1. Основные понятия движения
1.1. Что такое движение
Движение окружает нас везде. Как только мы сами или что-то вокруг меняет свое место в пространстве, происходит движение.
Как описать это? С движением связывают три основных понятия: путь, время, скорость.
Безусловно, в повседневной жизни вы слышали эти слова, но для решения математических задач их нужно оцифровать, измерить.
1.2. Единицы измерения
Чтобы что-то измерить, это сравнивают с чем-то другим, уже известным. Такой известный предмет является измерительным инструментом, например, для длины это линейка. Если быть совсем честным, то сначала существует эталон – некая всемирно признанная вещь, имеющая известную длину, а уже на ее основании делают измерительные инструменты, те же линейки, но для нас это сейчас не важно.
Измерение по линейке происходит просто: прикладываем измеряемую вещь к началу линейки, где указана цифра 0, считаем сколько делений по линейке около конца измеряемой вещи.
На линейке подписаны цифры, которые отражают ее основную единицу измерений, а также маленькие деления без цифр – они показывают самую маленькую единицу, которую различает линейка.
Применим линейку для измерения какого-нибудь предмета.
Например, вот прямоугольный цветной листок-стикер, измерим его линейкой с каждой из сторон. Приложим линейку к сторонам листка, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 1. Измерение короткой стороны листка линейкой
Рисунок 2. Измерение длинной стороны листка линейкой
Мы видим, что короткая сторона составляет 3 см 8 мм, а длинная – 5 см.
Попробуйте измерить линейкой любой предмет с вашего стола, чтобы вспомнить или повторить, как это делается.
1.3. Единицы измерения пути
По существу, путь – это расстояние, пройденное движущимся предметом.
Проиллюстрируем простым примером. Возьмем обычный гвоздик и будем передвигать его по столу слева направо.
В начале движения приложим 0 линейки к точке начала движения гвоздика, как показано на следующем рисунке.
Рисунок 3. Начало пути гвоздика (около 0 линейки)
Передвинем гвоздик, например, к делению 10 см (как на следующем рисунке), путь составит 10 см.
Рисунок 4. Конец пути гвоздика (около 10 см линейки)
Также происходит при движении более крупных объектов: людей, автомобилей, мотоциклов, поездов, кораблей, самолетов.
Только путь у них обычно более длинный, и измеряется большими единицами – километрами. Сокращенное наименование единиц укажем в скобках.
В одном километре (км) 1000 метров (м).
В 1 дециметре (дм) 10 сантиметров (см).
В 1 метре (м) 100 сантиметров (см).
В 1 метре (м) 1000 миллиметров (мм).
Для выполнения сложения и вычитания расстояний нужно, чтобы они были выражены в одних и тех же единицах (метрах, сантиметрах и т.п.)
Сначала нужно научиться переводить расстояния из одних единиц в другие. Посчитаем некоторые соотношения между единицами расстояния.
Задача №1.
Сколько дециметров в 1 км?
1) Вычислим, сколько дециметров в 1 м: 1 м = 100 см, а 1 дм = 10 см.
Получаем, что 100 см : 10 см = 10 дм в 1 м
2) Вычислим, сколько дм в 1 км: 1 км = 1000 м = 1000 * 10 дм = 10000 дм.
Ответ: в 1 км 10000 дм.
Задача №2.
Сколько миллиметров в 1 км?
1) Вычислим: в 1 км 1000 м, в 1 м – 1000 мм, умножаем 1000×1000=1000000 мм
Ответ: в 1 км 1000000 мм.
Для закрепления переведите несколько значений расстояния из одних единиц в другие.
Задача №3. Сколько сантиметров в 10 м?
Задача №4. Сколько дециметров в 30 м?
Задача №5. Сколько сантиметров в 1 км?
Задача №6. Сколько миллиметров в 3 м?
Задача №7. Сколько метров в 10 км?
Теперь научимся складывать и вычитать расстояния, приведя их к одной единице.
Задача №8.
Сначала пешеход прошел 1 км 300 м, затем еще 800 м. Сколько всего прошел пешеход?
1) Переведем расстояние, которое прошел пешеход сначала, в метры:
1 км 300 м = 1000 м + 300 м = 1300 м
2) Сложим расстояния, чтобы получить, сколько всего прошел пешеход:
1300 м + 800 м = 2100 м
3) Выделим целые километры и получим ответ (зная, что 1 км = 1000 м):
2100 м = 2000 м + 100 м = 2 км 100 м
Ответ: всего пешеход прошел 2 км 100 м.
Решите несколько примеров на сложение и вычитание расстояний.
Задание №9. Решите примеры на сложение расстояний
а) 1 км 200 м + 3 км 900 м =
б) 7 км 700 м + 500 м =
в) 760 м + 2 км 460 м =
г) 200 м + 920 м =
д) 4 км 270 м + 7 км 350 м =
Задача №10.
Между деревнями «Высотки» и «Низинки» расстояние 3 км 500 м. Пешеход вышел из деревни «Высотки» и пошел в сторону «Низинок». Он уже прошел 1 км 600 м. Сколько осталось пройти пешеходу до «Низинок»?
1) Переведем расстояние, которое прошел пешеход, в метры:
1 км 600 м = 1000 м + 600 м = 1600 м
2) Переведем расстояние между деревнями в метры:
3 км 500 м = 3000 м + 500 м = 3500 м
3) Вычтем пройденный пешеходом путь из расстояния между деревнями:
3500 м – 1600 м = 1900 м
4) Выделим целые километры и получим ответ (зная, что 1 км = 1000 м):
1900 м = 1000 м + 900 м = 1 км 900 м
Ответ: пешеходу осталось пройти 1 км 900 м.
Задание №11. Решите примеры на вычитание расстояний
а) 3 км 960 м – 2 км 900 м =
б) 4 км 700 м – 1 км 900 м =
в) 5 км 760 м – 2 км 430 м =
г) 1 км 200 м – 900 м =
д) 4 км 270 м – 3 км 350 м =
1.4. Единицы измерения времени
Всякое движение происходит во времени.
Например, показанный ранее на рисунке гвоздик двигали от 0 до 10 см в течение 20 секунд (такой был выбран режим движения для демонстрации).
Время измеряется в секундах, минутах, часах, сутках.
В 1 минуте 60 секунд.
В 1 часе 60 минут.
В 1 сутках 24 часа.
Для решения задач на движение нужно научиться преобразовывать время в разных единицах, складывать и вычитать временные интервалы.
Запишем основные соотношения единиц времени.
1 час (ч) = 60 минут (мин) = 60×60 секунд (с) = 3600 секунд (с)
1 сутки (сут) = 24 ч = 24×60 мин = 1440 мин = 1440 × 60 с = 86400 с
Задача №12.
Велосипедист проехал первый круг за 2 минуты 20 секунд, а второй круг – за 2 минуты 55 секунд. Сколько времени затратил велосипедист на два круга?
1) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на первый круг в секундах: 2 мин 20 с = 2 × 60 + 20 = 140 с.
2) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на второй круг в секундах: 2 мин 55 с = 2 × 60 + 55 = 175 с.
3) Вычислим, сколько времени потребовалось на проезд двух кругов:
140 с + 175 с = 315 с.
4) Выделим целые минуты (помним, что 60 секунд – это одна минута):
315 с = 300 с + 15 с = 5 мин 15 с
Ответ: На два круга велосипедист затратил 5 мин 15 с.
Решите несколько примеров на сложение и вычитание времени.
Задание №13. Решите примеры на сложение времени
а) 1 ч 2 мин + 3 ч 29 мин =
б) 2 мин 45 с + 3 ч 20 мин =
в) 3 ч 7 мин + 2 ч 32 мин =
г) 1 ч 20 мин + 2 ч 53 мин =
д) 35 мин 56 с + 17 мин 35 с =
Задача №14.
Велосипедист проехал первый круг за 2 минуты 20 секунд, а второй круг – за 2 минуты 55 секунд. На сколько велосипедист проехал второй круг быстрее чем первый?
1) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на первый круг в секундах: 2 мин 20 с = 2 × 60 + 20 = 140 с.
2) Вычислим, сколько времени велосипедист затратил на второй круг в секундах: 2 мин 55 с = 2 × 60 + 55 = 175 с.
3) Вычислим, сколько времени потребовалось на проезд двух кругов:
175 с – 140 с = 35 с.
Ответ: Второй круг велосипедист проехал быстрее чем первый на 35 с.
Задание №15. Решите примеры на вычитание времени:
а) 4 ч 2 мин – 3 ч 29 мин =
б) 5 мин 45 с – 3 мин 29 с =
в) 3 ч 7 мин – 2 ч 33 мин =
г) 5 ч 20 мин – 3 ч 51 мин =
д) 35 мин 56 с – 18 мин 37 с =
1.5. Единицы измерения скорости
Скорость – расстояние, которое проходит какой-то объект в единицу времени. То есть, если мы говорим, что скорость составляет 10 км/час, это означает, что за 1 час будет пройден путь в 10 км. За следующий 1 час – еще 10 км и так далее, пока движение не закончится.
Измеряется скорость, в единицах расстояния, деленных на единицу времени.