ВОПРОСЫ, НЕ ОЧЕНЬ СЛОЖНЫЕ…
1. Мир, в котором мы живём
А кто, собственно, мы, и что представляет собою Мир, наша планета Земля, хотя бы в общих чертах? – задавшись как-то подобным вопросом в дождливый осенний денёк, бросил я карандаш, – работа над книгой о явлениях и тайнах Бытия почему-то буксовала, – подошёл к окну и взглянул на соседний домик, напротив… Дом, как дом, – обычный питерский домина типа «корабль», или «пластина», как их ещё называют, – 12 этажей. По два с полтиной метра потолки, перекрытия сантиметров пятьдесят… – метров сорок, поди, ежели с крышей. И вдруг, – погода, видимо, сыграла здесь не последнюю роль, – представил себе, что наш Земной шар уменьшился до размеров этого дома: огромный такой пузырь диаметром в 40 метров, перекатывается на балтийском ветру! Подумалось: а каким же на поверхности такого шарика будет представляться домишко? Да и вообще, можно ли увидеть его?
Прикинул. Подсчитал. Оказалось, можно увидеть, – в хорошую лупу! – махонькая такая песчинка размером в 0,127 миллиметра! А какою же будет на этом шарике, диаметром в 40 метров, представляться вершина Эвереста? – Да незаметным бугорком «высотой» менее 3-х сантиметров!
Так что же получается: вся деятельность населения Земли происходит… – нет, в это нелегко поверить! – она протекает в тонюсеньком слое «плесени» – иначе и не назовёшь! – в слое толщиною не более полумиллиметра, покрывающем наш «пузырь», и то далеко не везде! И это мы-то – цари природы?! – Ха-ха! – Букашками нельзя даже назвать!
Ну, а если всё население Земли собрать вместе, – эту задачку, помнится, уже решил Антуан де Сент-Экзюпери, – собрать на островке, выделив каждому из семи с половиной миллиардов площадь по четверти квадратного метра, то каких же размеров будет сей остров на шарике диаметром в 40 метров? – Оказывается, размером он будет менее 16-и сантиметров! Его даже на картах не отметишь!
О Мире, в котором мы живём
После подобных рассуждений байки о «золотом миллиарде», который-де лишь и способна «прокормить» наша Земля, кажутся, мягко говоря, сомнительными. Так, куда же движется наш мир, и, – главное! – что движет миром?
2. Что движет миром?
«Наш мир движется по пути, начертанном…» – так или приблизительно так начали бы мы отвечать на сей вопрос ещё не в столь далёком прошлом, каких-нибудь три десятка лет назад. Но сейчас, когда начертанные доктрины и «устои» пошатнулись, и каждому из нас приходится в большей степени опираться на свой, – личный, – жизненный опыт и искать базовые устои лишь внутри себя, нам волей-неволей приходится быть к самим себе «честнее».
Я задумался. А, что же во мне есть такого, что заставило бы меня развиваться, двигаться вперёд? Стремление быть лучше? – Чушь! Да разве я так уж плох?! И, вдруг, с удивлением пришёл к выводу: а, ничего нет во мне… – ничего, кроме сплошных ограничений! – Во времени! В средствах! В уме! И тут, словно в подтверждение правоты этой мысли, вспомнилось, – даже не знаю, где, когда и кем сказано было, – «наука начинается там, где возникают ограничения!» – Вот, оно!
А и, действительно, разве станет кто-то из нас куда-то спешить и торопиться что-то делать сегодня – сейчас! – если не будет ограничений во времени?! – Потом сделаю, впереди целая вечность!
Разве будем мы заниматься оптимизацией своих действий, возможностей и ресурсов, если исчезнут ограничения в средствах?! – Да, кому нужны, эти науки, этот «научный подход», эти изнуряющие поиски законов Бытия, когда и так всё нам подвластно и всё «по средствáм»!
Да разве ж захочет кто-то о чём-то, – вообще! – думать и размышлять, если сила нашего ума – безгранична?! Ведь, и всего-то стоит шевельнуть извилиной…
– И такое, «всё могущее», человечество начнёт потихоньку деградировать, а потом и вовсе исчезнет!
Выходит, миром движут ограничения! Лишь в борьбе с ними человечество идёт вперёд. Ну, а что его ждёт впереди, – сияющие вершины или зияющие пропасти? – Это Вопрос!
Я ещё раз глянул на соседний дом, вновь представил 40-метровый Земной шар… А, какие же вехи проходит человек в своём развитии? Существует ли закон, согласно которому человек, – не человечество, а каждый человек, – идёт по жизни?
3. Существует ли закон, в соответствии с которым протекает жизнь человека?
Вопрос оказался неслабый. Я так и застыл у окна в поисках ответа. А и, действительно, существует ли такой закон? – Вехи… – Первый, самостоятельно сделанный шаг… первое сказанное слово… первый школьный урок… первый день на пенсии… – И тут, вдруг! – Меня словно озарило: ну, конечно! Конечно же, это степени числа «2»!
Степенная закономерность хода человеческой жизни
И каков же вывод? А вывод таков: совершеннолетие – это переломный момент в жизни каждого человека! До него человек только ещё начинает (ходить, говорить, учиться…), а после – уже заканчивает (учёбу, работу, жизнь…) – Неслабо!
4. Бесконечность, безграничность…
Я отошёл от окна и, находясь ещё под впечатлением своих «открытий», уселся за письменный стол. Маленький человек и огромный Земной шар! – Огромный… Однако, площадь его поверхности не бесконечна, – всего 510 миллионов квадратных километров. А площадь суши и того меньше: 149 миллионов, – лишь по два гектара на каждого жителя! Но, при конечности размеров он, всё же, – безграничен: его можно обогнуть в любом направлении сколь угодно раз, не встретив ни единой границы! Похоже, не следует путать бесконечность с безграничностью. Не скрою, к подобному выводу приходил я и раньше. Но, чтобы так… чтобы так наглядно…
Ну, что ж, пора вернуться от космических масштабов к размерам и делам обыденным. Я взял карандаш, чистый лист бумаги, но… Нет, работа над книгой, столь удачно прерванная рассуждениями о нашем Бытии, сегодня что-то не клеилась. Машинально согнул бумажный листок пополам, потом ещё…
5. Хотя бы 100 раз…
Интересно, можно ли будет заткнуть эту громадную щель в стене, – тараканью лазейку, – таким, вот, листиком? Естественно, бумажный лист надо согнуть, и согнуть его не один, не два, не пять раз даже… – а вот, если хотя бы 100?
Отлично! Появился ещё один легальный повод «откосить» от работы. Я принялся за вычисления: толщина бумажного листа составляет всего 0,1 миллиметра… если согнуть его один раз, будет уже 0,2 мм; а ежели второй… – что-то, пока ещё неосознанное, вызвало смутную мысль о возвращении в космические просторы, – то получим 0,4 мм – Нет, показалось… Однако, радоваться было рановато.
Уже на 10-м изгибе пачки, – а это, несомненно, была уже пачка! – я получил точное значение толщины её: 10,24 сантиметра! Ну а дальше – понеслось!
20-е «изгибание» пачки, – если подобный термин уместен для выражения механического воздействия на высоченный бумажный столб, – привело к результату почти в 105 метров! Одно утешало: это ещё не космос, это всего лишь… Однако, теперь я уже не мыслил категориями тараканьей щели, – в тёмных облаках сознания тускло замерцал диск ночного светила: а не дотянет ли моя стопка, – этак, на очередном изгибе, – до Луны?
30-й изгиб «пачки» – будем называть этого монстра по-прежнему – к Луне меня ещё не подбросил. Я болтался всего лишь на какой-то сотне километров над Землёй. Но, уже 42-й… – вдоволь налюбовавшись огромным Земным шаром, мерцавшим над какой-то безымянной лунной долиной, я вышел на финишную прямую, которая, несомненно, уж до Солнца-то меня доведёт. Ах, как я ошибался! – Дневное светило проскочил как-то второпях, между 50-м и 51-м изгибами, только и успев махнуть ему ручкой. Теперь я нёсся к зыбким границам Туманности Андромеды, коих благополучно и достиг на 85-м изгибе!
На 100-м складывании листика бумаги перед моим взором замаячили пределы наблюдаемой Вселенной: я находился на расстоянии 12-и миллиардов световых лет от Земли!
6. Расстояние прямой видимости
Я с опаской взглянул на смятый листок бумаги, на тараканью щель, в которой уже торчали чьи-то усы… – нет, книгу этак и начать не удастся! – и твёрдо решил ограничить свой кругозор пределами письменного стола. Ну… ну, может, ещё и домик в окошке прихватить, что напротив, – надо же время от времени бросать куда-нибудь утомлённый взор. Короче, решил я не выходить за пределы расстояния прямой видимости.
И только решил, – нет, не следует путать меня с искателем приключений! – как вмиг представил себя на зыбкой палубе шхуны под «весёлым Роджерсом», пенистые волны до горизонта… и ничего более. И вдруг: «Земля! Земля!» – раздался крик с мачты. Матрос, – его фигурку я заметил не сразу на «вороньем гнезде», – со своей высоты что-то разглядел…
Расстояние прямой видимости… – оно, ведь, как-то зависит от высоты наблюдения, – вспомнилось из курса физики за 7-й класс. Взял карандаш, разгладил тот самый, злополучный, листок бумаги и…
К вопросу об определении расстояния прямой видимости
Ну а если без канители, – «гипотенуз» там, «катетов»… – взять и определить навскидку расстояние до того домишки, перед которым чудился Земной шарик. – На пальцáх. Что, – слабó?
7. Определение расстояний с помощью… пальцев
Я подошёл к окну, вытянул правую руку с оттопыренным большим пальцем и, прищурив левый глаз, совместил палец с домом. Затем, не меняя положения руки, взглянул на палец левым глазом, отметив расстояние, на которое палец «сместился» от дома вправо. Оценить это расстояние труда не составило: зная, примерно, высоту этажа, я сравнил её со «смещением» пальца: оно оказалось равным 5-и этажам, по три метра каждый, одним словом – 15 метров. Теперь осталось, – и делов-то! – умножить это значение на «10» и получить примерное расстояние до дома: 150 метров.
Этому простому, но верному, способу обучили нас ещё в 5-м классе! – Учителя. Они тогда были…
Об определении расстояния «на пальцáх»
Да, были в наше время учителя! Ну, кто бы, коль не они, смог научить меня точно проводить биссектрису любого угла (говоря попросту, делить угол пополам) без каких-либо измерительных инструментов?! А делается это столь просто… что и делать нечего!
8. Как быстро и точно разделить угол пополам, не пользуясь измерительным инструментом?
С подобной задачей наиболее часто приходится иметь дело столярам и плотникам, да и вообще всем, кто привык добывать хлеб насущный своим трудом, своими руками… и головой.
Быстрое и точное деление угла пополам без измерительных инструментов
Помнится, учили нас не только этому, а ещё много чему. Скажем, заплутал человек в лесу, – а ни компаса у него, ни часов; да и денёк пасмурный выдался, солнышка не видать! – и как ему быть, горемыке? – Стороны света определять по замшелым стволам? Ну, это не всегда сработает, да и точность маловата. Однако есть, правда, один хороший способ… Эх, а как же моя книжка-то?! Ну да ладно!
9. Определение сторон света по квартальным столбам в лесу
Думаю, каждому, и не раз, приходилось бывать в лесу: берёзки, ели, осины, дубы… И средь этой круговерти одревенелых великанов, застилающих взор, довольно легко заблудиться. И вот, тогда… Тогда бедолага начинает ходить по лесу кругами, вконец выбиваясь из сил. Только представить себе: потеря физических сил на фоне морально-психологического стресса! – А вдруг, из лесу до ночи не выйти, а вдруг, ливень хлынет… а вдруг… Ему бы только, – всего лишь разок! – определиться поточнее: север, юг, восток, запад… – и тогда уж… Тогда он пойдёт по прямой в нужном направлении, ломая сучья, ветви и уже не отвлекаясь на поиски белых там, красных… и прчих сыроежек!
А пока мы, уважаемый Читатель, не в лесу, а в уютной тёплой квартирке, давай, задумаемся, – а почему, собственно, заблудившийся в лесу ходит кругами? Вопрос интересный. Первое, что приходит на ум: по прямой мешают идти деревья, растущие где попало. Верно. Однако, они мешают идти по прямой, с одинаковой вероятностью заставляя блудягу сворачивать и вправо, и влево. Но, он-то, – и этот факт никто не оспаривает! – ходит кругами! А значит, сворачивает, преимущественно, в одну сторону: кто влево, кто вправо. Говорят, что здесь проявляется антропологический фактор: длина шагов правой и левой ног у человека разная… а при отсутствии чётких ориентиров, столь привычных в условиях города… – ну, вроде, с этим понятно. Только вот, как это обстоятельство обратить во благо?
Я где-то читал, – уж и не помню, – что природа, загадывая нам загадки, никогда не обманывает, а, более того, – сама же на разгадки и наводит. А что если и здесь, в лесу… Скажем, по прямой «пилить» мешают деревья, заставляя давать кругали. Ну а если круги нарезáть по спирали, всё время увеличивая их радиус… – короче: только бы выйти на просеку! И вот, тогда… – Тогда надо идти по этой просеке в любую сторону, до пересечения с другой, такой же. А на пересечении этих двух просек почти всегда можно встретить «квартальный» столб! – Не встретил? Иди тогда по просеке дальше, километра два, – встретишь обязательно!
К слову, о квартальных столбах. Дело в том, что любой лесной массив делится просеками на «кварталы»: их нумерация идёт с запада на восток, спускаясь с севера к югу. В центре каждой четвёрки таких кварталов и ставится квартальный столбик, отражая на грани, обращённой к соответствующему кварталу, его номер. Вот, и все дела! – Направление на север будет, естественно же, указывать ребро столба между гранями с минимальными числами.
К определению сторон света по квартальным столбам
Однако, на этом «открытия» нашего лесного бродяжки не закончились. Столь счастливо разобравшись по квартальному столбу со сторонами света, он, осмелев и воспряв духом, может рискнуть определить и своё местоположение в лесу, а именнно: прикинуть протяжённость леса с запада на восток и найти (приближённо, конечно же) местоположение спасительного столбика по отношению к начальной (северо-западной) точке лесного массива. Полезно иметь в виду, что в большинстве случаев стороны лесных кварталов не превышают 2-х (и лишь иногда 4-х) километров.
10. Прикидка местоположения в лесу по квартальным столбам
Как прикинуть местоположение в лесу
Пожалуй, что-либо добавлять будет излишне. Вот только… – Ну, где это видано, чтобы леса были такие аккуратные: квадратики, прямоугольники?! Однако, для прикидки способ, думаю, сгодится. Что ж, дорогой Читатель, я ни минуты о тебе не забываю, – даже и в мыслях нет отбирать твой кусок хлеба! – ты вполне можешь дополнить мои «рассуждения» и своим видением проблемы: одним словом, внести коррективы, раскритиковать впух и впрах, а то и… – Но, только по-дружески.
Ну, что ж, местоположение в двумерном пространстве определить, пожалуй, можно. А как же быть с пространствами N-мерными? Не то, что определиться в них, а представить хотя бы.
11. Построение модели N-мерного пространства любой размерности
Начнём с простого. Не вызывает сомнений, что 0-мерное пространство – это геометрическая точка, не имеющая размера. Трудно представить себя в таком пространстве… но, люди-то живут! Правда, передвигаться в таком пространстве невозможно.
Если же мы имеем возможность сделать бесконечно малый шажок из нашей точки вправо и влево и, выйдя за её пределы, оказаться в таких же точках, откуда тоже можно шагнуть… то это означает наше нахождение в 1-мерном пространстве. Здесь уже легче дышится, но всё одно – ерунда: передвигаться можно лишь по прямой!
Ну, а если мы имеем возможность сойти с каждой точки нашей прямой и выйти за её пределы вправо или влево, попадая на другие прямые… – здесь уже можно давать какие угодно кругали, но – только на плоскости. – Это уже 2-мерное пространство.
Пойдём дальше. Теперь нам хотелось бы выйти за пределы нашей плоскости, получив возможность попасть из каждой её точки на соответствующие точки других двух таких же плоскостей. И это наше желание вполне оправдано: ведь, мы попадаем в родное 3-мерное пространство, где можно и побегать, и попрыгать, и полежать… и даже полетать на самолёте!
А теперь, кто посмелее, может сделать шаг вправо, шаг влево из нашего пространства, попасть в соответствующие точки двух других, таких же пространств… – и он окажется в 4-мерном пространстве. Если поупражняться, то ничего сложного. Жизнь в 4-мерном пространстве протекает спокойно, без времени. Для каждого бесконечно малого периода жизни уже заготовлена своя 3-мерная проекция. Со стороны, Читатель, ты увидишь себя неподвижным и размазанным по всем 3-мерным проекциям 4-мерного пространства. В одной – молодым, в другой – постарше, в третьей… – и никакого движения во времени! – Красота!
Но, самое-то интересное в том, что мы не знаем, в каком из пространств находимся, – в 3-мерном ли, с часами на руке «для отмазки», с понятием о времени и с мыслью в голове, что всё определяется нашим выбором и нашими желаниями, или в 4-мерном – где все наши поступки уже заранее предрешены, а нам лишь остаётся их совершить.
Что касается 5-6-… -N-мерного и других пространств, то принцип построения их моделей неизменен. Но, вот, как себя в них представить? Да и, стóит ли? – С одним лишь четвёртым измерением хлопот под завязку! Вспоминаю тут один забавный случай. Опишу его подробно.
…И снова мимо!
Длина, шиpина, высота – всё было, как и пpежде или, веpнее, почти как пpежде. И всё-таки! Ну как же, всё-таки, опpеделиться в этом дуpацком пpостpанстве? Ведь, существуют какие-то способы, пусть неизвестные шиpокому кpугу, доступные лишь математикам-виpтуозам! Но, существуют же они, в самом-то деле!
Лоб, взмокший от пота, беспомощно опущенные pуки… в голове гудит, стучит в висках…
Ну как же она тяжела, эта битва за пpостpанство!
И, главное, – знания из классической геометpии Евклида здесь были совеpшенно бесполезны! Где-то, нутpом, чувствовалось, что если хочешь получить настоящее Знание о Пpостpанстве – изучай истоpию Дpевнего Египта! Им-то, этим таинственным египетским жpецам, было известно такое, что и Евклиду не снилось! – А точнее, до него пpосто не дошло!
И тут же в памяти всплыли картинки из учебника Истории Древнего мира для пятого класса: фрески с угловатыми фигурками древних египтян… В Древней Греции, в Риме люди как люди: бравые кондовые мужики, а тут… – кособокие какие-то (ежели судить по фрескам). А геометрию, вот, знали!
И то пpавда! Нил, – эта великая Река, вдоль беpегов котоpой и заpодилась дpевнеегипетская цивилизация, – Нил pазливался два pаза в год, затопляя жалкие клочки плодоpодной земли, удобpяя их животвоpным илом… и смывая гpаницы меж ними.
А после схода воды надо было быстpо и точно восстанавливать наделы, пpоизводя сложнейшие вычисления по методикам, известным лишь избpанным! – Вот где была настоящая Геометpия!
В памяти мелькнул в этой связи один эпизод… – из пpошлой жизни, ещё в тех измеpениях… Случилось как-то, в книжном магазине, полистать книжицу, первую попавшуюся в руки, – от нечего делать. А пеpвой попалась «Аpифметика для пpеподавателей сpедней школы». И вот, в ней-то, в той невзpачной книжонке, были изложены такие методы, о существовании котоpых и догадаться-то сложно!
К примеру, как быстpо опpеделить, ошибся ли школяp, пеpемножая два многозначных числа. – Оказывается, и пеpемножать-то ничего не надо: сpавни лишь количество чётных и нечётных цифирок pезультата и сомножителей, и дело с концом: не прошёл тест – дальше можно и не проверять!
Вот бы и здесь так!
А пиpамиды! – эти немые свидетели пpошедших эпох… Сколько тайн хpанят они под своими глыбами?! Что символизиpуют они, застывшие исполины? – Величие Неба? – Ничтожество людей? А может, связь между тем и другим?
Или тайна многомеpности пpостpанства? В сколь-мерном пространстве мы обитаем? Одни говорят, что в двенадцати- другие, – всего лишь в восьмимерном. А третьи… – на какой-то там грани проекции.
Многомеpность! Как часто, объясняя наш многомерный мир, скатываются к полнейшей профанации: мол, живём мы в трёхмерности, а четвёртое измерение – это время! – Чушь! Если уж говорить о четырёхмерном пространстве, то по всем осям его должны быть неизменные единицы: длина… – в метрах!
А что если попpобовать с дpугого конца? – Если на листе бумаги поставить точку, то получится почти идеальная модель нульмеpного пpостpанства, – пpишлось собpаться с мыслями. А как выйти из нуль-мерности в одномерность? Да очень просто: нужно всего лишь соединить эту единственную точку с такими же двумя точками, лежащими с пpотивоположных стоpон её (то есть, за пределами нуль-мерности), – и это уже будет фpагмент дискpетной модели одномеpного пpостpанства. – Пока, в теоpии, всё шло ноpмально. Полегчало. Рассуждения потекли более стpойным потоком:
Тепеpь, если каждая точка одномеpного пpостpанства пpиобpетёт двустоpоннюю связь с дpугой паpой точек, не пpинадлежащих этому пpостpанству, то можно выйтим за pамки одномеpности и попасть уже в двумеpное пpостpанство. Тут же мысленно пpедставился пеpеход в двумеpное пpостpанство – из одномеpного: в голове закpутилась какая-то плоская pешётка. Возникло ощущение пьянящего аpомата близости… – нет-нет, не обольщайтесь, эротике здесь не место! – близости веpного pешения!