Занятие 3 Вдоль по Африке, или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех
Но папочка и мамочка уснули вечерком,
А Танечка и Ванечка – в Африку бегом, —
В Африку!
В Африку!
Школьники часто начинают решение задачи с поиска подходящего примера. Но тут встают три вопроса. Как такой пример подобрать? В каких случаях достаточно привести один пример для полного решения задачи? Что делать в остальных случаях? На этом занятии мы постараемся научиться отвечать на самый простой вопрос, но от этого не менее важный: на второй. Умение отличать решенную задачу от нерешенной – основа математической культуры. Отвечать на первый вопрос помогут другие выпуски нашей серии, а на третий – только годы занятий.
При составлении этого занятия мы вновь постарались учесть интересы разнородного по составу кружка. Вопрос применимости примеров и контрпримеров актуален прежде всего для начинающих, сложность задач для самостоятельного решения на приведение примера разнообразна, а рассуждения про пустое множество и парадоксы про Деда Мороза достаточно сложны. Чисто логические вопросы можно разбавить конструктивами по вкусу.
Во введении обсуждается применимость примеров (в том числе контрпримеров) к доказательству и опровержению частных и общих высказываний. Истинность таких высказываний предлагается определить и в большинстве задач. Но мы сознательно нарушили чистоту жанра, включив в занятие задачи 3.6 и 3.7 с вопросом «можно или нельзя?», в которых фактически требуется определить, что верно: частное высказывание или его отрицание.
Надеемся, что пяти- и шестиклассникам будет интересно разыграть сценку с Танечкой и Ванечкой в начале занятия. Текст четырем «артистам» стоит выдать заранее, но учить его наизусть незачем, пусть подглядывают в шпаргалки. Таблицу рекомендуем изобразить на доске, можно с сокращениями.
Более опытных кружковцев могут заинтересовать два сюжета. Первый связан с гипотезами Гольдбаха (задача 3.2). Это уникальный случай, когда формулировка совсем недавнего выдающегося математического достижения понятна школьнику. Участники кружка могут совместными усилиями проверить гипотезу Гольдбаха для чисел из первой сотни (если каждому поручить свой отрезок числового ряда), осознать необходимость доказательства, а затем узнать историю проблемы и вместе порадоваться успеху Хельфготта.