4. Модели рядов динамики
Ряд динамики составлен из трёх компонентов, которые мы только что рассмотрели. Теперь остаётся вопрос: как именно соединить эти части в одну модель?
Обычно рассматривают два вида моделей динамики.
Вариант первый: сложить.
Вариант второй: перемножить.
Мы обсудим оба типа моделей. А потом ещё и сгенерируем данные обоих типов.
4.1. Аддитивная модель
Сложение компонентов даёт нам АДДИТИВНУЮ МОДЕЛЬ:
y = T + S + E.
Естественно, это сумма для каждого момента времени. То есть каждый член уравнения зависит от времени и меняется со временем:
y (t) = T (t) + S (t) + E (t).
В дальнейшем мы не будем постоянно писать, что все компоненты зависят от времени. Но это подразумевается.
Слово АДДИТИВНАЯ означает «сложение», от английского add – «складывать».
Задание. Дайте определение слову АДДИТИВНАЯ.
Рассмотрим, как же происходит сложение компонентов (рис. 4.1).
На верхнем графике изображён тренд в виде прямой линии, направленной вверх. Это растущий тренд.
На среднем графике показаны сезонные колебания ВОКРУГ НУЛЯ. Например, это могут быть колебания от —20 до +20. То есть «плюс-минус двадцать рублей».
Теперь будем складывать эти два графика и построим нижний график: T + S. На графике колебаний есть точки, где линия S проходит через ноль: S = 0. Если к любому значению Т прибавить ноль, мы получаем то же самое значение Т. Это значит, что в этих точках мы окажемся на линии тренда.
Когда S положительно, линия S находится выше горизонтальной оси, и мы оказываемся выше линии тренда. Когда S отрицательно, мы будем ниже линии тренда. Так получаются колебания с постоянной амплитудой вокруг линии тренда. Размах этих колебаний соответствует амплитуде сезонных колебаний S. Например, «сто плюс-минус двадцать рублей» или «тысяча плюс-минус двадцать рублей».
Рис. 4.1. Тренд плюс сезонность
Нам предстоит делать много зарисовок по ходу выполнения работы. Технология вставки ручных зарисовок подробно описана в первой работе [1]. Можете ещё раз открыть это пособие и освежить в памяти материал.
Задание. Сделайте зарисовку рис. 4.1 и вставьте в отчёт.
4.2. Мультипликативная модель
Произведение компонентов даёт нам МУЛЬТИПЛИКАТИВНУЮ МОДЕЛЬ:
y = T * S * E.
Как и в предыдущем случае, каждый член уравнения является функцией времени:
y (t) = T (t) * S (t) * E (t).
Слово МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ означает «умножение», от английского multiply – «умножать».
Можно умножать числа. Можно почувствовать, как происходит умножение на графике. Буквально увидеть умножение. Если вы его освоите, то в дальнейшем сможете легко узнать просто по внешнему виду.
Задание. Дайте определение слову МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ.
Рассмотрим, как же происходит умножение компонентов (рис. 4.2).
На верхнем графике изображён растущий тренд – как и в предыдущем примере.
На среднем графике показаны сезонные колебания. Но теперь это колебания ВОКРУГ ЕДИНИЦЫ. Например, это могут быть колебания от 0,8 до 1,2. То есть плюс-минус 20% от единицы. Здесь колебания будут В ПРОЦЕНТАХ, а не в рублях!
Перемножим эти два графика и построим нижний график:
T * S.
На графике колебаний есть точки, где S проходит через единицу: S = 1. Если любое значение Т умножить на единицу, получим то же самое значение Т. Это значит, что в этих точках мы окажемся на линии тренда.
Когда S больше единицы, после умножения мы окажемся выше линии тренда. Когда S меньше единицы, мы будем ниже линии тренда. Получаем колебания вокруг линии тренда. Но теперь амплитуда колебаний будет изменяться вместе с трендом. Например, «плюс-минус двадцать процентов». Это «плюс-минус 200 рублей» вокруг значения 1000. А вокруг значения 2000 уже получим колебания «плюс-минус 400 рублей».
Рис. 4.2. Тренд умножить на сезонность
Задание. Сделайте зарисовку рис. 4.2 и вставьте в отчёт.