Перестановки с повторением

– Пусть у тебя есть два одинаковых медвежонка.

– Но у меня нет двух одинаковых медвежонка, – возразила Маша.

– Хорошо, – согласился папа. – Тогда возьмем два зеленых карандаша и один красный.



Карандашей всего 3, значит, число перестановок равно 6. Но нет разницы, если поменять зеленые карандаши местами. Мы получим тот же самый вариант. Поэтому число перестановок с повторением будет всего 3:



– То есть, – предположила Маша, – если есть одинаковые элементы, то перестановок будет меньше.

– Да. Пусть множество состоит из n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т. д. Всего элементов n1+n2+…+nk=n. Тогда число перестановок с повторением равно.



– Какая сложная формула! – воскликнула Маша.

– Нисколько, – возразил папа. – И ты сама сейчас в этом убедишься. Пусть у нас есть карандаши. Два красных, один зеленый и один синий. То есть n1=2, n2=1, n3=1. Всего карандашей n1+n2+n3=2+1+1=4. Следовательно, число перестановок с повторением равно.




– Хорошо, – согласилась Маша. – А если у меня есть карточки с буквами из которых составляют слова? Буквы же в словах могут повторяться.

– И сколько ты хочешь взять карточек?

– Сейчас, – Маша открыла ящик стола и вытащила наружу карточки с буками. – Вот. Это у меня ещё с первого класса осталось.

– Давай посмотрим, – папа разложил на столе карточки. – У нас есть три буквы А, две буквы У и две буквы М.



– Всего семь, – подсказала Маша.

– Воспользуемся формулой для перестановок с повторением.. Значит, существует 210 вариантов перестановок.



– Так много? – удивилась Маша.

– Так много, – подтвердил папа. – А если у нас есть имеются другие наборы элементов, то и число перестановок будет другим.

– А можно я теперь попробую сама?

– Конечно. А что мы будем считать?

– У меня есть цветные скрепки.



Три зеленых, три синих, три желтых и две красных. Всего 11 скрепок. Значит, число перестановок будет равно.



Вот так число! Это сколько же времени уйдет на то, чтобы переложить все скрепки?

– Перекладывать скрепки мы не будем, – возразил папа. – А ты мы на это дело потратим все выходные. А тебе еще уроки учить нужно. Да и у меня есть дела.

– Ну, папа! – заныла Маша. – Давай еще что-нибудь посчитаем!

– В другой раз, – ответил папа. – Тем более что в комбинаторике изучаются не только перестановки. А это тебе задачки для самостоятельного решения: