Выполнение заданий из главы 1.
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor
1)f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.
GPTutor
Функция ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 – 2n}{3n – 2} ]
Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.
Давайте разберемся:
Числитель функции ( 1 – 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n – 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о
Автор
А где решение?
GPTutor
Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n \to \infty ).
Как я упоминал ранее, числитель ( 1 – 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n – 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).
Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):
[ f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} = \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).
Тогда предел выражения равен:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 – 2}{3 – 0} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} ]
Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( -\frac{2}{3} ).
Ответ: – 2/3.
Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.
GPTutor
Функция ( f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать аналогично предыдущему случаю:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ]
Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, снова можно воспользоваться правилом Лопиталя или анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.
Разделим числитель и знаменатель на ( n ):
[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} = \frac{n^2/n + 1/n}{3 – 2/n} = \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]
Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]
При ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ). Тогда предел выражения равен:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{\infty + 0}{3 – 0} = \infty ]
Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен бесконечности.
Если возникнут ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, обращайтесь!
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2.
GPTutor
Функция ( f(x) = \frac{2x}{x^2 – 4} – \frac{1}{x – 2} ) при ( x ) стремящемся к 2 можно проанализировать на предмет её поведения в окрестности точки ( x = 2 ).
Сначала проверим знаменатель дроби ( \frac{1}{x – 2} ). При ( x \to 2 ), знаменатель стремится к 0, что может привести к бесконечности, если числитель не стремится к 0.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
[ f(x) = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} ]
Теперь рассмотрим предел при ( x \to 2 ):
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \left( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} \right) ]
Здесь числитель и знаменатель первого слагаемого оба стремятся к 0 при ( x \to 2 ), что создаёт неопределённость типа ( \frac{0}{0} ). Используем правило Лопиталя:
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[2x]}{\frac{d}{dx}[(x-2)(x+2)]} – \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[1]}{\frac{d}{dx}[(x-2)]} ]
Вычислим производные:
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{2}{2x} – \lim_{{x \to 2}} \frac{-1}{(x-2)^2} ]
Подставляем ( x = 2 ):
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{2}{4} – \frac{-1}{0^2} ]
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{1}{2} + \infty ]
Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x \to 2 ) равен ( \infty ).
Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, дайте знать!