Игра с числами
Математикам известны сотни тысяч различных последовательностей, из которых одни из самых известных – это числа Фибоначчи и Люка.
Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которая начинается с 0 и 1, а затем каждое следующее число получается путем сложения двух предыдущих чисел. Например первые девять чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.
Числа Люка – это тоже последовательность чисел, но она начинается с другого начального значения и имеет другую формулу для вычисления следующих чисел. Например – первые девять чисел Люка: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47.
Оба они связанны с числом Фи. Число Фи (φ) – математическая постоянная, приблизительно равная 1,61803398875. Оно является одним из самых известных иррациональных чисел.
Итак, если мы сложим два числа Фи и каждое полученное число будем складывать с предыдущим или умножать на число Фи, то мы увидим что наши числа будут стремится к числам Фибоначчи: 1.618, 1.618, 3.236, 4.854, 8.090, 12.944, 21.034. А если мы умножим Фи на Фи и каждое полученное число будем складывать с предыдущим или умножать на Фи, то мы получим числа которые стремятся к числам Люка. 1.618, 1.618, 2.618, 4.236, 6.854, 11.090, 17.944, 29.034. А если мы разделим Фи на Фи то мы получим 1, если мы отнимем Фи от Фи мы получим 0. Логично предположить, что последовательность чисел Фибоначчи начинаются с 0, а числа Люка с 1, Отсюда вопрос, так как же с чего же начать последовательность золотого сечения с 0 или 1, что главнее числа Люка или числа Фибоначчи?
Многие математики спорят, считая, что Люка главнее Фибоначчи, а кто-то что Фибоначчи, главнее чем Люка. Я считаю, что это не главное. Для меня самым главным является сама константа Фи, оно является недооцененным в науке и не является таким известным и популярным как константа Пи. Однако число Фи, играет важную роль и имеет глубокий таинственный смысл, во всей нашей жизни и во всей нашей вселенной.
Перед тем как перейти к серьёзной теме. Давайте для начала, поиграемся с числами Люка и Фибоначчи. Итак, давайте возьмём все числа по порядку от 1 до 1000 и на этой последовательности, выделим все числа Фибоначчи и Люка. Числа Фибоначчи – выделим красным светом, числа Люка – жёлтым цветом и когда мы это сделаем, то мы увидим интересную закономерность, что числа Люка, находятся между числами Фибоначчи и расстояние между числами Люка и Фибоначчи, равна числам Фибоначчи, как бы деля пространство между числами Фибоначчи, по золотому сечению. Получается интересная ситуация, что отрезок золотого сечения, можно поделить на маленькие отрезки по золотому сечению. И ещё можно заметить, что этот маленький отрезок золотого сечения как бы перевёрнут в другую сторону. А если мы попробуем поделить отрезок между числами Фибоначчи так, чтобы отрезок золотого сечения не был перевёрнут, то мы получим новую последовательность: 2,2,4,6,10,16,26. Эта новая последовательность, она не имеет ещё популярного названия. Я её иногда называю, скрытая Фибоначчи, или удвоенная Фибоначчи был ещё вариант назвать её трибоначчи, так как эту последовательность можно получить складыванием трёх чисел Фибоначчи по порядку. Например: 1+1+2=4, 1+2+3=6, 2+3+5=10 и т.д. Но это название уже занято другой последовательностью. Кстати, если мы сложим четыре числа Фибоначчи по порядку, то мы получим числа Люка. Например: 1+1+2+3=7, 1+2+3+5=11, 2+3+5+8=18 и т.д.
Почему появился вариант названия «скрытой Фибоначчи»? Дело в том, что когда Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи, писал свою задачку о кроликах, он в условии задачи считал их парами. Одна пара кроликов, потом две, три, пять, восемь и т.д. Но если считать общее количество кроликов в этой задаче, то получается наша скрытая последовательность два, четыре, шесть, десять и т.д. В знаменитой задаче про кроликов она присутствовала по умолчанию. И в дальнейшем другие математики последователи, тоже считали попарно. И это с одной стороны логично, сами по себе кролики не плодятся, но пара – это два, а значить задачку можно представить как 2 умноженное на каждое число Фибоначчи, то есть получается наша последовательность удвоенного Фибоначчи: 2,4,6,10,16 и т.д.
А теперь, давайте посмотрим, как взаимодействуют все эти три последовательности вместе и мы увидим, огромную математическую взаимосвязь между этими тремя последовательностями. Например: 26-21=5, 29-21=8, 34-29=5, 34-26=8, 29+26=55, 29-26=3. Как видно с предыдущих примеров, после определённых вычислений, мы всегда получаем числа Фибоначчи.
Это не полный список примеров, их значительно больше. Я не буду их все приводить, кому интересно может поискать примеры математической взаимосвязи в интернете, или сам попробовать их вычислить.
Далее, если превратить отрезки в квадраты, то мы увидим, что в пересечении этих квадратов, вырисовываются новые квадраты. Фрактальное отображения предыдущих квадратов, состоящие тоже из чисел Фибоначчи.
Кстати если в центр поставить числа Люка и попробовать поделить числа Люка по золотому сечению, то там будут другие последовательности. Это значить, что числами Люка можно поделить числа Фибоначчи по золотому сечению, но не наоборот, числами Фибоначчи нельзя поделить числа Люка по золотому сечению. И ещё можно заметить, что все эти три последовательности находятся на одной линии, если сформировать из них квадраты.
Забегая вперёд, мы не будем в этой книге касаться чисел Фибоначчи, а далее, будем работать только с числами Люка и ещё больше с удвоенными числами Люка.
В общем, математическая взаимосвязь между всеми этими последовательностями очевидная и очень красивая. А то, что есть взаимосвязь и золотое сечение между парой кроликов и их общим количеством, наводит на определённые философские размышления.
Что такое фрактал? Фрактал – это бесконечное самоподобие фигур, при этом можно увеличивать или уменьшать масштаб пространства и они всегда будут повторяться раз за разом до бесконечности. Мы видим, что числа Люка и кролики взаимосвязаны золотым сечением и создают фрактал для пары кроликов. А эти пары далее, взаимосвязаны золотым сечением с кроликами с их общим количеством. То есть в среде кроликов, в их размножении есть бесконечная фрактальность и золотое сечение. А если у кроликов также, то и у всех живых организмах также. Точно также и в размножении людей можно заметить фрактальность. Наши предки – это наши предыдущие фрактальные формы, а наши дети – это наши будущие фрактальные формы. И этот круговорот поколений родителей и детей создаёт бесконечный фрактал самоподобия,
Деревья, как известно тоже имеют фрактальную геометрию. Но они не сразу стали деревьями, когда-то это были маленькие расточки, с двумя листочками и в этих ростках трудно было разглядеть фрактал, но со временем, растение растёт, количество листочков увеличивается и через определенный промежуток времени, мы можем полюбоваться его фрактальной структурой. Так и человек, сам по себе в нём нет ни чего фрактального, но если какой-либо дедушка и бабушка, соберёт вместе для общей семейной фотографии, своих детей внуков и правнуков, можно будет увидеть их фрактальное подобие, только в человеческом обличие. Там и там масштабом является время. В конце концов и капуста романеску становится не сразу такой красивой и фрактальной, а лишь только ближе к сбору урожая.
А что же такое числа Люка, без которого эта магия не работает, может это – константа времени, или что то другое?