Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций).Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной(одного аргумента), то уравнение называется
обыкновенным дифференциальным уравнением, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными(в частных производных).
Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:
F (x,y, y',y'',....,y n ) = 0 (1) ,
где F – некоторая функция от переменной х, функции у(х) и ее производных.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Примеры:
xy' = y 2; y' +y = 0; y'' +y' = y/x
Решением дифференциального уравнения называется функция у=f(x),), если при подстановке ее в уравнение, последнее обращается в тождество.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла.
Поэтому решение дифференциального уравнения часто называют его интегралом, а задача нахождения его решений называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
F (x, y,y') = 0 (2)
Дифференциальное уравнение первого порядка содержит:
1) независимую переменную x ;
2) зависимую переменную (функцию) y ;
3) первую производную функции y'.
Важно, чтобы в нем была первая производная , и не было производных высших порядков .
Если уравнение 2 можно разрешить относительно y', то его можно записать в виде: