662 и 3,287 %, т. е. относительный рост стоимости портфеля А окажется ниже относительного роста стоимости портфеля В.

Основные характеристики портфеля облигаций – средневзвешенная (или внутренняя) доходность, модифицированная дюрация и выпуклость – используются для сравнения портфеля облигаций с точки зрения их инвестиционного качества.

Однако эти характеристики не всегда дают возможность сделать правильный вывод.

Пример 1.44 [5]. Рассмотрим портфели А и В из предыдущего примера 1.43. Основные характеристики этих портфелей приведены в таблице:

Для сравнения портфелей А и В воспользуемся показателем, называемым годовой реализуемой доходностью за 6 месяцев.

В данном случае годовая реализуемая доходность за 6 месяцев портфелей А и В может быть найдена по формуле:

В таблице показаны разности годовых реализованных доходностей портфелей А и В (R_B – R_A) при различных сдвигах кривой доходностей:

Таким образом, инвестиционная эффективность не определяется основными характеристиками портфелей А и В, а зависит от того, какие изменения требуемых доходностей происходят на рынке.

1.18. Множества. Операции над множествами

Множество (set) – это совокупность некоторых объектов. Объекты, из которых состоит множество А, называют элементами этого множества.

Если а является элементом множества А, то пишут а ∈ А.

Задать множество можно, либо перечислив все его элементы, либо указав характеристическое свойство, которому должны удовлетворять все элементы этого множества.

Например, запись А = {a₁, a₂, a₃, a₄} означает, что множество А состоит из элементов a₁, a₂, a₃, a₄.

Множество В всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х² – 2х + 3 ≤ 0, можно записать следующим образом:

где R – множество всех действительных чисел.

Множество А называют подмножеством (subset) множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (рис. 1.13).

Если множество А является подмножеством множества В, то пишут А ⊂ В. Например, множество А = {1, 2, 3} является подмножеством множества В = {1, 2, 3, 4, 5}. Множество Z всех целых чисел является подмножеством множества R всех действительных чисел.

Разностью А\В двух множеств А и В называют множество всех элементов А, не попавших в множество В (рис. 1.14).

Если В ⊂ А, то разность А\В называют дополнением множества В до множества А. Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А\В = = {1, 2}.

Пересечением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∩ B, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 1.15).

Например, если А = {1, 2, 3}, а В = {1, 3, 4, 5}, то А ∩ В = {1, 3}.

Если множества А и В не содержат общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, и пишут A ∩ B = ∅ (∅ – символ пустого множества).

Аналогично можно определить пересечение трех, четырех и более множеств. В частности, множество является совокупностью всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А₁, А₂…., А_i…..

Объединением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∪ B, все элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1.16).

Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Точно так же определяется объединение трех, четырех и более множеств. В частности, множество – это совокупность всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А₁, А₂…., А_i…..

1.19. Вероятностное пространство

Пусть Ω – некоторое множество. В дальнейшем элементы множества Ω будем называть элементарными событиями, а само множество Ω – пространством элементарных событий.

Набор β подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй случайных событий при выполнении следующих трех условий:

Если пространство элементарных событий конечно, т. е. состоит из конечного числа элементарных событий, то в качестве σ-алгебры случайных событий обычно рассматривают набор всех подмножеств этого пространства.

Пример 1.45. Бросается игральная кость. Пространство элементарных событий состоит из 6 событий: выпадение любого целого числа от 1 до 6. Выпадение четного числа является случайным событием, так как состоит из трех элементарных событий: выпадение чисел 2, 4 или 6. Выпадение числа, меньшего 3, также является случайным событием.

Говорят, что на σ-алгебре случайных событий β определена вероятностная мера Р, если каждому случайному событию A ∈ β поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

Пример 1.46. Бросаются две одинаковые игральные кости. В данном случае элементарное событие характеризуется следующей парой чисел: числом, выпавшим на первой кости, и числом, выпавшим на второй кости, а пространство элементарных событий состоит из 36 событий:

1.20. Дискретные случайные величины

Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.

Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:

т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.17.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:

Пример 1.48. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:

Законы распределения вероятностей цены облигации (η) и годовой реализуемой доходности за 6 месяцев (τ) указаны в таблице:

Например, если ξ = 11,0 %, то

Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:

Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.

Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:

P_ij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение X_i, а случайная величина η – значение Y_j, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем

Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как

Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если

Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:

Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством

Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:

Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:

Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:

Ковариация и корреляция между случайными величинами ξ и η находятся следующим образом:

1.21. Непрерывные случайные величины

Случайная величина ξ называется [абсолютно] непрерывной (continuous random variable), если существует неотрицательная функция p_ξ(x), такая, что

где F_ξ (x) – функция распределения вероятностей случайной величины ξ.

Функция p_ξ(x), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function – PDF) случайной величины ξ.

Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.

1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х₁ и x₂ (x₁ < x₂), совпадает с заштрихованной площадью на рис. 1.19.

2. Если p_ξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины, то

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ξ принимает то или иное значение, всегда равна нулю, т. е. P{ξ = x} = 0.

4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины ξ могут быть найдены следующим образом:

где P_ξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Стандартное отклонение случайной величины определяется обычно как:

Если f(t) – некоторая непрерывная функция, а ξ – непрерывная случайная величина, то

Пример 1.50. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [a, b], если

Функцию распределения случайной величины ξ можно найти следующим образом:

Таким образом,

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ можно найти следующим образом:

Пример 1.51. Случайная величина ξ распределена показательно, если

Асимметрией (skewness) распределения вероятностей случайной величины ξ называется число

Если a(ξ) = 0, то плотность распределения вероятностей случайной величины ξ симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины (рис. 1.20).

При положительной (правосторонней) асимметрии распределения правая ветвь (tail) плотности распределения вероятностей случайной величины «длиннее» левой ветви. Соответственно, при отрицательной (левосторонней) асимметрии правая ветвь плотности распределения вероятностей случайной величины будет «короче» левой ветви (рис. 1.21 и 1.22).

Эксцессом (kurtosis) распределения вероятностей случайной величины ξ называется число

При одном и том же стандартном отклонении чем больше эксцесс, тем «тяжелее» ветви плотности распределения вероятностей случайной величины (рис. 1.23).

Распределение вероятностей с большим эксцессом называют распределением с «тяжелыми» ветвями (leptokurtic/fat-tailed distribution).

Медианой (median) распределения случайной величины ξ называется число Ме, удовлетворяющее условию:

Модой (mode) распределения случайной величины ξ называется любая точка локального максимума плотности распределения P_ξ(x) этой случайной величины.

Распределение с одной модой Мо называется унимодальным (unimodal).

Если даны две случайные величины ξ₁ и ξ₂, то можно рассмотреть двумерную случайную величину

Функция Pξ(x₁, x₂), удовлетворяющая равенству (1.54), называется плотностью совместного распределения случайных величин ξ₁ и ξ₂.

Все основные свойства числовых характеристик, рассмотренные нами для дискретных случайных величин, сохраняются и в непрерывном случае.

1.22. Важнейшие виды распределений случайных величин

1.22.1. Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина ξ имеет биномиальное распределение (binomial distribution) B(n, р), если она принимает значения: 0, 1, 2, …, n, причем

Свойства биноминального распределения

Пример 1.52. Рассмотрим портфель из 20 облигаций, выпущенных различными эмитентами с одним и тем же кредитным рейтингом. Предположим, что дефолты по облигациям независимы, а вероятность дефолта по любой облигации в течение одного года равна 10 %.

Обозначим через ξ число дефолтов по данному портфелю в течение одного года. Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение B(20, 0,1), следовательно, ожидаемое число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года составит:

Вероятность того, что в течение года произойдет два дефолта, находится следующим образом:

Вероятность, что в течение года произойдет 5 дефолтов, составит величину:

1.22.2. Распределение Пуассона

Случайная величина ξ, принимающая значения 0, 1, 2, …, k, …, имеет распределение Пуассона (Poisson's distribution) с параметром λ > 0, если

Свойства распределения Пуассона

Пример 1.53. Число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года имеет распределение Пуассона. Ожидаемое число дефолтов равно 8.

Вероятность того, что в течение года произойдет ровно два дефолта, можно найти по следующей формуле:

1.22.3. Нормальное распределение

Говорят, что случайная величина ξ распределена нормально (normal distribution), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24.

Основные свойства нормального распределения

1. Если случайная величина ξ распределена нормально с плотностью

2. Плотность нормально распределенной случайной величины симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины, т. е. асимметрия a(ξ) = 0.

В частности,

Эксцесс нормального распределения всегда равен 3.

3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, равна 68,3, 95,5 и 99,75 % соответственно.

Пример 1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.

Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:

4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина

распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.

В данном случае

Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал

Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Значит, y = z · S = 1,96 · 2 млн долл. = 3,92 млн долл.

Искомый доверительный интервал: (6,08 млн долл.; 13,92 млн долл.).

1.22.4. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение

Говорят, что положительная случайная величина ξ распределена логнормально (lognormal distribution), если ln ξ имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:

График плотности логнормального распределения приведен на рис. 1.25.

Свойства логнормального распределения

1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией (positively skewed), а при малых значениях S = σ(lnξ) близко к нормальному распределению.

2. Если случайная величина ξ имеет логнормальное распределение с параметрами а и S, то

Пример 1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.

3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.

1.22.5. Распределение х² (хи-квадрат)

Говорят, что случайная величина z имеет распределение х² (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.

Свойства распределения X²

Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:

Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:

Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96 % можно найти из условия

1.22.6. Распределение Стьюдента

Распределение вероятностей случайной величины

называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет стандартное нормальное распределение, а η – распределение х² с n степенями свободы.

Свойства распределения Стьюдента

1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то

Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число t_a(n), удовлетворяющее условию:

где α – заданная вероятность.

Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.

4. Если случайные величины ξ₁, ξ₂…., ξ_n взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, σ), то случайная величина

Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.

Так как

Согласно табл. 1.3, критическое значение распределения Стьюдента t_0,025(9) = 2, 262.

Следовательно,

Таким образом, с надежностью 95 % ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67 %.

1.22.7. Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения Г(α, γ) имеет следующий вид:

1.22.8. Бета-распределение

Плотность бета-распределения В(α, β) записывается в виде:

Если случайная величина ξ имеет бета-распределение В(α, β), то

1.22.9. Двумерное нормальное распределение

Плотность двумерного нормального распределения имеет следующий вид:

Свойства двумерного нормального распределения

1.23. Расчет волатильности финансовых показателей на основе исторических данных

Волатильность, или изменчивость (volatility), финансовых показателей играет очень важную роль в управлении финансовыми рисками.

Пусть Y_t – некоторый финансовый показатель (например, цена или доходность некоторого финансового инструмента), наблюдаемый в день t, t = 0, 1, 2, …, T. Положим

Случайная величина X_t представляет собой натуральный логарифм относительного изменения этого показателя за один день, выраженный в процентах. Тогда дневную волатильность данного показателя можно оценить следующим образом:

Иными словами, дневная волатильность принимается равной стандартному отклонению логарифма относительного изменения финансового показателя за один день.

Пример 1.60. В течение 11 последовательных рабочих дней биржи определялась доходность 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами. Расчет дневной волатильности доходности на основе этой информации приведен ниже.

Таким образом, дневная волатильность доходности 30-летних облигаций с нулевыми купонами оценивается в 0,70 %.

Если случайные величины X_t не коррелируют между собой, то, зная дневную волатильность доходности финансового инструмента, можно оценить волатильность доходности этого инструмента за данный период времени:

В частности, для того чтобы определить годовую волатильность, необходимо для каждого конкретного случая правильно определить число рабочих дней в году. Число рабочих дней в году может быть равным 250, 260 или 365.

Пример 1.61. В примере 1.60 была найдена дневная волатильность доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами: σдн = 0,70147.

Ниже указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году:

Предположим, что в данный момент времени доходность финансового инструмента равна r. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и σдн. Если логарифмы относительных изменений доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности через год к доходности г будет распределено также логнормально, но с параметрами (0, σгод). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами (ln r, σгод).

Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно считать, что доходность финансового инструмента через год распределена приблизительно нормально с параметрами r и rσгод.

Пример 1.62. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулевым купоном равна 8 %, а годовая волатильность этой доходности равна 15 %.

Можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08-0,15 = 0,012. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5 % доходность через год окажется между 0,08-2 • 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 • 0,012 = 0,104, т. е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40 %.

1.24. Элементы регрессионного анализа

Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайными величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость. Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между изменениями доходностей двух облигаций.

Рассмотрим две случайные величины ξ и η и предположим, что когда случайная величина ξ принимает значения X₁, X₂…., X_n, то случайная величина η принимает соответственно значения Y₁, Y₂…., Y_n.

Линейной регрессионной моделью называют уравнение следующего вида:

При построении линейной регрессионной модели коэффициенты а и b необходимо подобрать так, чтобы влияние случайной погрешности ξ на случайную величину η было как можно меньше.

Из уравнения (1.64) следует, в частности, что

Коэффициенты регрессии а и b чаще всего подбираются методом наименьших квадратов (least squares), который сводится к отысканию значений а и b так, чтобы достигалось наименьшее значение функции

Нетрудно проверить, что наименьшее значение функции (1.65) достигается при

При выборе коэффициентов регрессии указанным выше способом будут выполняться следующие соотношения:

Пример 1.63. Построение линейной регрессионной зависимости доходности среднесрочных корпоративных облигаций одного и того же кредитного рейтинга (η) от доходности 10-летних казначейских облигаций (ξ). Исходная информация и предварительные расчеты приведены в таблице ниже.

Коэффициенты регрессии находят следующим образом:

Уравнение регрессии в данном случае имеет вид:

Из соотношения (1.66) следует, что

Отношение суммы квадратов, объясняемой регрессией, к полной сумме квадратов называют коэффициентом детерминации и обозначают R². Таким образом,

Коэффициент детерминации всегда находится между 0 и 1, причем чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем выше качество регрессионной модели.

Пример 1.64. Оценим качество регрессионной модели, построенной в примере 1.63.

В данном случае коэффициент детерминации может быть найден следующим образом:

Так как коэффициент детерминации очень близок к единице, то качество регрессионной модели достаточно высокое.

Оценка коэффициентов регрессии получена нами в зависимости от выборки значений X₁, X₂…., X_n независимой случайной величины ξ и соответствующих им значений зависимой случайной величины η. Для другой выборки значений случайной величины ξ будут получены, вообще говоря, другие оценки коэффициентов регрессии и другая случайная погрешность. В связи с этим возникает задача построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Если предположить, что случайные погрешности не коррелируют между собой (т. е. отсутствует автокорреляция), то доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95 % строятся следующим образом:

Если случайная величина ξ принимает значение Х, то согласно линейной регрессионной модели:

а ожидаемое значение случайной величины η равно

При отсутствии автокорреляции[17] и гетероскедастичности[18] доверительный интервал для значения случайной величины η при заданном уровне надежности может быть найден в виде:

Пример 1.65. Инвестор считает, что через месяц доходность 10-летних казначейских облигаций окажется равной 8 %. Тогда согласно регрессионной модели, построенной в примере 1.63, ожидаемое значение доходности корпоративных облигаций будет равно

Для определения доверительного интервала для доходности корпоративных облигаций с надежностью 95 % найдем:

Следовательно, искомый доверительный интервал: (8,87 %; 8,95 %).

1.25. Метод Монте-Карло

Случайная величина γ, принимающая 10 значений: 0, 1, 2, 3, …, 9 с одинаковой вероятностью, называется случайной цифрой.

Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их появления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр. Например, таблица из 150 случайных цифр может иметь следующий вид (цифры разбиты на группы для удобства чтения таблицы):

Случайным числом (random number) называется случайная величина

Иными словами, случайное число – это случайная величина, равномерно распределенная на промежутке [0, 1).

Если задана таблица случайных цифр, то можно строить различные случайные числа, как, например:

В настоящее время существуют специальные компьютерные программы для построения случайных чисел в любом количестве. Такие программы называют генераторами случайных чисел.

Рассмотрим теперь дискретную случайную величину ξ, распределение которой имеет вид:

Равенство (1.68) позволяет каждому случайному числу приписать определенное значение случайной величине ξ. Такой процесс приписывания значений случайной величине ξ часто называют разыгрыванием этой случайной величины.

Пример 1.66. Случайная величина ξ принимает значения 1 и 2 с вероятностью 0,6 и 0,4 соответственно. В данном случае

Значения этой случайной величины, приписываемые случайным числом из последовательности (1.67), приведены ниже:

Частоты появления 1 и 2 соответственно равны и близки к их вероятностям. Чтобы получить лучшую модель, необходимо рассмотреть большее количество случайных чисел.

Предположим, что даны две случайные величины ξ и η, совместное распределение которых имеет вид:

Равенство (1.69) позволяет каждому случайному числу приписать определенную пару значений случайных величин ξ и η. Такой процесс приписывания значений паре случайных величин (ξ, η) называют разыгрыванием этой пары.

Если случайные величины ξ и η независимы, то для разыгрывания пары (ξ, η) достаточно разыграть каждую случайную величину в отдельности. Для разыгрывания непрерывной случайной величины можно вначале найти дискретную случайную величину, близкую к данной случайной величине, а затем разыграть эту дискретную случайную величину.

Метод Монте-Карло позволяет численно находить различные вероятностные характеристики случайной величины η, зависящей от большого числа других случайных величин ξ₁, ξ₂…., ξ_n. Этот метод сводится к следующему: разыгрывается последовательность случайных величин (ξ₁, ξ₂…., ξ_n), для каждого розыгрыша определяется соответствующее значение случайной величины η, а по найденным значениям строится эмпирическое распределение вероятностей этой случайной величины.

Пример 1.67 [5]. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной казначейской облигации и двух корпоративных облигаций одного и того же кредитного рейтинга. Основные параметры портфеля указаны в таблице:

Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет определяться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских облигаций через 6 месяцев и спредом между доходностями корпоративных и казначейских облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и следующей информацией:

Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло.

Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0,12 для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8 %, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет – 9 и 9 %.

Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев определяются следующим образом:

Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905 %, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97 %.

Разделив отрезок [-3,905 %; 24,97 %] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.

1.26. Случайные процессы и их основные характеристики

Дано основное вероятное пространство

где Ω – пространство элементарных событий;

β – σ-алгебра случайных событий;

Р – вероятностная мера.

Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в дальнейшем будем считать моментами времени.

Функция ξ(w, t) двух переменных w ∈ Ω и t ∈ V называется случайным процессом (stochastic process), определенным на множестве V, если для любых t ∈ V и x ∈ R (R – множество всех действительных чисел) множество

т. е. является случайным событием.

Из условия (1.70) следует, что если на множестве V определен случайный процесс ξ(w, t), то каждому моменту времени t ∈ V поставлена в соответствие случайная величина ξ_t(w) = ξ(w, t). Случайная величина ξ_t(w) называется сечением случайного процесса в момент времени t.

Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный процесс, достаточно каждому моменту времени t ∈ V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ξ_t(w) – сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить как ξ_t(w) или просто ξ_t.

Если на множестве V задан случайный процесс ξ(w, t), то при каждом фиксированном элементарном событии w ∈ Ω мы имеем функцию одного переменного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траекторией, или реализацией, случайного процесса ξ(w, t).

Пример 1.68. Рассмотрим случайный процесс

Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 является случайная величина 2η(w) + 1. Траектории случайного процесса ξ(w, t) изображены на рис. 1.27.

Пример 1.69. Случайный процесс на [0, +∞) определен следующим образом:

Сечением случайного процесса ξ(w, t) в момент времени t является случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной P{η(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной P{η(w) ≤ t}.

Траектория случайного процесса ξ(w, t) имеет вид, изображенный на рис. 1.28. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математическое ожидание и дисперсия.

Пример 1.70. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса из примера 1.68.

Пример 1.71. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.69, считая, что случайная величина η(w) распределена показательно с плотностью

Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, вообще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.

1.27. Важнейшие виды случайных процессов

1.27.1. Случайное блуждание

Сечением случайного блуждания в момент времени t₀ + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1.29 (точками выделена одна из траекторий).

Случайное блуждание α (w, t) обладает независимыми приращениями, причем

1.27.2. Биномиальная модель

Случайный процесс β(w, t), определенный на множестве

называется биномиальной моделью (binominal model), если

Сечением биномиальной модели в момент времени t₀ + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории биноминальной модели изображены на рис. 1.30.

Если случайный процесс β (w, t) является биномиальной моделью с параметрами u, d, p, то

Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независимыми. Однако случайный процесс ln β (w, t) имеет независимые приращения.

Случайное блуждание и биноминальная модель относятся к случайным процессам с дискретным временем (discrete time process). Важнейшим примером случайного процесса с непрерывным временем (continuous time process) является винеровский случайный процесс.

1.27.3. Винеровский случайный процесс

Случайный процесс w(w, t), определенный на промежутке [t₀, +∞), называется винеровским случайным процессом (Wienerprocess), если выполняются следующие условия:

Для моделирования траекторий винеровского случайного процесса w (w, t) на заданном промежутке времени [t₀, Т] можно применить метод Монте-Карло.

Сам винеровский случайный процесс редко используется для моделирования финансовых показателей, так как имеет постоянное математическое ожидание. Однако на основе винеровского процесса строятся почти все случайные процессы, используемые в настоящее время для моделирования различных финансовых показателей.

1.28. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях

Стохастическим дифференциальным уравнением (stochastic differential equation) называется уравнение вида

Решением стохастического дифференциального уравнения (1.71) на промежутке [t, Т] называется случайный процесс х (w, τ), удовлетворяющий следующим условиям:

Любое решение стохастического дифференциального уравнения (1.71), удовлетворяющее некоторому начальному условию

В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению:

Геометрическое броуновское движение, определяемое условиями (1.74) и (1.75), можно найти в явном виде:

Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Такое моделирование оказывается достаточно точным, например, в случае обыкновенных акций.

Пример 1.72. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40 %. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц.

Эволюцию цены В_τ облигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погашения облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это означает, что и зависимость от времени должна иметь вид, изображенный на рис. 1.31.

Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как растет во времени линейно.

В общем случае найти решение стохастического дифференциального уравнения (1.71) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траекторий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло.

Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т], этот отрезок разбивается на n равных частей (n должно быть большим), а затем разыгрывается случайная величина ξ, распределенная нормально с параметрами Тогда для последовательности случайных чисел δ₁, δ₂…., δ_n будет построена соответствующая последовательность значений случайной величины ξ, а траектория случайного процесса Ито будет определяться точками:

Указанным выше способом можно построить сколь угодно много траекторий случайного процесса Ито.

1.29. Основы теории экстремальных значений

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: η₁, η₂…., η_n…. с функцией распределения F(x).

Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {M_n}, где M_n = max {η₁, η₂…., η_n….}, n = 1, 2, 3…..

Функция распределения случайной величины M_n определяется следующим образом:

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин η₁, η₂…., η_n…..

Если случайные величины η₁, η₂, …, η_n независимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины M_n = max{η₁, η₂, …, η_n} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ξ, μ и σ).

Предположим, что случайная величина M_n = max{η₁, η₂, …, η_n} имеет распределение Фреше, т. е.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Плотность распределения случайной величины M_n имеет следующий вид (рис. 1.32).

2. Математическое ожидание и дисперсии случайной величины M_n можно найти по формулам:

Параметры ξ, μ, σ можно подобрать на основе статистических данных.

Для измерений экстремальных событий может быть использовано распределение Парето (Pareto distribution), которое определяется функцией:

Для большого класса случайных величин η при достаточно большом пороговом значении u справедливо равенство:

Соотношение (1.85) позволяет оценивать «хвосты» распределений на основе статистических данных.

Литература

1. Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Дуглас Л. Г. Анализ рисков операций с облигациями на рынке ценных бумаг. – М.: Филинъ, 1998.

4. Количественные методы финансового анализа / Под. ред. С. Дж. Брауна, М. П. Крицмена. – М.: ИНФРА-М, 1996.

5. Fabozzi F. J. Fixed income mathematics. 3rd ed. – N.Y.: McGraw-Hill, 1997.

6. Fabozzi F. J. (ed.) Advances in fixed income valuation, modeling and risk management. – Pennsylvania: Associates New Hope, 1997.