Gordon P. Numerical cognition without words: evidence from Amazonia. Science 306. 5695 (2004): 496–99.
Everett C. Numbers and the Making of Us: counting and the course of human cultures. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2019.
Nuwer R. Babies are born with some math skills. Science, 2013, www.sciencemag.org/news/2013/10/babies-are-born-some-math-skills.
Dee J. The Mathematicall Praeface to Elements of Geometrie of Euclid of Megara, www.gutenberg.org/files/22062/22062-h/22062-h.htm.
Brooks R. Bean Counters: the triumph of the accountants and how they broke capitalism. London: Atlantic Books, 2019.
Mignet F. A. M. A. History of the French Revolution from 1789 to 1814, www.gutenberg.org/files/9602/9602–8.txt.
Soll J. The Reckoning: financial accountability and the rise and fall of nations. New York: Basic Books, 2014.
Founders Online. From Alexander Hamilton to Robert Morris, [30 April 1781], http://founders.archives.gov/documents/Hamilton/01–02-02–1167.
Существует другая кость, которая может претендовать на статус более древнего математического артефакта. Это кость Лебомбо, которой около 43 тысяч лет. На ней видны насечки, которые, возможно, были знаками некоторой системы счисления. Впрочем, это подвергается большим сомнениям, и южноафриканский археолог Питер Бомонт, обнаруживший кость, вовсе не утверждает, что ее использовали в качестве инструмента для ведения подсчетов.
Fehr T. et al. Common brain regions underlying different arithmetic operations as revealed by conjunct fMRI-BOLD activation. Brain Research. 1172 (2007): 93–102.
Pika S. et al. How to order a beer: cultural differences in the use of conventional gestures for numbers. Journal of Cross-Cultural Psychology 40. 1 (2009): 70–80.
Ifrah G. From One to Zero: a universal history of numbers. New York: Penguin Books, 1987.
Berteletti I., Booth J. R. Perceiving fingers in single-digit arithmetic problems. Frontiers in Psychology. 6 (2015).
Butterworth B. The Mathematical Brain. London: Macmillan, 1999.
Høyrup J. State, “justice”, scribal culture and mathematics in ancient Mesopotamia: Sarton Chair Lecture. Sartoniana. 22 (2009): 13–45.
Høyrup J. On a collection of geometrical riddles and their role in the shaping of four to six “algebras”. Science in Context. 14, no. 1–2 (2001): 85–131. (Ответ: 4,874. Его можно вычислить с помощью квадратного уравнения, с которым мы еще не познакомились.)
Crappier J.-J. et al. The Akan Weighing System restored after 120 years of oblivion. A metrological study of 9301 geometric gold-weights. Colligo 2. 2 (2019): 9–22.
Scripture E. W. Arithmetical prodigies. American Journal of Psychology. 4, no. 1 (1891): 1–59.
Duvernoy S. Leonardo and theoretical mathematics. Nexus Network Journal. 10,1 (2008): 39–49.
Если вы сочувствуете Леонардо, в этом нет ничего удивительного. Разумеется, можно просто принять, что при делении на число меньше единицы частное оказывается больше делимого. Не помешает, впрочем, разобраться в этом на примере. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 5 хоккейными командами. Каждая команда получает по 2 шоколадки. Теперь допустим, что мы делим шоколадки между 2 командами. В таком случае каждая команда получает по 5 шоколадок. Чем меньше оказывается делитель, тем больше становится частное. Так продолжается, пока делитель не достигнет 1. Рассмотрим числа меньше 1. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 1/3 команды. Треть хоккейной команды – это 2 человека. Следовательно, 10 шоколадок делится между 2 игроками, то есть каждый игрок получает по 5 шоколадок. Но это равнозначно тому, как если бы вся команда получила 5 × 6 = 30 шоколадок. Итак, при делении 10 на 1/3 получается 30.
McNamara J., Shaughnessy M. M. Student errors: what can they tell us about what students DO Understand? Math Solutions, 2011.
Ответ на первый вопрос: 2/7, 1/2, 5/9. Ответ на второй вопрос: 2. Прийти к ним можно либо путем аппроксимации (и 12/13, и 7/8 близки к 1, поэтому их сумма близка к 2), либо путем приведения дробей к общему знаменателю. Превратим 12/13 в 96/104, умножив числитель и знаменатель на 8. Затем превратим 7/8 в 91/104, умножив числитель и знаменатель на 13. Сложим числители. 96 + 91 = 187, а значит, в сумме дроби дают 187/104. Это приблизительно 1,8, что ближе всего к 2.
Последовательность Фибоначчи начинается с 0 и 1, а каждое следующее число в ней получается путем сложения двух предыдущих. Первые 12 чисел таковы: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и 89.
Pascal B. Pensées, www.gutenberg.org/files/18269/18269-h/18269-h.htm. Перевод Ю. Гинзбург.
Wallis J. A Treatise of Algebra, Both Historical and Practical. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 15, no. 173 (1685): 1095–1106.
Seife C. Zero: The Biography of a Dangerous Idea. New York: Viking, 2000.
Перевод цитируется по изданию: Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. Математические трактаты. Ташкент: Издательство “Фан” Узбекской ССР, 1983.
Kaplan R. The Nothing That Is: a natural history of zero. Oxford: Oxford University Press, 2000.
Physics by Aristotle, http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.html.
Weng J. et al. The effects of long-term abacus training on topological properties of brain functional networks. Scientific Reports. 7, no. 1 (2017): 8862.
Goldthwaite R. The practice and culture of accounting in Renaissance Florence. Enterprise & Society. 16, no. 3 (2015): 611–47.
Gleeson-White J. Double Entry: how the merchants of Venice created modern finance. New York: W. W. Norton & Co, 2012.
Schemmen M. The Rules of Double-Entry Bookkeeping (a Translation of Particularis de Computis et Scripturis). IICPA Publications, 1494. “Сумма” Пачоли цитируется в переводе Э. Вальденберга.