Глава
I
Основные положения квантовой механики
1.01.Введение(01)
1.02.Состояние(08)
∆x∙∆px ≥ ћ/2
∆x∙∆vx ≥ ћ/2m
1.03.Принцип суперпозиции(12)
ψ = Σcmψm
1.04.Физический смысл ψ функции(14)
ψ = ψ(x,y,z) dV = dx·dy·dz
dP = |ψ|2dV = ψ*ψdV
∫|ψ|2dV = ∫ψ*ψdV = 1
ψ = ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)
dP = |ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)|2dV1dV2
<r> = ∫rdP = ∫r|ψ|2dV = ∫ψ*rψdV
U = U(x,y,z)
= ∫ψ*UψdV
1.05.Уравнение Шредингера(16)
∇2 ≡ ∆
U = U(x,y,z) не зависит от t:
ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z)f(t)
левая часть равенства – функция координат, правая –времени,
следовательно, равны константе
f = e−(i/ћ)Et
стационарное уравнение Шредингера:
ψ(x,y,z,t) = φ(x,y,z) e-(i/ћ)Et
|ψ|2 = |φ|2
уравнение Шредингера для стационарных состояний
(φ заменяем на ψ !!!)
уравнение Шредингера для свободной частицы:
U = 0
k2 = 2mE/ћ2 = p2/ћ2 E = mv2/2 = p2/2m
∆ψ + k2ψ = 0
1)одна координата x:
k2 = kx2
∆ψ = ∂2ψ /∂x2
∂2ψ /∂x2 + k2ψ = 0
ψ(x) = e±ikx
ψ(x,t) = e±ikxe− (i/ћ)Et = e −(i/ћ)(Et ∓ ћkx) = e −(i/ћ)(Et ∓ px)
ω = E/ћ k = p/ћ -для волны
2)все координаты:
k2 = kx2 + ky2 + kz2
∆ψ = ∂2ψ/∂x2 + ∂2ψ/∂y2 + ∂2ψ/∂z2
kr = kxx + kyy + kzz
ψ(x,y,z) = e±ikr
ψ = C1eikr + C2e−ikr
формула Эйлера:
eikr = cos(kr) + isin(kr)
e−ikr = cos(kr) ‒ isin(kr)
C1 = C2 = A/2 => ψ = Acos(kr)
C1 = −C2 = −iB/2 => ψ = Bsin(kr)
ψ(x,y,z,t) = e±ikre− (i/ћ)Et = e −(i/ћ)(Et ∓ ћkr) = e −(i/ћ)(Et ∓ pr)
∎ ∂eikr/∂x = ikxeikr
∂2eikr/∂x2 = ∂(ikxeikr)/∂x = ‒ kx2eikr
∆eikr = ‒( kx2 + ky2 + kz2)eikr = ‒ k2eikr
∆eikr + k2eikr = 0 ∎
В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний со значениями импульса, заключенными в интервале от p0–Δp до p0+Δp
ω = E/ћ
k = p/ћ
ω(k) ≃ ω0 +(dω/dk)0(k − k0)
c(k) ≃ c(k0)
ξ = k – k0
∆ξ = ∆k
максимум A(x,t):
xмах – (dω/dk)0t = 0
xмах = (dω/dk)0t
vгр = (dω/dk)0
E = p2/2m
p = ћk
ω = E/ћ = ћk2/2m
минимум A(x,t):
[xмин − (dω/dk)0t]∆k = ±π
xмин = (dω/dk)0t ± π/∆k
1.06.Плотность потока вероятности(22) можно пропустить пока !!!
∎