Родился в 1867 году в деревне Брожка Бобруйского уезда Минской губернии в богатой семье потомственных дворян. Окончил Казанское пехотное юнкерское училище, получил назначение в полк, расквартированный в Симбирске.
В 1894 году подал в отставку и поступил инспектором в Рижскую полицию. В 1900 году, благодаря высокой раскрываемости преступлений и незаурядному таланту детектива-криминалиста, назначен начальником Рижской сыскной полиции, а в 1908 году стал главой Московской сыскной полиции.
Аркадий Францевич Кошко разработал уникальную систему идентификации личности преступника, основанную на дактилоскопических и антропометрических данных. В 1913 году в Швейцарии на Международном съезде криминалистов русская сыскная полиция, возглавляемая Аркадием Францевичем Кошко, была признана лучшей в мире.
В 1917 году Аркадий Францевич вышел в отставку, не желая служить Временному правительству, и уехал в имение Подольно в Новгородской губернии, но вскоре собственность национализировали, а прежние хозяева были вынуждены уехать в Москву, откуда также пришлось бежать, опасаясь ареста большевиками. В течение нескольких месяцев Аркадий Францевич возглавлял крымскую полицию генерала Врангеля. В Константинополе открыл свое частное детективное бюро, которое успешно работало около трех лет, пока к власти не пришел Мустафа Кемаль, желавший выслать всех российских эмигрантов в Советский Союз. Аркадий Францевич с семьей получил политическое убежище во Франции. В Париже в период с 1926 по 1929 год вышли три тома воспоминаний Аркадия Францевича Кошко, которые были с восторгом приняты читателями.
Аркадий Францевич Кошко умер в Париже в 1928 году.