ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆x, когда ∆x произвольным образом стремится к нулю.
Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен + или – бесконечности, говорят, что существует бесконечная производная.
Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x0 , то говорят, что она дифференцируема в точке x0.
Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.
Примеры:
Движение автомобиля, поезда, человека и т.д.
Но можно говорить и о других смыслах: например,экономическом:
Скорость падения акций на рынке ценных бумаг, изменение курса валют, падение покупательского спроса на определенные виды товаров, изменение инфляции, зарплаты и т.д.
Правило 1
Если функции U и V дифференцируемы в точке x0, то их сумма также дифференцируема в точке x0, при чем производная суммы равна сумме производных, т.е. (U + V)' = U' + V'.
Правило 2
Если функции U и V дифференцируемы в точке x0, то их произведение также дифференцируемо в точке x0, при чем (U x V)' = U'V + UV'.
Правило 3
Если функции U и V дифференцируемы в точке х0 и (х0 ) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, при чем (U/V)' = (U'V – UV')/V^2.
Правило 4
Если функция U дифференцируема в точке x0 и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x0 , при чем (C*U)' = C*U'.
Правило 5
Если f(g(х)) – сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.
[f(g(х))]'= f'(g)*G'(x).
Опираясь на математическое определение производной, а также на ее физический и геометрический смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.
Давайте подключим к этому процессу нейросети.
Пример 1. Найти производную функции y = sinx и описать по шагам.
GPTutor
Конечно, давайте найдем производную функции ( y = \sin x ) пошагово.
Шаг 1: Запись исходной функции
У нас есть функция:
[ y = \sin x ]
Шаг 2: Применение правила дифференцирования для синуса
Известно, что производная синуса ( \sin x ) по переменной ( x ) равна косинусу этой переменной ( x ):
[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]
Это основное правило, которое используется для дифференцирования синуса.
Шаг 3: Запись производной
Используя правило из шага 2, мы получаем:
[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]
Таким образом, производная функции ( y = \sin x ) равна ( \cos x ).
Эти шаги демонстрируют процесс нахождения производной с использованием базового правила дифференцирования для синуса. Если у вас еще есть вопросы или нужно что-то еще объяснить, пожалуйста, сообщите!
А что же по этому примеру думает МАША?! (ChatGPT на русском: ChatGPT онлайн MashaGPT)
Производная функции ( y = \sin x ) равна:[ \frac{dy}{dx} = \cos x ].