1.1. Краткая характеристика стационарных и нестационарных случайных процессов
Внезапно изменяющиеся тренды на валютном рынке, на первый взгляд, носят настолько причудливый и непредсказуемый характер, что многие инвесторы убеждены, что делать какие-то прогнозы по поводу курса валют – дело абсолютно безнадежное. И действительно, если посмотреть, например, на динамику ежемесячного курса доллара США (как впрочем, и на динамику других свободно конвертируемых валют), то этот временной ряд нельзя назвать стационарным. Чтобы понять, к каким последствиям – с точки зрения прогнозирования курса американской валюты – ведет этот факт, нам придется немного углубиться в теорию стационарных и нестационарных случайных процессов.
Как известно, в статистической литературе принято выделять три вида случайных процессов: строго стационарные, слабо стационарные и нестационарные процессы.
Случайный процесс, образующий временной ряд X1, X2, X3…Xt (буква X обозначает переменную, содержащую определенную рыночную информацию, например, по динамике курсов валют, а, цифры – 1,2,3…t –моменты времени), называется строго стационарным (или, как еще говорят, стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей всех переменных X1,X2, X3…Xt точно такое же, как и для наблюдений X1+T,X2+T, X3+T…X t+T (где t=t2-t1 – временной лаг). Иначе говоря, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.
Однако в сфере экономики, в том числе в сфере финансовых и валютных рынков, строго стационарные процессы отсутствуют, а потому для нас гораздо больший интерес представляют так называемые, слабые стационарные процессы или стационарные процессы в широком смысле. Под слабым стационарным процессом понимается случайный процесс, у которого среднее и дисперсия – независимо от рассматриваемого периода времени – имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между исследуемыми переменными.
Напомню нашим читателям, что среднее значение временного ряда можно найти по следующей формуле (1.1):
где n – количество наблюдений во временном ряде.
Дисперсия (мера разброса случайной величины, например, отклонения курса доллара от его среднего значения, или, как еще говорят, от его математического ожидания) временного ряда представляет собой средний квадрат отклонений переменной (случайной величины) от ее среднего значения.
Соответственно, дисперсия находится по следующей формуле (1.2):
Хочу заметить, что в Excel дисперсию можно найти, пользуясь функцией ДИСПР (если исходные данные представляют собой генеральную совокупность) или функцией ДИСП (если данные представляют собой выборку).
Для оценки тесноты и направления связи между переменными одного временного ряда с определенным лагом используется автоковариация. В частности, автоковариация между значениями Xt и X t -T отделенными друг от друга интервалом в T единиц времени, называется автоковариацией с лагом (задержкой) T, которая находится по следующей формуле (1.3):
Автоковариацию, согласно формуле (1.3), в Excel можно найти с помощью функции КОВАР, которая возвращает величину ковариации. Причем, последнюю называют автоковариацией в том случае, когда ее используют для оценки тесноты и направления связи между переменными одного временного ряда с определенным лагом. Например, с лагом минус один месяц. Доказано, что для независимых переменных X и Y ковариация всегда равна нулю, а для зависимых переменных она, как правило, отличается от нуля. Если лаг t = 0, то автоковариация равна дисперсии.
Если временной ряд, характеризующий динамику, например, курса валют, является слабо стационарным, то это означает отсутствие: во-первых, тренда; во-вторых, строго периодических колебаний; в-третьих, систематических изменений дисперсии; в-четвертых, каких-либо иных систематических изменений во временном ряде. Таким образом, под стационарным процессом в слабом или в широком смысле понимается случайный процесс, у которого среднее и дисперсия – независимо от периода времени – имеют постоянное значение, а автоковариация зависит от длины лага между рассматриваемыми переменными.
Если временной ряд является нестационарным, то с точки зрения теории это предполагает, что он содержит не только случайную компоненту, но и тренд, а его средняя, дисперсия и автоковариация изменяются во времени. В связи с этим делать прогнозы по нестационарному временному ряду более затруднительно (особенно на длительный период, или в период каких-либо резких изменений в его динамике), чем по стационарному ряду.