4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.
Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х2 + у2 = R2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:
(х – а)2 + (у – b)2 = R2.
Чтобы уравнение Ах2 + Вх + Ау2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х2 и у2 были равны, чтобы В2 + С2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).
Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах2 + Вх + Ау2 + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R2 = (В2 + С2 – 4АD) / 4A2.
Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).
Рис. 3
Прямая АА1 называется осью сжатия, отрезок АА1 = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А1, В, В1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.
Каноническое уравнение эллипса: x2 / a2 + y2 / b2 = 1.
Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же значение 2а (F1M + FM = 2a) (рис. 4).
Рис. 4
Точки F и F1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF1 – фокусным расстоянием, обозначается FF1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k2 = 1 – ε2.
Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F1M – FM| = 2a. Точки F, F1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.
Каноническое уравнение гиперболы: х2 / а2 + у2 / (а2 – с2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b2 = c2 – a2).
Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх.
Рис. 5