Формальная логика, несмотря на все радикальные и эмоциональные нападки, которым она подвергается в последнее время с самых разных сторон, остается и, по-видимому, будет оставаться наиболее часто преподаваемым университетским курсом как в нашей стране, так и за рубежом. Не стоит удивляться тому, что наиболее серьезные обвинения в адрес формальной логики, т. е. те, которые направлены против теории силлогизма, существовали еще во времена Аристотеля и были ему хорошо известны. Однако, будучи достаточно защищенной от внешних атак, сфера логики страдает от немалой путаницы изнутри. Несмотря на то что содержание практически всех книг по логике (даже в том, что касается приводимых иллюстраций) следует за стандартом аристотелевского «Органона» – термины, суждения, силлогизмы и связанные формы умозаключения, научный метод, вероятность и ошибки, – тем не менее, существует множество разногласий относительно того, что именно изучает логика. Различные школы логики, такие как традиционная, лингвистическая, психологическая, эпистемологическая и математическая, используют разные языки, и представители каждой из них считают, что сторонники других подходов на самом деле вообще не имеют дела с логикой.
Пожалуй, нет более неблагодарной задачи, которая вызвала бы больше возмущений от всех направлений, чем попытка представить подход, который был бы срединным относительно всех враждебных друг другу точек зрения. Более того, в сфере интеллектуальных дисциплин традиционно существует недоверие к подобного рода миротворческим проектам, поскольку в них позиции, обладающие, по крайней мере, определенной ясностью, заменяются неясными и противоречивыми смесями. Но при этом нет и более значимой задачи, чем эта, особенно для новичка, который пытается согласовать и дополнить утверждения борющихся сторон, отказываясь при этом пожертвовать ясностью и строгостью мышления.
Цель данного текста – упорядочить в той мере, в какой это возможно с помощью пропедевтической книги, все переплетения языков относительно вопроса о предмете логики. Разрешение конфликтов между различными школами предлагается в самом отборе излагаемого материала и в способе его подачи, а не в обширной полемике с каким-либо из существующих направлений. Данная книга была написана, исходя из убеждения о том, что логика является автономной наукой, изучающей хоть и формальные, но при этом объективные условия обоснованного умозаключения. В то же самое время авторы этого учебника считают, что скучность, которая зачастую приписывается изучению логики (что в ряде случаев справедливо), в большинстве случаев происходит из тех лишенных воображения способов, с помощью которых преподается логика или используется не по назначению. В предлагаемом тексте осуществляется попытка совместить фундаментальное учение логики с фундаментальными методами педагогики, а также предоставить достаточно материала для иллюстрации той роли, которую логика играет в любой сфере мышления. Во время написания данной книги идеалом, достигнуть которого стремились авторы, было сочетание реалистического формализма Аристотеля, научной проницательности Пирса, педагогической последовательности Дьюи и математической строгости Рассела.
Независимо от успешности воплощения этого идеала в данной книге, в самом этом воплощении содержится и некоторое позитивное учение, представленное таким образом, чтобы учесть хотя бы отчасти существующие дополнительные подходы к логике.
1. Авторы этого текста разделяют традиционное видение логики как науки об обоснованном умозаключении, вопреки всем попыткам смешать логику с психологией, в которой под термином «логика» понимается систематическое исследование работы сознания. Логика, как наука о значимости оснований в каких бы то ни было областях, не может отождествляться с конкретной наукой психологией, ибо такая конкретная дисциплина может устанавливать те или иные результаты, прибегая к тем же критериям обоснованности, которые используются и в других областях науки. Ясно также и то, что вопросы обоснованности являются вопросами не о том, каким образом мы мыслим в той или иной ситуации, а о том, согласуется или не согласуется то, что мы утверждаем, с определенными объективными фактами.
2. С другой стороны, авторы не обошли вниманием педагогические аспекты психологической логики. Мы стремились представлять материал так, чтобы обсуждение новых тем вытекало из того знания, которым изначально владеет читатель. Поэтому мы стремились отойти от синтетического метода представления материала, т. е. метода, согласно которому начинать следует с высшей степени абстрактных элементов, из которых впоследствии осуществлять построение излагаемой научной дисциплины. Вместо этого мы шли путем, который казался нам в психологическом плане более подходящим. Для обсуждения излагаемых тем мы использовали примеры текстов, которые, как нам казалось, должны быть знакомы учащимся университетов, и, опираясь на них, постепенно проявляли формальные элементы как абстрактные этапы, конституирующие область исследования. Мы надеемся, что таким образом нам удалось преодолеть ряд трудностей, с которыми сталкивается студент, начинающий знакомство с логикой, а также помочь ему усмотреть ту важную роль, которую играет логика во всех сферах деятельности людей.
3. Пытаясь представить в данной книге все значимые достижения символической, или математической, логики для тех, кто ранее не имел знакомства с этим предметом, мы не стремились развивать в студентах технические навыки манипулирования символами ради самих этих навыков. Мы считаем, что, несмотря на всю ценность такой техники, она скорее должна быть отнесена исключительно к области математики, развиваемой как органон науки в целом, а не к вводной книге по логике. Точно так же мы не разделяем той неприязни к аристотелевской логике, которая распространена среди некоторых пылких исследователей новой логики. В данной книге мы осуждаем ограниченность, свойственную традиционному подходу к логике. Однако при этом мы считаем, что достижения в точной современной логике являются расширением и исправлением аристотелевского учения. Именно поэтому мы уделили достаточно внимания и традиционным подходам, которыми можно было бы пренебречь, если бы перед нами стояла задача систематического представления нашего нынешнего знания о логике. Мы считаем, что обсуждение и исправление ограничений, присущих традиционному подходу, содержит много преимуществ педагогического характера и позволяет лучше прояснить нашу окончательную мысль.
4. Мы не считаем, что существует какая-либо неаристотелевская логика в том смысле, в каком существует неевклидова геометрия, т. е. логическая система, в которой утверждения, противоположные аристотелевским принципам противоречия и исключенного третьего, считаются истинными и с их помощью строятся обоснованные умозаключения. Появившиеся в последнее время так называемые альтернативные системы логики являются лишь другими системами записи или символизации одних и тех же логических фактов. Мы не раз прибегали к примерам из истории естественных наук для иллюстрации логических принципов именно потому, что логическая структура этих наук с очевидностью не сводится к представляющей их лингвистической структуре. В связи с этим мы открыто указывали на метафизическую значимость принципов логики и подчеркивали то, что сама по себе структура языка зачастую является ключом к чему-то отличному от лингвистических фактов. Придерживаясь позиции о том, что логика, как автономная дисциплина, должна быть формальной, мы утверждали, что это не означает того, что ее принципы лишены значимого содержания; наоборот, эти принципы по своей природе являются применимыми во всех областях потому, что они связаны с наиболее общими онтологическими характеристиками. Мы считаем, что категория объективной возможности представляет существенную важность для обсуждения логики.
Именно поэтому мы рассматриваем историю логики как историю тех вкладов, которые сделали различные школы в развитие общей дисциплины. Такое стремление предоставить студенту либеральный, а не узкий взгляд на логику может сделать нашу конечную точку зрения несколько эклектичной. Тем не менее, в том, что касается проведения фундаментальных различий, мы старались занять определенную и ясную позицию. Флоренс Найтингейл изменила современные лазареты с помощью девиза: что бы ни делали госпитали, они не должны ни в коем случае распространять болезни. Сходным образом логика не должна инфицировать студентов заблуждениями и путаницей в отношении основополагающей природы обоснованного, или научного, мышления.
Работающие с этой книгой преподаватели будут уделять большее внимание разным ее частям. Не все, что содержится в ней, можно преподать в рамках семестрового курса. Данный учебник содержит достаточно информации, чтобы представлять интерес для студентов на протяжении целого учебного года. Если говорить о семестровом курсе, то авторы этой книги убедились, что наилучшие результаты достигаются при полном изложении содержания книги II с добавлением глав III, IV и VIII из книги I. Те, кто не интересуется математикой, может пропустить главу VII. Книги являются инструментами, которые мудрые люди используют для достижения собственных целей. Один из авторов этой книги, читавший курс по элементарной логике на протяжении двадцати лет, как правило, излагал содержание книги II (Прикладная логика и научный метод), перед тем как преподавать формальную логику, изложенную в книге I. Следует сказать, что некоторые темы из книги II предполагают ознакомление с книгой I. Однако опыт показывает, что связанные с этим трудности легко преодолимы. Авторы особенно надеются на то, что эта книга окажется полезной для понимания научного метода как для простых читателей, так и для студентов, изучающих естественные и социальные науки.
М. Р. К.
Э.Н.
Продолжающийся спрос на эту книгу, которая уже пережила три издания, позволил нам исправить некоторые ошибки и переформулировать некоторые утверждения для достижения большей ясности.
7 января 1936 г.
М. Р. К.
Э.Н.
Подавляющее большинство наших ежедневных дел мы проделываем, не задумываясь, и лишь изредка задаемся вопросом об истинной природе того, что по привычке считаем истинным. Однако при этом мы не можем всегда пребывать в состоянии уверенной убежденности в истинности собственных верований, поскольку все, к чему мы привыкли, зачастую может быть поставлено под вопрос либо неожиданными изменениями в окружающем мире, либо же вследствие нашего собственного любопытства, либо пытливостью других людей.
Предположим, что наш читатель сидит поздно вечером за столом. В комнате темнеет, и ему становится сложно читать. В обычной ситуации он бы включил находящийся поблизости источник света и продолжил работу. Но предположим, что в этот раз ему вдруг является тень Сократа, как раз в тот момент, когда он коснулся выключателя, и спрашивает, что он делает. У нашего читателя крепкие нервы, поэтому он быстро оправляется от удивления и отвечает: «Я намерен включить свет, а это выключатель. Дело в том, что со времен твоей смерти…» «Да, да, – перебивает его тень, – я знаком с современной теорией света и способами его использования. Тебе не стоит тратить время на то, чтобы объяснять мне это. Но мне бы хотелось, чтобы ты мне ответил, откуда ты знаешь, что указываешь именно на электрический выключатель». К этому моменту спокойствие читателя может уже быть существенно поколеблено, и после молчаливого смущения он может ответить с натужным удивлением и резкостью: «Разве ты сам не видишь, Сократ?» – и включит свет.
В этом выдуманном диалоге для нас, прежде всего, интересно то, что сомнение, пусть даже самое малое, может зародиться в голове читателя относительно такого суждения, как «это – электрический выключатель», которое ранее казалось ему бесспорным. Интересно также, что это самое сомнение может быть рассеяно утверждением о том, что для получения достаточных оснований для истинности данного суждения достаточно просто видеть выключатель. Любые же дополнительные основания можно считать избыточными. Есть и другие суждения, для которых сложно отыскать какое-либо основание кроме непосредственного восприятия с помощью зрения, слуха, прикосновения или обоняния. «На моих часах половина двенадцатого», «мой лоб кажется горячим», «вдыхаемый мной аромат розы очень приятен», «мне неудобно в этих ботинках», «этот шум – громкий». Истинность суждений данного типа не является для нас проблематичной, и мы бы рассердились, если бы кто-то начал требовать от нас причин, почему мы считаем их истинными.
Однако существуют суждения, истинность которых не представляется столь очевидной. Если тень Сократа настигнет читателя при входе в здание страховой компании и спросит, что именно тот намеревается сделать, то читатель, по всей видимости, ответит следующее: «Я намереваюсь приобрести страховой полис». Если тень поинтересуется причинами такого поступка, то, возможно, в качестве ответа услышит: «Однажды я умру, и мне хотелось бы обеспечить своих близких». Если же Сократ спросит, почему читатель считает суждение «однажды я умру» истинным, то тот уже не сможет ответить ему словами «разве ты сам не видишь?». Дело в том, что мы не способны в буквальном смысле увидеть свою будущую смерть. Однако после некоторого раздумья можно ответить следующее: «О, Сократ, все живые существа однажды умирают, а поскольку я также являюсь живым существом, то я тоже однажды умру».
Таким образом, существуют суждения, которые мы считаем истинными, поскольку можем отыскать другие суждения, в истинности которых не сомневаемся и которые, как нам кажется, служат основанием для истинности исходного суждения. «Расстояние до Солнца составляет приблизительно сто пятьдесят миллионов километров», «Цезарь перешел Рубикон», «в следующем году в Северной Америке будет затмение Солнца», «сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов». В истинность таких суждений мы верим в силу того, что либо мы сами, либо кто-то другой может представить другие суждения, подтверждающие их истинность.
Не всегда можно четко различить суждения, в истинность которых мы верим, не имея каких-либо оснований, кроме непосредственного наблюдения или осознания, и суждения, в которые мы верим, считая, что можно отыскать другие суждения, которые послужат основаниями их истинности. Иногда мы верим в истинность некоего суждения, отчасти в силу непосредственного наблюдения, а отчасти потому, что можем найти подтверждающие суждения. Если мы с определенной высоты одновременно бросаем два камня разного веса, то считаем суждение «оба камня упадут на землю одновременно» истинным не только потому, что мы видим, как это происходит, но еще и потому, что мы знаем причину, почему происходит так, а не иначе. Кроме этого, есть множество суждений, являющихся ложными, несмотря на то, что их истинность кажется нам очевидной. Мы зачастую видим то, что ожидаем увидеть, а не то, что происходит в действительности. Прогресс в знании очень часто становился следствием нашего усомнения в истинности суждений, которые до этого считались самоочевидными. Критические исследования человеческих верований и убеждений демонстрируют, как много интерпретации присутствует в том, что на первый взгляд казалось «непосредственным знанием». Для наших целей вовсе не нужно отвечать на вопрос о том, существуют ли суждения, истинность которых может быть познана «непосредственно», и если да, то что это за суждения.
Все, что нам требуется на данном этапе, – это признать общую необходимость наличия оснований для того, чтобы во что-то верить или в чем-то сомневаться. Чем бы мы ни занимались, будь то научное или историческое исследование, судебная тяжба или принятие решения в любой практической ситуации, нам всегда приходится приводить доводы в поддержку тех или иных суждений. Некоторые из них, даже если они – несомненно истинны, мы зачастую рассматриваем как неуместные и совсем не представляющие нужных оснований. Иные же суждения мы расцениваем как решающие в пользу определенной позиции и убедительно доказывающие ее истинность. Помимо этих двух крайних ситуаций мы также сталкиваемся с ситуациями, где имеет место некоторое основание или обстоятельство, подтверждающее определенный вывод, но при этом недостаточное, чтобы исключить все остальные возможные выводы. В большинстве случаев нам достаточно большего количества оснований в поддержку некоторого суждения, чем против него. Однако иногда, например в том случае, если мы выступаем в качестве присяжных в суде и признаем подсудимого виновным в совершении преступления, нам нужно, чтобы не осталось никаких обоснованных сомнений в его виновности. Иными словами, не должно остаться никаких сомнений в том, что всякий разумный человек в аналогичной ситуации вынес бы то же самое решение.
Можно сказать, что логика исследует вопрос об адекватности и доказательной силе различных видов оснований. Однако традиционно она имеет дело по преимуществу с исследованием того, из чего состоит доказательство, т. е. с полным и неопровержимым основанием. Ибо, как мы увидим ниже, последнее требуется для определения степени доказательности частичных оснований и нахождения выводов, которые можно считать более или менее вероятными.
Рассмотрим суждение «В городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове». Обозначим его как q. Каким образом может быть установлена его истинность? Наиболее очевидным способом будет отыскание двух людей, обладающих одинаковым количеством волос. Однако исследовать головы шестимиллионного населения – занятие крайне трудоемкое и невыполнимое на практике. Но мы можем показать, что суждение q следует или с необходимостью выводится из других суждений, истинность которых установить гораздо проще. В таком случае мы сможем утверждать истинность суждения q в силу того, что оно является следствием других суждений, а также потому, что истинность этих суждений, выступающих в качестве оснований, установлена. Попробуем применить этот метод.
Предположим, что путем пересчета установлено, что в Нью-Йорке находится пять тысяч парикмахерских. Будет ли суждение «в Нью-Йорке существует пять тысяч парикмахерских» служить удовлетворительным основанием для q? Читатель, без сомнения, ответит: «Абсурд! Какое отношение имеет число парикмахерских к существованию людей с одинаковым количеством волос на голове?» Таким образом он выразит суждение (опирающееся на полученное ранее знание), что число парикмахерских вообще не является основанием для равенства в количестве волос. Не все суждения, даже если они истинны, уместны для установления истинности интересующего нас суждения.
Теперь рассмотрим суждение «число жителей Нью-Йорка больше, чем число волос на голове любого из них». Обозначим это суждение как р. Является ли истинность р достаточной для установления истинности q? У читателя вполне может возникнуть желание отбросить р как неуместное точно так же, как он отбросил информацию о количестве парикмахерских. Однако это было бы ошибкой. Можно показать, что если р истинно, то q тоже должно быть истинным. Для целей наглядности не будем оперировать с большими цифрами и предположим, что ни один житель Нью-Йорка не имеет более пятидесяти волос на голове и что в Нью-Йорке проживает всего пятьдесят один человек, и у всех них есть волосы. Припишем каждому из жителей число, соответствующее количеству волос на его голове. Тогда у первого жителя будет один волос, у второго – два, и так до тех пор, пока мы не достигнем пятидесятого жителя, у которого будет не более пятидесяти волос. Остается один житель, а поскольку мы предположили, что ни один житель не имеет более пятидесяти волос, то количество волос на голове у этого последнего будет с необходимостью равняться количеству волос на голове у одного из уже перечисленных жителей. Несложно заметить, что данное доказательство имеет совершенно общий характер и не зависит от числа пятьдесят, которое мы выбрали в качестве максимального для количества волос. Таким образом, мы можем заключить, что следствием суждения р («число жителей Нью-Йорка больше, чем число волос на голове любого из них») является суждение q («в городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове»). Было показано, что между этими двумя суждениями существует отношение такое, что если первое суждение (которое называется основанием, или посылкой) истинно, то невозможно, чтобы второе суждение (именуемое заключением, или тем, что должно быть доказано) было ложным.
Примеры неопровержимых оснований можно приводить бесконечно. Так, можно доказать, что пропавший человек мертв, показав, что он отправился в плавание на судне, уничтоженном в море взрывом, при котором никто не мог спастись. Сходным образом мы можем доказать, что наш сосед мистер Браун не имеет права голосовать, показав, что он не достиг двадцати одного года, а также закон, запрещающий голосовать лицам моложе этого возраста.
Для такой области, как математика, доказательство, несомненно, является неотъемлемым. Однако в данном случае следует провести различие между прикладной и чистой математикой. В прикладной математике, как и в вышеприведенных примерах, мы предполагаем, что определенные суждения, например законы механики, являются истинными; и мы доказываем истину других суждений, показывая, что они с необходимостью следуют или же математически выводимы из суждений, истинность которых мы заранее предполагаем. В чистой математике, с другой стороны, мы демонстрируем лишь то, что наши исходные допущения с необходимостью влекут или имеют следствием теоремы, которые выводимы из этих допущений. Мы не задаемся вопросом о том, являются ли наши заключения, равно как и наши аксиомы или постулаты, в действительности истинными.
Для удобства можно было бы использовать слово «доказательство» для операций из области прикладной математики (в которых мы заключаем, что некоторое суждение является истинным), а такими терминами, как «вывод» или «демонстрация», будем обозначать операцию, которая только устанавливает импликацию, или необходимую связь между посылкой и заключением, безотносительно истинности или ложности того и другого. Данная терминология позволила бы нам говорить, что суждение доказано, когда и только когда оно следует из посылки, которая сама является истинной. Однако в чистой математике так часто принято говорить о «доказательстве» теорем, что тщетно пытаться что-либо изменить. Поэтому термин «доказательство» можно, не опасаясь, использовать и в чистой математике, не забывая, однако, что доказываем мы всегда исключительно импликации, т. е. то, что если одни суждения истинны, то определенные другие суждения должны быть истинными. В конце концов, именно с этим уровнем доказательства главным образом связана логика.
Таким образом, во всех случаях полного основания, или доказательства, заключение является следствием посылок, а рассуждение или умозаключение от посылок к заключению называется дедуктивным. Мы выводим одно суждение из другого обоснованно, только если существует объективное отношение импликации между первым суждением и вторым. Поэтому важно различать умозаключение, являющееся временным процессом, и импликацию, являющуюся объективным отношением между суждениями. Импликация может сохраняться, даже если мы не знаем, как вывести одно суждение из другого. Таким образом, чтобы умозаключение было обоснованным, между суждениями должна существовать импликация. Существование же импликации не зависит от наличия психологического процесса умозаключения.
Пытаясь получить полное доказательство суждений, имеющих практическую важность, мы всегда сталкиваемся с двумя актуальными вопросами:
1. Являются ли истинными суждения, выступающие в качестве оснований?
2. Является ли отношение между заключениями и основаниями, или посылками, таким, что первые с необходимостью следуют и, следовательно, могут быть правильно выведены из последних?
Первый вопрос ставит проблему фактического, или материального, характера, и ответ на него не может быть получен только с помощью логики без привлечения всех наук и всего общеизвестного знания. Как отдельная наука, логика исследует только второй вопрос, а именно отношение импликации между суждениями. Таким образом, особая задача логики заключается в изучении условий, при которых одно суждение с необходимостью следует и, следовательно, может быть выведено из одного или более суждений, безотносительно фактической истинности последних. Поскольку ряд суждений нетрудно объединить в единое суждение, то можно сказать, что всякий пример импликации, или логического следования, относится к двум суждениям, которые можно наиболее точно обозначить как условное и имплицируемое[3], однако, как правило, они называются антецедентом и консеквентом или же посылкой и заключением. При этом следует отметить, что, используя термины «антецедент» и «консеквент» или выражение «логически следует», мы подразумеваем абстрактное отношение, которое, подобно отношению части и целого, непосредственно не указывает ни на какую временную последовательность. Логические следствия некоторого суждения – не явления, следующие за ним во времени, а скорее составные элементы его значения. Иногда наше осознание посылок предшествует осознанию заключения, однако мы зачастую точно так же сначала осознаем заключение и только после этого отыскиваем посылки, из которых оно следует.
Рассмотрим отношение импликации более подробно.
Импликация является особым логическим отношением, которое может существовать либо 1) между ложными суждениями, либо 2) между ложным суждением и истинным, а также 3) может не существовать между истинными суждениями.
1. Рассмотрим следующий аргумент: «Если Спарта была демократией и ни в одной демократии не существует короля, то, следовательно, в Спарте не было короля». Ложность суждения «Спарта была демократией» не мешает ему обладать некоторыми следствиями, равно как и иметь определяющее значение в конкретных логических следованиях.
В обыденной жизни самым распространенным является аргумент, устанавливающий логические следствия для условных суждений, не соответствующих фактам. Если бы не было смерти, то не было бы кладбищ, надгробных речей и т. п. Все наши сожаления опираются на выведение следствий из суждений, в которых утверждается то, что могло бы быть, но чего в действительности не произошло.
Не любить бы нам так нежно,
Безрассудно, безнадежно,
Не сходиться, не прощаться,
Нам бы с горем не встречаться![4]
Огромное заблуждение считать, как многие легкомысленно и делают, что при рассуждении, которое называется научным, мы исходим только из фактов или истинных суждений. Данное убеждение не учитывает необходимости делать дедуктивный вывод из ложных гипотез. В науке, как и в ситуациях практического выбора, мы постоянно сталкиваемся с альтернативными гипотезами, все из которых не могут быть истинными. Следует ли объяснять феномен горения через выделение вещества, именуемого «флогистоном», или через соединение с веществом, именуемым «кислородом»? Действует ли магнетизм на расстоянии подобно гравитации или же ему, подобно звуку, требуется среда? Как правило, мы делаем выбор между двумя несовместимыми суждениями, выводя следствия из каждого из них и исключая как ложную ту гипотезу, которая приводит к ложным заключениям, т. е. к результатам, не превалирующим в области обозримых фактов. Если бы у ложных гипотез не было логических следствий, мы не смогли бы удостовериться в их ложности.
То, что суждение обладает определенными логическими следствиями, даже если оно ложно, следует также из того обстоятельства, что данные логические следствия, или импликации, являются частью его значения. А значение суждения нам необходимо знать прежде, чем мы сможем определить истинность суждения. Однако в любом случае (независимо от истинности или ложности суждения) установление существования логической импликации между двумя суждениями исключает возможность ложности второго суждения при истинности первого.
2. Существует широко распространенное мнение о том, что ложные посылки должны логически вести к ложным суждениям. Это серьезная ошибка, происходящая, вероятно, из неправильного понимания истинного принципа о том, что если следствия ложны, то посылки должны быть ложными. Однако в том, что истинные следствия могут имплицироваться, или логически следовать, из ложных посылок, можно легко убедиться на следующих примерах.
Если все мексиканцы являются гражданами Соединенных Штатов и все жители штата Виргиния являются мексиканцами, то логически следует, что все жители Виргинии являются гражданами Соединенных Штатов. Если все дельфины являются рыбами и все рыбы являются водными позвоночными, то с необходимостью следует, что все дельфины являются водными позвоночными животными. (Это же заключение следует из посылок, что все дельфины являются моллюсками и все моллюски являются водными позвоночными животными.) Повторим еще раз: отношение между антецедентами и консеквентами исключает возможность того, чтобы первые были истинными, а вторые в то же самое время – ложными.
Разумеется, если посылка является ложной, то истинность заключения не является доказанной, даже несмотря на то, что заключение следует из посылки. Крайне важно понимать и то, что суждение не является с необходимостью ложным или что его ложность является доказанной, в силу того что аргумент в пользу этого суждения основывается на лжи. Может случиться так, что в пользу хорошего следствия были предложены плохие причины.
3. Мы уже смогли убедиться в том, что суждение «в Нью-Йорке существует пять тысяч парикмахерских», даже если оно и истинно, является неуместным в случае с суждением «в городе Нью-Йорке есть, по крайней мере, два человека с одинаковым количеством волос на голове» и не может его доказать, или логически имплицировать. Рассмотрим, однако, пример, в котором отсутствие логической связи, или импликации, пожалуй, не столь очевидно. Так ли, что суждение «Идеальные существа могут жить вместе без закона, и люди не являются идеальными существами» имплицирует суждение «Люди не могут жить без закона»? Поразмыслив, можно убедиться, что ничто в посылке не исключает возможности того, что могут быть люди, которые, хоть и являются неидеальными, тем не менее, живут вместе без закона. С другой стороны, мы, быть может, смогли бы доказать, что наше заключение истинно, при том что приведенное здесь основание является недостаточным. Необходимая связь между основанием и тем, что нужно доказать, показана не была.
То обстоятельство, что связанные с суждением логические импликации остаются неизменными, независимо от того, оказалось ли это суждение истинным или ложным, а также то, что обоснованность таких импликаций устанавливается через невозможность истинности посылок при ложности следствий, тесным образом связано с так называемой формальной природой логики.
Что же мы имеем в виду под словом «формальная»? Читателю, без сомнения, приходилось при определенных обстоятельствах заполнять какие-нибудь официальные бланки, например, заявление при поступлении на новую должность, договор об аренде, платежное поручение или декларацию о подоходном налоге. Очевидно, что во всех этих случаях незаполненный бланк сам по себе не является заявлением, договором, поручением или декларацией. Однако каждый такой документ составлен в соответствии со структурой и условиями, приведенными в незаполненном бланке. Последний олицетворяет упорядоченность или фиксированную форму, которой должны обладать все подобные документы, для того чтобы считаться действительными. Вообще форма – это то, в чем согласуются несколько объектов или операций (являющихся различными в других отношениях). Объекты могут быть разными, но форма остается той же самой. Так, формальной называется любая общественная церемония или действие, которое различные индивиды должны выполнять одним и тем же способом, если они занимают одну и ту же должность или пост. Логическая импликация также является формальной в том смысле, что она имеет силу для всех суждений, безотносительно того, насколько они разные, при условии, что они находятся друг к другу в определенном отношении. Рассмотрим одно из вышеприведенных доказательств: «Браун является несовершеннолетним; ни один несовершеннолетний не может голосовать; следовательно, Браун не может голосовать». Здесь импликация не зависит ни от какой особенности Брауна, кроме той, что он в действительности является несовершеннолетним. Если вместо Брауна подставить любого другого человека, то импликация все равно останется обоснованной. Данную истину мы можем обозначить в следующей записи: «X является несовершеннолетним, ни один несовершеннолетний не может голосовать, следовательно, X не может голосовать». Здесь X обозначает любого представителя из множества любой величины. Можно заметить, что и слово «несовершеннолетний» может быть заменено любым другим термином, например, таким, как «осужденный преступник» или «иностранец», без нарушения обоснованности аргумента. Таким образом, аргумент «Если X является Y, и ни один Y не может голосовать, то X не может голосовать» сохраняется безотносительно того, что мы подставим вместо У. Теперь мы можем осуществить третий шаг и убедиться не только в том, что логическая импликация не зависит от объектов, обозначаемых как X и У, но и в том, что термин «не может голосовать» также может быть заменен на что угодно (при условии, что это что-то в посылках и заключении будет одним и тем же). Таким образом, мы получаем формулу: «Если X является Y, и все Y являются Z[5], то X является Z», которая является истинной, независимо от того, что обозначают X, Y и Z. С другой стороны, было бы ошибкой утверждать, что из суждения «Все парижане – европейцы, и все парижане – французы» следует суждение «Все парижане – французы». Дело в том, что если в общей форме данного аргумента («Все X являются У' и все Z являются Y, следовательно, все X являются Z») мы вместо слова «парижане» подставим слово «бельгийцы», то получим аргумент, в котором посылки будут истинными, а заключение – ложным. Сходным образом мы можем утверждать импликацию «если Сократ старше Демокрита, и Демокрит старше Протагора, то Сократ старше Протагора». Истинность данной импликации будет сохраняться, независимо от того, какие люди будут подставлены вместо этих трех, с учетом того, что мы сохраним форму «X является старше Y, и Y является старше Z, следовательно, X старше Z». С другой же стороны, из суждения «А находится справа от В, и В находится справа от С» с необходимостью не следует «А находится справа от С». Если три человека сели в круг, можно сказать, что А находится слева от С, даже если он находится справа от Б, а Б, в свою очередь, справа от С. Предметом логики является исследование более точных правил для отличия обоснованных форм аргумента от необоснованных. На данном этапе следует отметить, что правильность любого утверждения импликации между суждениями зависит от их формы или структуры. Любая форма аргумента, допускающая подстановки истинных посылок одновременно с ложными заключениями, является необоснованной, и утверждение импликации в таком случае будет неверным.
К сказанному выше следует добавить еще два замечания:
1. Такое более общее утверждение или формула не является некой поддерживающей силой или же императивом, существующим ранее любого его конкретного воплощения. Каждый отдельный аргумент является обоснованным в силу импликации, которая имеет место между его посылками и заключением, а не в силу некого существующего общего правила, являющегося формой, абстрактно отражающей именно то, что существенно для обоснованности аргумента. Между объектами, о которых говорится в суждениях, существует определенное отношение, а форма – это их расположение, поэтому импликация, имеющая силу относительно одного расположения объектов, не имела бы силы относительно другого расположения.
2. Данный формальный характер импликации (и, следовательно, обоснованного умозаключения) не означает, что в формальной логике вообще не учитывается значение наших суждений. Без значений мы имели бы лишь бессмысленные значки и звуки, а не значимые утверждения или информацию, обладающую логическими следствиями. Однако поскольку в сфере возможностей логика исследует лишь отношения, являющиеся необходимыми, для нее из всех свойств объекта интерес представляет лишь его функция в конкретном аргументе. Формальные свойства должны распространяться на все объекты определенного множества.
До настоящего момента мы рассматривали логическую импликацию как элемент, присутствующий в любом доказательстве или окончательном основании. Однако на нее можно посмотреть и иначе. Импликация – это то, что присутствует в любой ситуации или проблеме, где некоторые данные условия являются достаточными для детерминации определенного результата или ситуации. Для примера рассмотрим знакомую проблему: сколько проходит времени между двумя следующими один за другим моментами, когда минутная стрелка часов равняется с часовой? Когда известна относительная скорость каждой стрелки, длительность интервала однозначно детерминируется посредством логической импликации. Хотя в том случае, если мы не знакомы с законами алгебры, нам может потребоваться много времени, чтобы понять, в результате чего происходит переход от известных условий, как посылок, к детерминируемому ими заключению или решению. Изучение логической импликации, таким образом, является видом исследовательской работы и открытия. При этом следует отметить, что в задачу логики не входит описание того, что происходит в голове человека, когда он отыскивает строгие и определенные решения для конкретной проблемы. Данный вопрос относится к предметной области психологии. Логика же связана лишь с каждым из этапов определения того, является ли на самом деле импликацией между двумя суждениями то, что кажется таковой. Поэтому логику также можно определить как науку об импликации или же об обоснованном умозаключении (основанном на импликации). Данное определение может показаться более узким по сравнению с нашим предыдущим определением, согласно которому логика являлась наукой о весомости оснований. Однако несложно будет заметить, что дедуктивный вывод и, следовательно, импликация, на которой он должен основываться, присутствуют в любой детерминации весомости оснований.
Мы рассмотрели отношение между посылками и заключением в случае строгого доказательства. Но полное, или окончательное, основание не всегда доступно, и тогда нам приходится опираться на частичное, или неполное, основание. Допустим, вопрос касается того, был ли некий барон X милитаристом, а в качестве основания предлагается тот факт, что большинство аристократов являлись милитаристами. Подобное доказательство, разумеется, не может считаться строгим. Очевидно, что суждение «Барон X был милитаристом» может быть ложным, даже если суждение, приведенное в качестве основания, истинно. Однако абсурдно было бы утверждать и то, что тот факт, что большинство аристократов являлись милитаристами, не может служить основанием того, что барон X им тоже являлся. Несомненно, что тот, кто на постоянной основе делает умозаключения такого типа (большинство X являются Z Z является X, следовательно, Z является У) в конце концов окажется чаще правым, чем неправым. Умозаключение данного типа, которое из истинных посылок предлагает заключения, которые будут истинными в большинстве случаев, называется правдоподобным (вероятностным). В латинском языке эквивалентом данного термина является слово «probare», означающее, что такое основание чаще всего воспринимается как некий вид доказательства, хоть и не представляет окончательного доказательства.
Читатель обратит внимание, что в тех случаях, где основание в пользу некоторого суждения является частичным, или неполным, правдоподобность умозаключения может быть увеличена при добавлении оснований. В одной из последующих глав мы более детально рассмотрим, в каких случаях и как можно измерить степень правдоподобности и какие меры предосторожности следует соблюдать, чтобы наши умозаключения были по возможности максимально правдоподобными. Здесь же мы можем лишь коротко заметить, что в такой детерминации дедуктивное умозаключение присутствует в качестве элемента. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим сначала примеры, в которых правдоподобный аргумент лежит в основании обобщения, или индукции, а затем примеры, в которых подобный аргумент приводит к тому, что получило название презумпции факта.
Допустим, мы хотим узнать, является ли некоторое вещество, скажем, бензоат натрия, в целом вредным. Разумеется, мы не можем проверить его на всех людях. Мы выбираем несколько человек, согласных принять его с пищей, которых мы рассматриваем как типичных или показательных представителей всех людей в целом. Затем мы прослеживаем, наносит ли употребление данного вещества какой-либо заметный вред. Если все люди, употребившие вещество, испытывают некоторое несомненно пагубное воздействие, то мы рассматриваем его как основание для истинности общего суждения «Бензоат натрия вреден». Подобные обобщения, однако, зачастую оказываются ложными. Быть может, отобранные индивиды не являлись типичными представителями всех людей. Они могли оказаться студентами, или же быть слишком чувствительными, или привыкшими к некоторой определенной диете, или находиться под воздействием неучтенного фактора, не присутствующего во всех случаях. Подобные сомнения мы пытаемся преодолеть, используя выведенное нами правило в качестве посылки и устанавливая наличие тех же следствий для всех остальных индивидов, живущих в иных условиях. Если результат, наблюдаемый в новых случаях проверки, согласуется с выводом предполагаемого нами правила, то правдоподобность данного правила будет увеличена, хоть это и не избавит нас от всех сомнений. С другой стороны, если в случае существенного расхождения между нашим общим правилом и тем, что мы обнаружим в новых случаях проверки, данное правило придется модифицировать в соответствии с общим принципом дедуктивного рассуждения. Таким образом, несмотря на то что наши обобщения от того, что мы принимаем за типичные случаи, могут порой приводить к ложным заключениям, эти обобщения, тем не менее, дают нам возможность часто приходить к истинным заключениям. А вероятность их истинности пропорциональна той степени тщательности, с которой мы сформулировали и проверили наши обобщения.
Второй вид правдоподобного умозаключения (который мы назвали «презумпцией факта») позволяет нам вывести существование факта, который непосредственно не наблюдается. Предположим, что, вернувшись домой, мы обнаруживаем, что замок на двери взломан, а письмо, изобличающее известного государственного деятеля, исчезло. Мы предполагаем общее правило, что тот, кто изначально нарушал закон, не остановится перед тем, чтобы нарушить его еще раз, дабы избавить себя от наказания. Затем мы делаем вывод, что письмо было украдено самим государственным деятелем или же его агентами. Данный вывод, разумеется, не является необходимым. Наши основания не позволяют исключить и возможность того, что письмо было украдено кем-то другим. Однако наш вывод, несомненно, относится к тому типу выводов, которые часто приводят к правильным заключениям. Так, мы увеличиваем правдоподобность нашего умозаключения, когда утверждаем, что если бы письмо выкрал тот, кто не заинтересован его содержанием, то он выкрал бы и другие ценные вещи, и при этом показываем, что это сделано не было.
Рассмотрим другой пример. Допустим, однажды утром мы замечаем в нашем преподавателе раздражительность. Мы знаем, что раздражительность сопутствует головной боли. Следовательно, мы можем заключить, что наш преподаватель испытывает головную боль. Если мы исследуем данный аргумент, то заметим, что основание для нашего заключения состоит из суждения, в котором утверждается некоторое наблюдаемое положение дел (преподаватель является раздражительным), а также из суждения, в котором утверждается определенное правило или принцип. Выразить этот принцип можно следующим образом: «головной боли сопутствует раздражительность» или «во многих случаях раздражительность является следствием головной боли». Ни при одной из этих формулировок наше заключение («преподаватель испытывает головную боль») не следует с необходимостью. Раздражительность преподавателя может на самом деле быть следствием совершенно другой причины. Однако наше умозаключение относится к типу выводов, которые в большом числе случаев приведут к истинному заключению, пропорционально той степени, в которой раздражительность связана с головной болью. И мы проверяем истинность нашего обобщения (или индуктивного обобщения) путем выведения из него следствий и усмотрения того, насколько они сохраняются в новых ситуациях.
Данный вид умозаключения очень распространен не только в практических ситуациях, но и в современных естественных науках, примером чему может послужить следующая иллюстрация. Различные вещества, такие как кислород, медь, хлор, сера, водород, сочетаются с каким-либо другим веществом в соответствии с фиксированным соотношением между их атомным весом и атомным весом этого вещества. И когда определенное количество одного вещества, скажем хлора, сочетается с различными количествами другого вещества, например кислорода, то в получаемых соединениях хлор присутствует в пропорциях, являющихся целым кратным единице. (Это – наблюдаемое событие.) Мы также знаем, что если каждое из этих веществ состояло бы из сходных атомов, или механически неразложимых частиц, то эти вещества сочетались бы в пропорциях, являющихся целым кратным единице. (Это – общее правило.) Далее мы заключаем, что эти вещества состоят из атомов. (Это – выведенный факт.) С точки зрения необходимой импликации данное умозаключение является необоснованным, ибо возможно, что наблюдаемые факты могут быть следствием совершенно иной общей причины, отличной от предполагаемого атомного строения вещества. Однако наше основание обладает очень высокой степенью правдоподобности, поскольку мы использовали общее суждение («вещество обладает атомной структурой») как посылку, из которой вывели множество различных следствий, которые, в свою очередь, были признаны истинными в экспериментах и при непосредственном наблюдении, а также оказались несовместимыми с другими известными посылками.
Основания такого же характера используются в таких обыденных обобщениях, как то, что хлеб утоляет голод и что если отправиться куда-либо пешком или на каком-либо транспорте, то можно достигнуть пункта назначения. Подобные обобщения не являются универсально истинными. К сожалению, случаются и несчастные случаи. Хлеб может нам не подойти, а тот, кто направляется домой, может в итоге оказаться в больнице или морге. На самом деле мы всю жизнь зависим от наиболее правдоподобных обобщений. Если наш знакомый вдруг откажется ступать на деревянный или бетонный пол на том основании, что не было предоставлено абсолютного доказательства того, что этот пол не разрушится или не взорвется, мы усомнимся в его рассудке. Однако то, что наши обобщения будут подверженными ошибкам и лишь вероятностными до тех пор, пока мы не достигнем всеведения и не будем знать всего будущего, является неопровержимо истинным. И история человеческих заблуждений показывает, что всеобщее согласие и преобладающее чувство уверенности не устраняют возможности того, что в будущем окажется, что мы заблуждались.
Несмотря на то, что смешение физического объекта, нашей «идеи» или образа этого объекта и слова, которым он обозначается, кажется невозможным, данные различия отнюдь не являются ясными, когда речь идет о комплексах, состоящих из этих элементов, таких как, например, форма правления или литература отдельно взятой страны. Поскольку логика как исследование импликации суждений непосредственно не связана с физическим или историческим фактом, мнение, что она имеет дело исключительно со словами, может возникнуть совершенно естественно. Этимология слова «логика» (так же, как и слова «логомахия») также предлагает довод в поддержку этого мнения. Великий английский философ Гоббс говорит, что логика и рассуждение «есть не что иное, как подсчитывание (т. е. складывание и вычитание) связей общих имен»[6]. Однако мы не должны спутывать тот факт, что слова и определенного рода символы необходимы для логики (как и для всякой современной науки), с утверждением о том, что обоснованное рассуждение – это не что иное, кроме как следствие акта именования. Мы можем поменять имена вещей, как это происходит при переводе из одного языка в другой, не влияя на логические связи между объектами нашего рассуждения. Обоснованность нашего рассуждения зависит от того, насколько согласованно мы используем наш язык, а эта согласованность означает, что наши слова должны точно следовать порядку и связям между обозначаемыми ими объектами. Логика, как физика и любая другая наука, исходит из общепринятого социального факта, обычно отмечаемого лексикографами и заключающегося в том, что определенные слова обладают определенными значениями, т. е что они обозначают определенные вещи, отношения или операции. Однако знание такого употребления слов в английском языке или в любом другом языке не позволит нам решить все вопросы, связанные с адекватностью оснований. Например, обоснованность доказательства Эрмита и Линдемана о том, что п (отношение длины окружности к диаметру) не может быть точно выражено рациональными числами в конечной форме.
Несмотря на то что предмет логики не может сводиться к словам или даже значениям слов, отличаемым от значения или импликации суждений, логика все же тесно связана с общей грамматикой, и в работах таких философов, как Аристотель, Дунс Скот и Ч. С. Пирс, не всегда легко четко провести линию между грамматикой и логикой. Мы уже сказали, что логика исходит из рассмотрения слов, как обладающих значением, и ниже мы увидим, как четкое различение значений слов способствует избеганию логических заблуждений. Следует, однако, добавить, что в общем исследовании значения слов (именуемом «семантикой») мы зависим от логики. Передаваемая словами информация как в логическом, так и в психологическом плане зависит от суждений или информации, передаваемой в предложениях.
Пожалуй, наиболее значимое различие между логикой и той частью лингвистики, которая именуется грамматикой, можно сформулировать следующим образом: норма или корректность, с которой имеет дело грамматика, заключается в согласованности с определенным реальным употреблением, тогда как норма или корректность логики базируется на возможностях, присутствующих в природе вещей, которые являются объектами нашей речи. Грамматика является главным образом дескриптивной социальной наукой, описывающей в систематическом виде способы употребления слов разными народами. Ее нормативный характер является случайным, подобно нормативному характеру, присущему описанию стилей одежды. Определенные стили употребления языка (английский язык королей[7] или язык шафера, произносящего речь на свадьбе) считаются предпочтительными. Многим различиям в лингвистических формах может не соответствовать никакое различие в значении. Примером тому является различие между отделительным и дательным падежами в латыни или же различия между такими словами, как «proved» и «proven», «got» и «gotten», в английском языке. Однако поскольку язык иногда используется для передачи важной информации, равно как и для выражения эмоций, грамматисты не могут игнорировать логические различия. Поскольку обыденный опыт не требует большой точности и тонкой проницательности в понимании природы вещей, обыденный язык не является точным. Логика же необходима для того, чтобы исправить эту туманность и двусмысленность.
Несмотря на то что слова являются одним из наиболее важных объектов для исследования, в целом нельзя сказать, что во всех суждениях речь идет о словах. В большинстве суждений подразумеваются объекты, такие как Солнце и звезды, Земля и ее составные части, наши собратья и их занятия и т. п., и импликация между суждениями, являющаяся предметом изучения логики, имеет дело с возможными отношениями между такими объектами. Логика критически рассматривает слова лишь как необходимые инструменты в наших утверждениях и выражениях, с тем чтобы указывать на их точную функцию и определять ошибки в умозаключениях.
Традиционно логика определялась как наука о законах мышления. Это определение восходит к временам, когда логика и психология еще не были вполне развитыми дисциплинами, четко отделенными от других ветвей философии. Однако сегодня не возникает сомнений в том, что любое исследование законов или способов нашего мышления относится к области психологии. Логическое различие между обоснованным и необоснованным умозаключением не указывает на то, как мы думаем, т. е. на процесс, происходящий в сознании человека. Доказательная сила оснований сама по себе является не временным явлением, а отношением импликации между определенными классами или типами суждений. Так, например, вопрос о том, следует ли с необходимостью из аксиом и постулатов Евклида утверждение, что площадь квадрата и площадь круга никогда не могут быть в точности равными, является вопросом о необходимых следствиях из утверждаемых нами суждений. При этом способ, по которому в действительности осуществляется мышление, здесь ни при чем. Разумеется, для осознания импликаций необходимо мышление (а не только чувственное восприятие).
Однако мышление точно так же необходимо и для осознания того, что любые научные суждения являются истинными. Это, однако, не делает физику областью психологии, если, конечно, не утверждать, что у этих дисциплин общий предмет, т. е. что физические объекты и их осознание – одно и то же. Сходным образом можно изучать и логическую импликацию, на которой базируются наши умозаключения, как психологическое событие, однако само отношение, которое непосредственно осознается, совсем не является психологическим событием. Это отношение присутствует между двумя типами суждений, а также в опосредованном виде между классами возможных объектов, о которых в суждениях нечто утверждается.
Понимание того, что логика не сводима к психологическим явлениям, поможет нам отличать ее от риторики, которая является искусством убеждения или аргументации с целью вызвать ощущение уверенности (certainty). Люди зачастую спутывают эти две дисциплины, поскольку слово «certainty» иногда используется как характеристика того, что демонстрируется [ «достоверность». – Прим. перев.], а иногда как ощущение убежденности без каких-либо сомнений [ «уверенность». – Прим. перев.]. Однако такое чувство уверенности может вообще существовать независимо от логики, а фактическая убедительность тех или иных аргументов гораздо чаще достигается не посредством логически неопровержимых доводов, а с помощью правильно подобранных слов, которые посредством ассоциаций обладают сильным эмоциональным воздействием. Это не принижает значения искусства риторики и не означает, что она всегда использует аргументы, которые лишь вводят в заблуждение. Искусством убеждения или искусством того, как заставить других с нами согласиться, в той или иной степени хотят владеть все люди. От него зависит гармония в социальных отношениях. Однако, строго говоря, логическая аргументация – это всего лишь один из способов убеждения других, отличающихся от нас людей, и не всегда самый эффективный. В силу нашей эмоциональной предрасположенности нам нелегко принять определенные суждения, безотносительно того, насколько весомы основания в их пользу. А поскольку любое доказательство зависит от принятия некоторых суждений за истинные, то человеку, в достаточной степени намеренному не принимать определенное суждение, невозможно будет доказать его истинность. Поэтому логическая необходимость, проявляющаяся в импликации, подобно логической необходимости в чистой математике, не является описанием способа, каким люди на самом деле мыслят, а скорее обозначает невозможность определенных комбинаций для утверждаемых объектов. История человеческих заблуждений показывает, что такие утверждения, как «я абсолютно уверен» или «я не могу не верить», не являются адекватным основанием для истинности каких бы то ни было суждений.
Каноны логической обоснованности в целом не зависят от исследований в рамках психологии как эмпирической науки. Психология, как и все остальные науки, может устанавливать какие-либо результаты только в согласии с правилами логического умозаключения. Однако изучение психологии существенно способствует компетентности в логике, ибо ничто кроме твердого знания психологии не может помочь нам избавить логическую теорию от ложных и неосознаваемых психологических допущений.
Помимо лингвистики и психологии, логика также не может отождествляться и с физикой, или естественной наукой. Суждения, исследуемые логикой, не сводятся к какой-либо отдельной области и могут относиться к чему угодно: искусству, делопроизводству, сказкам, теологии, политике. Таким образом, логическое отношение импликации, присутствуя в физике, не является объектом ее исследования.
В суждениях речь может идти и о несуществующих объектах, однако это не препятствует объективному статусу отношения импликации. Это отношение является объективным в том смысле, что оно не зависит от наших языковых конвенций или намерения думать неким определенным образом. Быть может, данное положение станет более понятным, если мы рассмотрим метод чистой математики. Как мы уже отмечали, в этой области нас интересует лишь импликация от наших исходных суждений, безотносительно того, истинны они или нет, и того, существуют ли описываемые в них объекты или же являются вымышленными. При этом исследования в области математики, проводящиеся на протяжении более чем двух тысячелетий, являются столь же обоснованными или детерминированными природой своего объекта (материальной импликации), как и любое географическое исследование Земли или астрономическое изучение движения звезд.
Никакое лингвистическое намерение или стремление думать иначе не способно повлиять на истины, открываемые или выводимые в таких областях, как теория простых чисел. И это распространяется на все виды строго логического вывода.
Главная цель логики – получить систематический способ различения обоснованных видов умозаключений и необоснованных. Однако исследователи логики не ограничивались только этой задачей. Со времен Локка они особенно часто вдавались в спекулятивные дискуссии относительно общей природы знания и операций, с помощью которых человеческое сознание постигает истину в отношении внешнего мира. Мы попытаемся избегать подобных тем не потому, что они неинтересны или неважны, а поскольку они не являются необходимыми для решения каких-либо строго логических задач. Ответы на вопросы, которые ставят дисциплины, носящие такие названия, как метафизика, рациональная психология или эпистемология, по всеобщему признанию являются слишком неопределенными или слишком сомнительными, чтобы служить базисом для науки о доказательстве или демонстрации. При этом нам бы хотелось избавиться от одного из таких вопросов, который, быть может, беспокоит читателя: как могут ложные суждения, или суждения о несуществующих объектах, иметь импликации, являющиеся объективно необходимыми?
Этот кажущийся парадокс происходит из наивного предположения о том, что только существующие вещи имеют определенный и объективный характер. Довольно несложно заметить, что мир науки, т. е. мир, в отношении которого имеется истинное знание, не может сводиться только к действительно существующим объектам и должен включать в себя все их возможные функции и сочетания. Рассмотрим такие элементарные суждения, как «углерод горит», «лед тает при 0 °C», «металлы проводят тепло и электричество», и т. п. Во всех этих суждениях говорится о классах или видах возможностей таких в идеальном смысле непрерывных или рекуррентных веществ, которые мы называем «углеродом», «льдом» или «металлом». В действительности наличествует лишь одна из неопределенного числа возможностей. Действительность является мгновением перехода от прошлого, которого уже нет, к будущему, которого еще нет. Можно сказать, что логика отбрасывает то, что является совершенно невозможным, и тем самым детерминирует область того, что при отсутствии соответствующего эмпирического знания является в абстрактном смысле возможным. История и науки о том, что существует в природе, отбрасывают некоторые из возможных суждений как ложные, например, такие, как те, в которых утверждается, что существуют свободные от трения двигатели, свободные тела, совершенно негибкие рычаги и т. д. Эти суждения отбрасываются, поскольку они несовместимы с суждениями, которые мы считаем истинными в отношении реального мира. Но реальный мир в каждый момент времени является лишь одним из числа возможных сочетаний вещей. Суждение, ложность которого доказана при одном наборе допущений, может оказаться истинным при другом. Таким образом, логические отношения сами по себе не достаточны для детерминации того, что существует в действительности, но они присутствуют при детерминации любого из возможных сочетаний вещей. Существенные свойства, детерминирующие ценность 100 долларов, остаются одними и теми же, независимо от того, есть у нас эта сумма или нет.
Как и любая другая наука, логика нацелена на достижение истины в своей конкретной сфере и в малой степени связана с ценностью этих истин или возможностями их применения. Логически последовательным может быть и злодей. Однако правильное умозаключение является столь важной и неотъемлемой частью процесса постижения истины (процесса, который в своей развитой форме именуется нами научным методом), что исследование того, каким образом логика присутствует в этом процессе, является естественным расширением нашей науки, точно так же как сфера чистой математики расширяется и развивается посредством ее практического применения. Данная тема будет подробно исследована во второй книге настоящего тома. На данном этапе мы, тем не менее, можем указать некоторые способы, с помощью которых формальная, дедуктивная логика помогает приходить к истинным суждениям.
1. Не секрет, что непосредственное определение истинности конкретного суждения зачастую представляется сложной или даже невыполнимой задачей. Однако при этом бывает довольно просто установить истинность другого суждения, из которого может быть выведено суждение, интересующее нас. Мы уже говорили о том, насколько сложно было бы показать посредством пересчета, что в Нью-Йорке существует как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове. Однако довольно легко показать, что число жителей Нью-Йорка превышает максимальное число волос на голове человека. Основываясь на исследованиях физиологии волосяного фолликула, а также отдельных примерах волосяного покрова на голове людей, мы можем установить, что на один квадратный сантиметр может насчитываться не более пяти тысяч волос. Антропологические измерения человеческого черепа позволяют заключить, что его максимальная площадь существенно меньше тысячи квадратных сантиметров. Следовательно, мы можем сделать заключение о том, что человек не может обладать более чем пятью миллионами волос на голове. На основании предыдущей демонстрации следует, что в указанном городе должно существовать как минимум два индивида с одинаковым количеством волос на голове.
2. Многие из наших верований сформировались в соответствии с отдельными проблемами. Поэтому мы нередко с удивлением обнаруживаем, что они несовместимы друг с другом. Однако дедуктивное исследование их общих отношений может проявить существующие между ними взаимосвязи и тем самым привести их к согласию. Так, именно с помощью дедуктивного рассуждения обнаруживается несовместимость между такими суждениями, как: «нельзя верить тем, кто не держит слова», «любители вина очень общительны», «человек, держащий слово, является честным», «среди трезвенников нет ростовщиков», «все общительные люди заслуживают доверия», «некоторые ростовщики бесчестны».
3. Дедуктивное рассуждение позволяет понять, к чему нас обязывает принятие тех или иных суждений. Так, если мы принимаем суждение, согласно которому две прямые линии не могут заключать пространства, а также ряд других суждений геометрии, то, как мы вскоре обнаружим, нам также придется принять и суждение о том, что сумма углов любого треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов. Полное значение того, во что мы верим, обнаруживается нами при дедуктивном исследовании связей между различными суждениями, которых мы придерживаемся. Суждения, которые мы склонны принимать безусловно, могут обладать неожиданными для нас импликациями, которые заставят нас модифицировать наше поспешное принятие данных суждений в качестве посылок.
Указывая на данные способы использования дедуктивного умозаключения, мы не отрицаем того, что люди могут с успехом использовать их и без предварительного изучения теоретической логики, что они и делают точно так же, как и обучаются ходить без предварительного изучения физиологии. Однако изучение физиологии, безусловно, полезно при составлении методики по подготовке легкоатлетов. Любой профессиональный электрик может починить электрическую проводку, но при этом мы считаем, что инженеру, который имеет дело с новыми сложными проблемами, связанными с электричеством, необходимо обладать знаниями в теоретической физике. Теоретическая наука является основой любой рациональной методики. Точно так же и логика, как наука о видах умозаключений и связанных с ними ограничениях, позволяет формулировать и частично механизировать процессы, используемые в успешном исследовании. Реальное достижение истины, разумеется, зависит от способностей и навыков конкретного исследователя, однако тщательное изучение принципов логики помогает вырабатывать и совершенствовать методы отыскания и оценки оснований.
Логика не может гарантировать полезность или даже истинность суждений о фактах, точно так же как производитель скальпелей не может гарантировать успешности операций, которые будут проводиться с помощью произведенных им изделий. Однако, превознося выдающегося хирурга, мы не должны забывать и о том, чтобы отдать должное качеству скальпеля, с которым он так умело обращается. Таким образом, метод логики, шлифующий и совершенствующий интеллектуальный инструментарий, никогда не заменит использующих его великих мастеров, однако правда и то, что совершенный инструментарий является одним из необходимых условий мастерства[8].