Russell Bertrand. The Study of Mathematics // Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman, 1919. P. 60. Прим. М. Г.
Здесь и далее все постраничные сноски даются в квадратных скобках. Примечания, написанные научным редактором, даны с пометой М. Г.; примечания, сделанные редактором, – с пометой ред.; авторские примечания – без какой-либо пометы.
В объяснении правил судоку в английской версии газеты Metro, в частности, сказано: «Хотя это игра с числами, она не требует математических навыков – только понимания логики и терпения». Прим. М. Г.
Биографические материалы об Абрахаме Вальде взяты из работы: Oscar Morgenstern. Abraham Wald, 1902–1950 // Econometrica, 1951, Oct., 19, no 4, p. 361–367.
Исторические данные о SRG взяты главным образом из следующего источника: W. Allen Wallis. The Statistical Research Group, 1942–1945 // Journal of the American Statistical Association, 1980, June, 75, no 370, p. 320–330.
Отец Пола [Пол Вулфовиц – американский политик, президент Всемирного банка (2005–2007). Прим. М. Г.].
W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.
W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.
Сэвидж был почти слепым и видел только уголком одного глаза. Как-то, чтобы доказать какую-то свою идею об освоении Арктики, он целых полгода питался одним пеммиканом [мясной концентрат; пища индейцев Северной Америки и основной мясной продукт в арктических и антарктических экспедициях начала XX века. Прим. М. Г.]. Просто подумал, что об этом стоит упомянуть.
W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 329.
Я узнал о Вальде и проблеме крепкой авиационной брони из книги Говарда Вейнера: Howard Wainer. Uneducated Guesses: Using Evidence to Uncover Misguided Education Policies. NJ: Princeton University Press, 2011. Автор использует идеи Вальда для анализа таких же сложных и неполных статистических данных, полученных в ходе изучения сферы образования.
См.:Marc Mangel, Francisco J. Samaniego. Abraham Wald’s Work on Aircraft Survivability // Journal of the American Statistical Association, 1984, June, 79, no. 386, p. 259–267.
Отдельный интересный вопрос, как измерять качество питания в процентах. Прим. М. Г.
Физик Ричард Фейнман утверждал, что математики не ставят таких вопросов: «…Я всегда выигрывал. Если я угадывал – здорово. Если не угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они упускали из виду» (Р. Ф. Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! / Пер. с англ. Н. А. Зубченко, О. Л. Тиходеевой, М. Шифмана. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. С. 39). Прим. М. Г.
См.:Jacob Wolfowitz. Abraham Wald, 1902–1950 // Annals of Mathematical Statistics, 1952, Mar. 23, no. 1, p. 1–13.
Например, истории о том, что дельфины выталкивают тонущих людей на берег. На самом деле дельфины поддерживают тонущего на плаву, подталкивая в произвольных направлениях (что естественно для водных млекопитающих), но только выжившие – те, кого подтолкнули к берегу, – смогли рассказать о встрече с ними. Прим. М. Г.
Взаимный фонд, или фонд взаимных инвестиций (mutual fund), – портфель акций, отобранных и приобретенных профессиональными финансистами на вложения большого числа мелких вкладчиков. Прим. М. Г.
Справедливости ради следует отметить, что сам индекс S&P 500 показал еще более высокий рост – 212,5 % за тот же период.
Amy L. Barrett, Brent R. Brodeski. Survivor Bias and Improper Measurement: How the Mutual Fund Industry Inflates Actively Managed Fund Performance (http://www.etf.com/docs/sbiasstudy.pdf).
Martin Rohleder, Hendrik Scholz, Marco Wilkens. Survivorship Bias and Mutual Fund Performance: Relevance, Significance, and Methodical Differences // Review of Finance, 2011, vol. 15, no 2, p. 441–474 – см. таблицы. Мы перевели месячную избыточную доходность в годовую избыточную доходность, поэтому цифры в нашем тексте не совпадают с данными, приведенными в статье.
Abraham Wald. Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors. Alexandria, VA: Center for Naval Analyses, repr., 1980, July, CRC 432.
Железный человек по имени Энтони Эдвард, или Тони Старк, – герой комиксов. Прим. М. Г.
Парафраз известной формулировки Карла фон Клаузевица: «Война есть не что иное, как продолжение государственной политики иными средствами» (К. Клаузевиц. О войне / Пер. А. Рачинского. М.: Логос; Наука, б.г. [1998]. С. 27). Прим. ред.
Владимир Игоревич Арнольд приводил следующие слова Годфри Харди (в двух вариантах – и оба раза с негодованием): 1) «Общая черта королевы и математики – полная бесполезность обеих» (В. Арнольд. Переориентация науки на «прикладные исследования» приведет к снижению интеллектуального уровня страны // Троицкий вариант – Наука. 2008. № 19. http://trv-science.ru/2008/12/23/18/); 2) «Теория чисел является королевой математики вследствие своей полной бесполезности» (В. Арнольд. Нужна ли в школе математика? Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в Дубне 21 сентября 2000 года // Скепсис. http://scepsis.net/library/id_649.html). Харди написал это в начале прошлого века. Сейчас всякий раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, вы (точнее, банк) используете алгоритмы шифрования транзакций, основанные на результатах теории чисел. Прим. М. Г.
См.: J. von Neumann. Collected Works. Volume I: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics. New York; London; Oxford; Paris: Pergamon Press, 1961. Pp. 1–9. [Приведенная далее цитата дается в пер. Ю. А. Данилова, см.: Ю. А. Данилов. Математик фон Нейман и его «Математик» // Природа. 1983. № 2. С. 86–87. Прим. перев.]
В настоящее время специалисты называют теорему Ферма теоремой Уайлса, поскольку Эндрю Уайлс доказал ее (не без помощи Ричарда Тейлора), тогда как Ферма не сделал этого. Однако, по всей вероятности, традиционное название неискоренимо и вряд ли будет когда-нибудь вытеснено.
Ее доказал Григорий Перельман. Прим. М. Г.
Это гипотеза. Прим. М. Г.
Что касается гипотезы Римана, мне больше всего нравятся книги: John Derbyshire. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Plume; Reprint edition, 2004 [Дж. Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель; Corpus, 2010. –Прим. М. Г.];Marcus du Sautoy. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. New York: Harper Perennial; Reprint edition, 2012. О теореме Гёделя см.:Douglas Hofstadter. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books, 1999 [Д. Хофштадтер. Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда. Самара: Бахрах-М, 2001. –Прим. М. Г.]. По правде сказать, теорема Гёделя упоминается в этой книге вскользь, как один из элементов размышлений о самоотносимости в искусстве, музыке и логике.
Правда, в двадцать с лишним лет я все-таки потратил какое-то время на нешуточные размышления, не стать ли мне настоящим писателем. Я даже написал и опубликовал вполне глубокомысленное литературное произведение – роман The Grasshopper King («Король кузнечиков»). Но пока я работал над ним, то обнаружил, что по полдня слоняюсь в тоске, мечтая лишь об одном: решать математические задачи.
Ю. А. Данилов. Математик фон Нейман и его «Математик». С. 86. Прим. М. Г.
Daniel J. Mitchell. Why Is Obama Trying to Make America More Like Sweden when Swedes Are Trying to Be Less Like Sweden? // Cato Institute, 2010, March 16 (www.cato.org/blog/why-obama-trying-make-america-more-sweden-when-swedes-are-trying-beless-sweden – просмотрено 13.01.2014).
Под «шведскостью» подразумевается вовсе не такая характерная особенность страны, как «всегда имеющаяся в наличии селедка под десятками разнообразных маринадов», а «уровень социального обеспечения и налогообложения» – состояние, к которому несомненно должны стремиться все без исключения государства.
Точнее, для этих и ряда последующих рассуждений автора существенна разница между монотонностью и немонотонностью. Прим. М. Г.
Или, если хотите, не линия, а линейный сегмент. Но я не собираюсь из этих терминологических расхождений раздувать целую проблему.
Horace. Satires 1.1.106 / Trans. Basil Dufallo // Satis/Satura: Reconsidering the «Programmatic Intent» of Horace’s Satires 1.1. Classical World, 2000, vol. 93, no 6, p. 579–590.
Гораций. Сатиры, II, 1, 106–107 / Пер. М. Дмитриева // Квинт Гораций Флакк. Оды, эподы, сатиры, послания. М.: Художественная литература, 1970. С. 248. Прим. ред.
Аристотель. Никомахова этика, кн. II, гл. 2, стр. 1104a / Пер. Н. Брагинской // Аристотель. Сочинения в четырех томах. М.: Мысль, 1983. Т. 4. С. 80. Прим. ред.
Фильм Джона Хьюза (1984), в котором роль преподавателя экономики сыграл известный экономический комментатор Бен Стайн. Прим. М. Г.
Эту часть истории Лаффер отрицает. По его словам, в ресторане были превосходные тканевые салфетки, которые он ни за что не стал бы портить экономическими закорючками.
Лаффер всегда настаивал, что не он придумал кривую своего имени; когда-то эту идею понял и описал Джон Кейнс, а базовый принцип сформулировал еще в XIV веке историк Ибн Хальдун.
Из книги «Физики шутят»: «Дирак любил потеоретизировать на самые различные темы. Однажды он высказал предположение, что существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего; поскольку в двух предельных случаях – на нулевом и бесконечном расстоянии – “привлекательность обращается в нуль” (ничего не видно), то между этими пределами, естественно, должен существовать максимум» (Физики шутят / Составители-переводчики: Ю. Конобеев, В. Павлинчук, Н. Работнов, В. Турчин. М.: Мир, 1993). Прим. М. Г.
Примерно от 500 тысяч до 1 миллиона долларов в год в современном исчислении.
Похоже, я единственный, кто о ней вспомнил.
Цит. по: JonathanChait. Prophet Motive: Jude Wanniski, the GOP’s odd man in // New Republic, 1997, March 31.
Hal R. Varian. What Use Is Economic Theory? [Working Paper] University of California at Berkeley, 1989, August (http://people.ischool.berkeley.edu/~hal/Papers/theory.pdf – просмотрено 13.01.2014).
Американский политик Джек Френч Кемп в 1988 году проиграл на республиканских праймериз Бушу-ст., в 1996 году был кандидатом в вице-президенты (с Бобом Доулом). Прим. М. Г.
David Stockman. The Triumph of Politics: How the Reagan Revolution Failed. New York: Harper & Row, 1986, p. 10.
N. Gregory Mankiw. Principles of Microeconomics. Amsterdam: Elsevier, 1998, vol. 1, p. 166.
Трудно сказать наверняка, действительно ли увеличение объема налоговых поступлений было обусловлено тем, что богатые люди, освободившись от бремени подоходного налога, начали работать больше, как гласит теория предложения.
Или, что еще более вероятно, это вообще может быть не одна кривая, как показал Мартин Гарднер с помощью запутанной «неокривой Лаффера» в язвительной оценке теории предложения, изложенной в статье «Кривая Лаффера».
Martin Gardner. The Laffer Curve //Martin Gardner. The Night Is Large: Collected Essays, 1938–1995. New York: St. Martin’s Griffin, 1996, p. 127–139.
Во время рассмотрения в 1978 году законопроекта Кемпа – Рота, направленного на снижение налоговых ставок.
Ср. формализацию женской логики по Колмогорову: «Пусть [Р=>Q] и [Q приятно]; тогда Р»; см.: В. А. Успенский. Лермонтов, Колмогоров, женская логика и политкорректность // Неприкосновенный запас. 2000. № 6 (14). Прим. М. Г.
SAT (Scholastic Assessment Test, букв. «академический оценочный тест») – отборочный экзамен для выпускников школ на определение академических способностей. Прим. М. Г.
Кстати, нам неизвестно, кто первым доказал теорему Пифагора, хотя ученые почти убеждены, что это был не Пифагор. На самом деле, помимо засвидетельствованного современниками факта существования некоего ученого мужа с именем «Пифагор», жившего и обретшего славу в VI веке до нашей эры, мы ничего о нем не знаем. Основные сведения о жизни и работе Пифагора появились лишь через 800 лет после его смерти. К тому времени реального человека Пифагора полностью затмил миф о Пифагоре, вобравший в себя философские учения мыслителей, называвших себя пифагорейцами.
См.:Christoph Riedweg. Pythagoras: His Life, Teaching, and Influence. Ithaca; New York: Cornell University Press, 2005, p. 2.
Российским ученым известно со школы, что пифагоровы штаны во все стороны равны. Прим. М. Г.
На самом деле нельзя, но до XVIII века никто не смог это доказать.
В действительности силосные башни не были круглыми до начала ХХ века, когда профессор Висконсинского университета Хорас У. Кинг не придумал – чтобы решить проблему порчи продукции, лежащей в углах башни, – цилиндрическую конструкцию, широко распространенную в наше время.
Точнее говоря, каждый из этих четырех фрагментов можно получить из исходного равнобедренного прямоугольного треугольника, вращая его по кругу на плоскости. Давайте примем без доказательств тот факт, что такие манипуляции не меняют площадь фигуры.
Во всяком случае, если вы, как и я, живете на Среднем Западе США.
Математический объект, который в каждой точке локально выглядит как обычное евклидово пространство, называется многообразием. Пример одномерного многообразия – окружность или любая другая кривая без углов и концов, например парабола. Примеры двумерных многообразий: сфера – поверхность шара; тор – поверхность баранки; крендель – поверхность кренделя; бутылка Клейна – в нашем обычном трехмерном пространстве невозможно представить эту поверхность, бутылка Клейна получается, если вытянуть горлышко обычной бутылки и соединить ее с донышком, предварительно проделав в нем дырку нужного размера и потом сгладив место соединения; фокус состоит в том, что вставить надо с внутренней стороны, иначе получится обычный тор, и при этом без пересечения стенки бутылки. Некоторые свойства многообразий описывает, в частности, уже упоминавшаяся гипотеза Пуанкаре. Прим. М. Г.
George Berkeley. The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (1734) / Ed. David R. Wilkins, (www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf – просмотрено 13.01.2014).
Дж. Беркли. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику… // Беркли Дж. Сочинения / Сост., общ. ред. и вступит. ст. И. С. Нарского; пер. А. Ф. Грязнова, Е. Ф. Дебольской, Е. С. Лагутина, Г. Г. Майорова, А. О. Маковельского. М.: Мысль, 1978. С. 425–426. Прим. М. Г.
При отсутствии воздействия силы тяжести, сопротивления воздуха и т. д. и т. п. Однако на коротком интервале времени такое линейное приближение является достаточно точным.
Самое время обратиться к Пушкину:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Прим. М. Г.
По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.
См.:David O. Tall, Rolph L. E. Schwarzenberger. Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits // Mathematics Teaching, 1978, 82, p. 44–49.
Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен. Кого интересует более подробная информация о теории чисел – тем я рекомендую заглянуть в «Примечания». Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению −1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к −1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и −1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 25. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от −1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.
Информация о Гранди и его ряде взята в основном из работы: Morris Kline. Euler and Infinite Series // Mathematics Magazine, 1983, Nov., vol. 56, no. 5, p. 307–314.
Сюрреальные числа, которые описал Джон Конвей, – это особенно очаровательный и причудливый пример, о чем говорит само название. Этот класс чисел, глубинные аспекты которого еще не изучены, представляет собой удивительный гибрид чисел и стратегических игр. Полезную информацию об этих экзотических числах, а также многих математических методах ведения игр можно найти в труде Элвина Берлекэмпа, Джона Хортона Конвея и Ричарда Гая Winning Ways… («Выигрышные стратегии в математических играх»), см.: Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. Winning Ways for Your Mathematical Plays. Natik MA: A K Peters/CRC Press. 2 ed. Vol. 1–4. 2001–2004.
Подобно всем математическим прорывам, теория пределов Коши имела предшественников; в частности, определение Коши было во многом созвучно с концепцией границ величины погрешности биномиального ряда Д’Аламбера. Однако нет никаких сомнений, что работа Коши представляла собой переломный момент: после него анализ стал таким, каким мы его знаем сейчас.
Г. Г. Харди. Расходящиеся ряды / Пер. с англ. Д. А. Райкова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. С. 19. Прим. ред.
Есть какая-то ирония в том, что первоначально Гранди нашел своим расходящимся рядам теологическое применение!
Здесь уместно вспомнить известную фразу Кейди, героини Линдси Лохан: «Предела не существует!» [из фильма Mean Girls, 2004 («Дрянные девчонки»). Прим. М. Г.].
Если вы когда-либо изучали математический курс, в котором используются такие символы, как эпсилон и дельта, значит, вы знакомы с преемниками формальных определений Коши.
См. у Литтлвуда: «(А. С. Безикович) Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал». И далее следует пояснение автора: «Работы первооткрывателей неуклюжи» (Дж. Литлвуд. Математическая смесь. М.: Наука, 1990. С. 42). Прим. М. Г.
История о занятиях по исчислению, которые вел Коши, взята из книги: Amir Alexander. Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics. Harvard University Press, 2010. Амир Александер проводит чрезвычайно интересное историческое исследование взаимодействия между математикой и культурой в начале XIX века. Несколько иная точка зрения на современность подхода Коши представлена в другой публикации: Michael J. Barany. Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor // Notices of the American Mathematical Society, 2013, Nov., 60, no. 10, p. 1334–1338.
См. исследование, проведенное группой специалистов, возглавляемой Юфом Ванга: Youfa Wanget al. Will All Americans Become Overweight or Obese? Estimating the Progression and Cost of the US Obesity Epidemic // Obesity, 2008, Oct. 16, no. 10, p. 2323–2330.
abcnews.go.com/Health/Fitness/story?id=5499878&page=1.
Long Beach Press-Telegram, 2008, Aug. 17.
Аркадные игры (arcade games) – компьютерные игры с нарочно примитивным игровым процессом. Прим. ред.
Мои комментарии по поводу исследования Ванга в значительной мере совпадают с точкой зрения Карла Бялика, изложенной им в статье «Исследование ожирения выглядит жидковато», см.:Carl Bialik. Obesity Study Looks Thin // Wall Street Journal, 2008, Aug. 15. О статье я узнал уже после написания этой главы.
Более подробную информацию об этих исследованиях можно найти в статье, опубликованной в Journal of Stuff I Totally Made Up in Order to Illustrate My Point («Журнал, придуманный мною для освещения собственной точки зрения»).
Эти цифры взяты с сайта North Carolina Career Resource Network (www.soicc.state.nc.us/soicc/planning/c2c.htm), который позже был закрыт.
В данном контексте «максимальная приближенность» определяется следующим образом. Если вы замените фактическую плату за обучение в каждом университете оценкой, которую подразумевает прямая, а затем вычислите разность между расчетной и фактической платой за обучение, после чего возведете каждое из этих чисел в квадрат и сложите все эти квадраты, то получите общий показатель того, насколько прямая не проходит по точкам. Надо выбрать прямую, у которой этот показатель минимален. Такое суммирование квадратов напоминает о Пифагоре; в действительности геометрия, лежащая в основе линейной регрессии, – не что иное, как теорема Пифагора, преобразованная и доработанная для решения задач с гораздо большей размерностью. Однако эта история требует больше алгебраических выкладок, чем я хотел бы здесь приводить. Более подробное описание соответствующих аспектов корреляции и тригонометрии можно найти в главе 15.
Марк Твен. Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой // Марк Твен. Собрание сочинений в 12 томах. М.: Художественная литература, 1960. Т. 4. С. 351–352. Прим. ред.
Эти требования вызывают в памяти сюжет рассказа Орсона Скотта Карда Unaccompanied Sonata («Соната без сопровождения»). В нем идет речь о сверходаренном музыканте, которого держат в одиночестве, в строгой изоляции от всей существующей в мире музыки, с тем чтобы это не лишило оригинальности его собственную музыку. Но затем один человек пробирается к нему и дает запись с музыкой Баха. Разумеется, блюстители порядка узнают об этом и навсегда запрещают необыкновенному музыканту заниматься музыкой. Кажется, в дальнейшем ему отрежут пальцы, или лишат зрения, или сделают что-то еще, поскольку Орсон Скотт Кард имеет странную склонность к жестокому наказанию своих персонажей и расчленению их живой плоти. Как бы там ни было, смысл всей этой истории сводится к следующему: Бах слишком велик, чтобы пытаться удерживать молодых музыкантов от приобщения к его музыке. [См.: О. С. Кард. Соната без сопровождения / Пер. В. Постникова // О. С. Кард. Карты в зеркале. М.; СПб.: ЭКСМО; Домино, 2005. С. 417–439. Прим. ред.]