Глава 1 Специальная теория относительности
Чтобы понять, что такое черные дыры, нам придется познакомиться с теорией относительности. Эта теория делится на две части: «специальную» и «общую» – их часто сокращенно обозначают СТО и ОТО. Специальную теорию относительности Альберт Эйнштейн предложил в 1905 году: он рассматривал движение объектов друг относительно друга и то, как движение наблюдателя влияет на восприятие им пространства и времени. Главные идеи специальной теории относительности можно сформулировать в рамках очень красивой геометрической концепции, которая называется «пространство-время Минковского».
Позже эта теория стала частью общей теории относительности, в которой центральным встал вопрос о природе тяготения. Общая теория относительности и понадобится нам, если мы хотим понять, что такое черная дыра. Эйнштейн разрабатывал эту теорию много лет и только в конце 1915 года подвел итог своих исследований в статье, главным в которой были так называемые уравнения гравитационного поля, – с тех пор они носят имя их автора. Уравнения Эйнштейна описывают, как искривляется пространство-время Минковского под влиянием тяготения. В результате с их помощью можно описать геометрию шварцшильдовской черной дыры – об этом мы поговорим подробно в главе 3. Из-за того, что в специальной теории относительности тяготение не принимается во внимание или считается настолько слабым, что им можно пренебречь, специальная теория относительности выглядит гораздо проще, чем общая. Именно в рамках специальной теории относительности была выведена формула E = mc², связывающая энергию тела E, его массу m и скорость света c, – одно из самых знаменитых уравнений во всей физической науке, а может, и вообще одна из главных вершин человеческого знания. Применение этой формулы позволило высвободить гигантскую энергию, скрытую в атомных ядрах, – эта энергия используется в атомном оружии. А теперь мы надеемся, что слияние ядер сможет стать для человечества практически неисчерпаемым источником энергии, не загрязняющей к тому же окружающую среду. Формула E = mc²имеет прямое отношение и к физике черных дыр. При первом наблюдавшемся астрономами слиянии черных дыр выделилась энергия, эквивалентная трем массам Солнца, что и стало прямой иллюстрацией эквивалентности массы и энергии. Чтобы представить себе, насколько огромны масштабы этой космической катастрофы, вспомним, что при взрыве атомной бомбы мощностью в 400 килотонн выделяется энергия, эквивалентная массе всего в 19 грамм.
Специальная теория относительности тесно связана с теорией электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла. Первые ростки релятивистского взгляда на пространство и время появились в конце XIX века: тогда были выведены так называемые преобразования Лоренца, которые показывают, как восприятие наблюдателем электромагнитных явлений зависит от характера движения этого наблюдателя. А самое распространенное электромагнитное явление – это свет, который является просто движущейся в пространстве волной связанных друг с другом электрического и магнитного полей. Из теории Максвелла следовало, что у света есть определенная скорость распространения. Теория относительности была основана на идее, что эта скорость постоянна и независима от движения наблюдателя.
В специальной теории относительности движение наблюдателей описывается в терминах «систем отсчета». Чтобы наглядно представить себе роль системы отсчета, вообразим скорый поезд. Если все пассажиры уселись на свои места и багаж аккуратно уложен, все в поезде находится в покое по отношению к стенкам и полу вагона. Но ведь поезд при этом быстро мчится по отношению к Земле. Представим себе, что он движется по прямой с постоянной скоростью. Чтобы вполне точно описать понятие системы отсчета, мы вдобавок должны допустить еще полное отсутствие поля тяготения. То есть вместо поезда, мчащегося с постоянной скоростью по земной поверхности, лучше бы представить себе космическую ракету, летящую в пустом пространстве. Правда, поле силы тяжести Земли достаточно слабое, чтобы для наших целей мы в поезде могли не принимать его во внимание: тогда можно обойтись специальной теорией относительности, не прибегая к общей.
Итак, если мы не будем смотреть в окно, нам трудно будет сказать, с какой скоростью движется поезд. А если допустить, что поезд имеет фантастически мягкую подвеску, рельсовый путь – невообразимо гладкий, а шторы на всех окнах наглухо опущены, будет, пожалуй, невозможно определить, движется ли наш поезд вообще. Поезд представляет собой систему отсчета – в этой системе пассажиры могут естественно определить, движется ли что-нибудь внутри вагона. Но в нашей идеализированной ситуации они не смогут сказать, движется ли сам поезд. Вот если кто-то отправится на прогулку по проходу между креслами, пассажиры, конечно, будут это знать: он же перемещается относительно их системы отсчета! Больше того, любое физическое явление, происходящее внутри поезда, например отскоки от пола мячика или вращение спиннера, будет с точки зрения пассажира происходить всегда одинаково, независимо от того, движется поезд или стоит на месте. Короче говоря, система отсчета – это способ, которым наблюдатель воспринимает связанное с ним пространство и время в состоянии равномерного движения, то есть когда поезд не ускоряет и не замедляет свой ход, и к тому же не поворачивает. Как только что-то из перечисленного произойдет, пассажиры тут же это заметят: например, резкое ускорение вдавит их в спинки кресел, а при торможении их бросит вперед.
Давайте теперь представим себе, что наш поезд, не останавливаясь и даже не замедляя хода, проходит мимо станции. Пассажиры – назовем их Алиса, Алан и Авери – это наблюдатели в движущейся системе отсчета, которую мы назовем системой A. Тем временем их друзья Боб, Бетси и Билл стоят на платформе и их система отсчета, которую мы будем называть системой Б, неподвижна. Чтобы изобразить эти системы графически, будем отмечать положения, измеренные в системе Б, по горизонтальной координатной оси, а измеренное в этой системе время по вертикальной. Теперь нанесем на координатную плоскость траектории наших наблюдателей в пространстве и во времени: получается, что с течением времени наблюдатели в системе Б всегда остаются в одних и тех же положениях (измеренных в этой системе), тогда как наблюдатели из системы А движутся вперед. Получившаяся диаграмма и есть изображение пространства-времени Минковского! Выражение «пространство-время» отражает тот факт, что мы изображаем пространственные и временные координаты на одной и той же диаграмме.
Но можно взглянуть на пространство-время Минковского с другой точки зрения: в соответствии с ней, наблюдателей из системы A можно представить покоящимися, а те, что находятся в системе Б, будут двигаться назад. Мы вернемся к этому чуть позже.
Специальная теория относительности базируется на предположении, что скорость света постоянна. Другими словами, теория исходит из того, что скорость света имеет одно и то же значение, измеряется ли она наблюдателями в поезде или теми, кто стоит на платформе. Если бы это было не так, тогда, измеряя скорость света, наблюдатель мог бы определить, в которой из этих двух систем он находится. А главный физический принцип – принцип относительности – в том и состоит, что законы физики должны быть абсолютно одинаковы в любой системе отсчета и что никакое физическое измерение не может вам подсказать, в какой системе находитесь вы. Так что, согласно этому принципу, мы не можем выбрать какую-то систему отсчета и сказать: «Пока я остаюсь в этой системе, я нахожусь в состоянии покоя. Движение означает переход в другую систему». Мы можем только сказать: «Каждая система отсчета не лучше и не хуже любой другой. Единственное, что можно назвать движением, – это перемещение одного наблюдателя относительно другого». Иначе говоря, состояние движения не абсолютно, а относительно. А значит, неправильно говорить, что система А движется, а система Б покоится. Все, что мы можем сказать, – это что они движутся друг относительно друга. (Хотя, конечно, мысль о том, что система Б покоится, нам кажется более естественной, потому что мы подсознательно всегда рассматриваем движение относительно Земли.)
Рис. 1.1. Слева: пространство-время Минковского. Три наблюдателя из системы отсчета Б неподвижны, а три наблюдателя из системы А движутся вперед. Справа: другая перспектива пространства-времени Минковского, в которой наблюдатели из системы Б движутся назад, а наблюдатели из системы А покоятся.
Получается, что наши интуитивные суждения об относительном движении исходят из здравого смысла, и стоит спросить себя: не можем ли мы из этих представлений извлечь какой-нибудь способ объяснения природы пространства и времени? Здесь нам на помощь приходит максвелловская теория электромагнетизма. Ведь из нее следует (кроме всего прочего), что если Алиса вытащит лазерную указку и пошлет лазерный импульс вперед, в сторону, в которую мчится ее поезд, и то же самое сделает Боб, то эти два лазерных луча полетят вперед с одинаковой скоростью.
На первый взгляд, ничего особенного – но только на первый взгляд! Ведь, например, если мы разгоним наш поезд до 99 % скорости света (хотя в Америке, как всем известно, поезда ходят гораздо медленнее), то разве для Боба скорость луча, посланного по ходу поезда Алисой, не окажется равной почти двойной скорости света? Ведь Алиса мчится к Бобу со скоростью в 99 % световой, а ее лазерный луч мчится со скоростью света относительно нее – значит, измеренная Бобом скорость ее лазерного луча составит 199 % скорости света?
Так вот, в соответствии с теорией электромагнетизма, этого не произойдет! Скорость луча, измеренная Бобом, будет в точности равна все той же постоянной скорости света, которую Алиса получит, измеряя движение того же импульса относительно себя.
Как это может быть? Ответ заключается в том, что Алиса и Боб по-разному измеряют ход времени и длину. В подробностях эта процедура измерения выражается преобразованиями Лоренца – математическим описанием связи времени и длины в системе А с временем и длиной в системе Б. Преобразование Лоренца легко записать в терминах пространства-времени Минковского. До того как мы провели преобразования Лоренца (левая часть рис. 1.1), мы можем считать систему Б покоящейся, а систему А движущейся вперед. После выполнения преобразований Лоренца (правая часть рис. 1.1) система А становится покоящейся, а система Б движется назад! Преобразования Лоренца, таким образом, просто описывают смену точки зрения: от позиции Боба, который считает покоящейся свою систему отсчета, к позиции Алисы, для которой покоится как раз ее система.
Главные следствия преобразований Лоренца – замедление времени и сокращение длины. Мы сначала попробуем объяснить замедление времени – это проще. Представьте, что в полдень пятницы вы садитесь в поезд на станции Принстон. Для удобства будем считать, что эта точка во времени и пространстве соответствует началу координат в пространстве Минковского, то есть точке, где пересекаются оси t и x. Через станцию Принстон идут как скорые, так и обычные поезда, причем некоторые идут на север, в Нью-Йорк, а некоторые на юг, в Филадельфию; вы можете сами выбрать вид поезда и направление. Ваш план такой: сесть в поезд, ехать в нем ровно час (по вашим часам), затем сойти и отметить расстояние, на которое вы отъехали. Ясно, что если выбрать скорый поезд, то уедешь дальше. Но будьте осторожны: можно ли считать, что если поезд идет вдвое быстрее, он увезет вас вдвое дальше? Не забывайте, что вы едете ровно один час по вашим часам, которые тоже едут с вами. А скорость поезда будут измерять наблюдатели, которые стоят на неподвижной платформе и часы у которых идут немного иначе, чем у вас, – ведь они находятся в другой системе отсчета.
Где же вы тогда окажетесь через час? Возьмем более общий случай: пусть вы пришли на вокзал в Принстоне с друзьями. Каждый из вас выбрал себе какой-нибудь поезд, и все выехали из Принстона в одно и то же время. Где каждый из вас окажется через час? Ответ: каждый из вашей компании очутится в какой-то точке гиперболы в пространстве-времени Минковского (рис. 1.2). Эта гипербола – множество всех возможных конечных точек, в которых пассажиры разных поездов окажутся ровно через час своего собственного времени. И одним из таких конечных пунктов окажется сам вокзал в Принстоне, ровно в 1 час пополудни по принстонскому времени. Вы окажетесь в этой точке через час после «отправления» вашего поезда, если вы, как знаменитый «рассеянный с улицы Бассейной», умудрились сесть в отцепленный вагон, который весь этот час простоял на одном месте. Получилось, что в 1 час пополудни по принстонскому времени вы «приехали» в Принстон – ведь ваша система отсчета совпадает с системой отсчета принстонского вокзала, а ваши часы идут в точности так же, как и вокзальные. А вот если вы действительно куда-то поехали, ваши часы пойдут медленнее вокзальных. И когда через час вашего времени вы сойдете на платформу, вы увидите, что неподвижные часы показывают более позднее время, чем должно быть по вашим. Этот эффект, известный как замедление времени, в пространстве-времени Минковского изображается искривлением гиперболы кверху в направлении оси времени, тем более сильным, чем больше вы отдаляетесь от начала вашего движения.[1] А пространство-время Минковского даже называют иногда гиперболической геометрией.
Рис. 1.2. Поезда, отправляющиеся из Принстона. Кривая, объединяющая точки, в которые пассажиры попадают через час собственного времени, – гипербола.
В пространстве-времени Минковского постоянную скорость света мы визуализируем световыми лучами под углом ровно 45° относительно вертикальной оси времени. Можно заметить, что гипербола, образованная всеми возможными конечными пунктами наших одночасовых путешествий, целиком лежит внутри области пространства-времени, ограниченной двумя световыми лучами, выходящими из начала координат. Так в пространстве-времени Минковского отражается тот факт, что никакой поезд не способен двигаться быстрее света. Может показаться, что наши разговоры о замедлении времени не имеют отношения к преобразованиям Лоренца. Сейчас мы покажем, что это совсем не так. Вспомним, что мы когда-то решили назвать систему отсчета поезда системой А, а систему отсчета, связанную с Землей, – системой Б. Пусть Алиса проводит один час в системе А по дороге из Принстона в Нью-Йорк. А тем временем Боб и его друзья остаются неподвижными по отношению к Земле. Как они могут узнать время прибытия Алисы? Может, ей стоит позвонить им с вокзала? Вряд ли это разумно: ведь радиоволны, несущие ее голос, распространяются со скоростью света, а значит, чтобы узнать время ее прибытия, Бобу и его друзьям придется проделать вычисления, в которых надо будет учесть время приема звонка Алисы, скорость распространения сигнала и расстояние до Нью-Йорка. Так как Бобу лень заниматься такими сложными подсчетами, он придумывает лучший способ: он сверяет – синхронизирует – свои часы с часами своего друга Билла. Затем Боб и Билл выбирают себе позиции на платформах в Принстоне и Нью-Йорке соответственно, и Боб засекает время отправления Алисы, а Билл – время ее прибытия. Нужды в телефонном звонке больше нет. Правда, может показаться, что трудно надежно синхронизировать часы у наблюдателей, далеко расположенных друг от друга. Для этого можно предложить следующий способ: Боб и Билл встречаются на полпути между Принстоном и Нью-Йорком, синхронизируют свои часы в одной и той же точке пространства, а потом с одинаковой скоростью отправляются на свои вокзалы, задолго до того, как Алиса садится в свой поезд. Во всей этой истории с поездкой Алисы система А оказывается в явно привилегированном положении: Алиса не нуждается в помощи друзей, чтобы узнать продолжительность своего путешествия, тогда как Боб и Билл должны для измерения этого времени производить сложные совместные действия. Временной интервал, который измеряет Алиса, называется «собственным временем», так как она измеряет его, оставаясь неподвижной в своей системе отсчета (системе А). А временной интервал, который измеряют Боб и Билл, – назовем его «замедленным временем», – всегда будет больше собственного. Замедленное, или растянутое, время и есть выражение связи между системой А и системой Б в пространстве-времени. Преобразование Лоренца при переходе от системы А к Б содержит замедление времени.
Подобным образом можно описать и сокращение длины. Теперь вместо надоевших уже прогулок в поездах давайте представим себе, что Боб, Билл и Алиса едут на Олимпиаду, где Алиса надеется установить мировой рекорд по прыжкам с шестом. Ее секрет в том, что она умеет очень быстро бегать: со скоростью в 87 % скорости света! (Почему-то она при этом не хочет отбирать лавры Усейна Болта на стометровке, хотя знает, что эту дистанцию она преодолеет менее чем за 0,4 микросекунды.) У Алисы шест длиной 6 метров – это длиннее, чем у большинства прыгунов, но что поделаешь, она во всем исключительная. Боб и Билл не верят, что у Алисы такой длинный шест, и они решают измерить его, пока Алиса разбегается для прыжка, держа при этом свой шест строго горизонтально. Ясное дело, задача у них непростая. Как им провести свои измерения? Вот что они придумали: во-первых, они опять синхронизуют свои часы. Затем они становятся на расстоянии немного меньше шести метров друг от друга и договариваются, что точно в одно и то же время, когда Алиса будет пробегать мимо них, они посмотрят на нее и отметят, какую точку шеста видит каждый. После многих попыток им удается добиться такого положения, при котором Боб видит конец шеста в тот момент, когда Билл видит его острие. Они измеряют расстояние между собой, и оказывается, что они стоят всего в 3 метрах друг от друга, из чего они разумно заключают: длина шеста Алисы всего 3 метра. Но когда они подходят к Алисе и рассказывают ей об этом, та возражает. Позвав на помощь двух своих друзей Аллана и Авери, которые бегут рядом с ней (а они такие же замечательные спринтеры, как и сама Алиса), и измерив длину шеста в своей собственной системе координат, она подтверждает, что эта длина равна 6 метрам.