Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - читать онлайн

Глава 2. Как увидеть четырехмерное пространство

Мы живем в мире трех измерений – вверх-вниз, вправо-влево и вперед-назад или любые другие три направления, расположенные под прямыми углами друг к другу. Можно легко представить себе что-нибудь одномерное, например прямую линию. То же и с двумерным объектом – скажем, квадрат, нарисованный на листе бумаги. Но как вообще можно научиться видеть помимо знакомых нам измерений еще одно? Где находится дополнительная ось, расположенная перпендикулярно к тем, что мы уже знаем?

Эти вопросы могут показаться чисто умозрительными. Ведь в нашем мире всего три измерения – так зачем ломать голову и переживать из-за четвертого, пятого и так далее? Дело в том, что дополнительные измерения могут понадобиться ученым, чтобы объяснить, что происходит на субатомном уровне. В этих дополнительных измерениях, возможно, кроется ключ к пониманию великого закона вещества и энергии. А на более практическом уровне четырехмерное зрение могло бы открыть огромные возможности в медицине и образовании.

Иногда четвертое измерение толкуют не просто как дополнительную ось в пространстве. В конце концов, измерять можно не только пространство. В физике, например, основные “измерения”, образующие кирпичики, из которых строятся другие величины, – это длина, масса, время и электрический заряд. В других контекстах физики зачастую говорят о трех пространственных измерениях и одном – временно́м, особенно с тех пор, как Альберт Эйнштейн доказал, что в нашем мире они всегда связаны в единое целое под названием “пространство-время”. Но и до теории относительности люди строили догадки о возможности перемещаться вперед и назад во временно́м измерении, подобно тому как мы можем свободно передвигаться в пространстве. В опубликованном в 1895 году романе “Машина времени” Герберт Уэллс объясняет, например, почему не может существовать вневременный куб. Наблюдаемый нами мгновение за мгновением куб – всего лишь проекция четырехмерного тела, имеющего длину, ширину, высоту и продолжительность существования. “Единственное различие между Временем и любым из трех пространственных измерений, – говорит Путешественник во Времени, – заключается в том, что наше сознание движется по нему”[5].

Идея четвертого измерения пространства вызывала живейший интерес и в Викторианскую эпоху, причем не только у математиков. Последователи еще одного поголовного увлечения того времени – спиритуализма – также взяли ее на вооружение. В конце XIX века громкие заявления медиумов и перспектива общения с умершими привлекали многих людей, в числе которых были такие знаменитости, как Артур Конан Дойл, Элизабет Барретт Браунинг и Уильям Крукс. А вдруг, задумывались люди, загробная жизнь существует в четвертом измерении, параллельном или пересекающимся с нашим, и духи усопших могут свободно переходить в наш материальный мир и обратно?

Из-за неспособности представить себе, как могут выглядеть тела в более многомерном мире, у нас возникает соблазн считать четвертое измерение чем-то таинственным, находящимся за гранью известного нам мира. А вот у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений – для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность – это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты – только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически – одно измерение.

Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг – это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность – это одномерная фигура, которую можно “вложить” в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr². Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера – двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr², а ограниченный ею объем – 4/3 πr³. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют “гиперсферами”, указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера – это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство. Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность – это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера – искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера – это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π²r³. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство, гиперобъем которого равен 1/2 π²r⁴. Доказать истинность этих фактов о трехмерной сфере не намного сложнее, чем доказать то же для окружности или обычной сферы, и для этого вовсе не обязательно представлять себе, как трехмерная сфера выглядит.

Так же трудно нам представить, как может выглядеть четырехмерный куб, или тессеракт (хотя, как мы увидим позже, его вполне можно попытаться изобразить в двух или трех измерениях). И тем не менее совсем не сложно описать переход от квадрата к кубу, а от него – к тессеракту: у квадрата 4 вершины (угла) и 4 ребра (стороны); у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней; у тессеракта 16 вершин, 32 ребра, 24 грани и 8 “ячеек” (трехмерных эквивалентов граней), состоящих из кубов. Вот именно этот последний факт и сводит к нулю все наши попытки наглядно представить себе тессеракт: восемь его ячеек расположены таким образом, что ограничивают собой четырехмерное пространство, точно так же как внутри шести квадратных граней куба заключено трехмерное пространство.

Обычно, чтобы получить хоть какое-то представление о четвертом измерении, имеет смысл провести аналогию с привычным нам третьим. Например, если задаться вопросом, как бы выглядела трехмерная гиперсфера (лежащая в четырехмерном пространстве), если бы она прошла через наше пространство, полезно рассмотреть, что происходит, когда обычная сфера проходит через плоскость. Предположим, что эту плоскость населяют двумерные существа. Глядя вдоль поверхности своего плоского мира – а больше ничего они и не могут, ведь объема для них не существует, – они видят лишь точки или линии разной длины, которые умеют интерпретировать как двумерные фигуры. В момент соприкосновения нашей объемной сферы с их двумерным пространством они увидят ее как точку, которая постепенно вырастает в окружность, достигает максимального диаметра, равного диаметру сферы, а потом снова сжимается до точки и исчезает, когда сфера полностью проходит через плоскость. Точно так же, если трехмерная гиперсфера пересечет наше пространство, мы увидим ее как точку, которая раздувается, словно пузырь, до обычной сферы максимального диаметра, а потом сжимается и наконец исчезает. Истинную природу трехмерной гиперсферы, ее дополнительное измерение, мы увидеть не сможем, но вот ее таинственное появление, рост и исчезновение заставят нас немало удивиться.

Четырехмерные существа, попавшие в наш мир, обладали бы, с нашей точки зрения, поистине магическими способностями. Они запросто могли бы, например, взяв левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и превратить в правый. Если это кажется непонятным, представьте себе двумерный ботинок – нечто вроде бесконечно тонкой подошвы, имеющей форму правой или левой ступни. Вырезаем его из бумаги, поднимаем, переворачиваем и кладем на место. И пожалуйста – был правый ботинок, стал левый! Двумерное существо такой трюк поверг бы в полное изумление, а нам, вооруженным третьим измерением, это проще простого.

В принципе, четырехмерному существу ничего не стоило бы перевернуть в четвертом измерении и целого (трехмерного) человека. Впрочем, отсутствие прецедентов, когда в человеке все правое и левое вдруг поменялось бы местами, дает основания полагать, что в реальности такого не происходило. В рассказе “История Платтнера” Герберт Уэллс описывает удивительный случай, происшедший со школьным учителем Готфридом Платтнером, который после взрыва в кабинете химии исчезает на девять дней. Вернувшись, он представляет собой зеркальное отражение предыдущего себя, но его рассказ о том, что произошло во время его отсутствия, встречают с недоверием. Если человека действительно “перевернуть” таким образом в четвертом измерении, это мало того что вызовет у него шок при виде собственного отражения в зеркале (лица людей на удивление асимметричны), но и не лучшим образом отразится на здоровье. Многие важнейшие вещества в нашем организме, в том числе глюкоза и большинство аминокислот, имеют определенную ориентацию: например, молекулы ДНК, имеющие форму двойной спирали, всегда закручены как винт с правой резьбой. Если у всех них поменять ориентацию, мы умрем от истощения – ведь в таком преображенном виде многие из необходимых питательных веществ растительного и животного происхождения наш организм просто не сможет усвоить.

Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, – ленты Мёбиуса – и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение. Во второй половине XIX века среди математиков, изучавших новую область – многомерную геометрию, – выделялись трое ученых: швейцарец Людвиг Шлефли, англичанин Артур Кэли и немец Бернхард Риман.

Свой главный труд Theorie der Vielfachen Kontinuität (“Теория многократной континуальности”) Шлефли начал со слов: “Настоящий трактат… это попытка обосновать и выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь аналитической геометрией n измерений, содержит таковую для плоскости и пространства в качестве частных случаев для n = 2, 3”[6]. Далее он описал многомерные аналоги многоугольников и многогранников, назвав их “полисхемами”. Сейчас для них используют термин “политопы”[7], придуманный немецким математиком Рейнгольдом Хоппе и введенный в английский язык Алисией Буль Стотт, дочерью английского математика и логика, автора булевой алгебры Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль, математика-самоучки и автора книг о математике.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого – правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр. Четырехмерные эквиваленты платоновых тел – это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и “двойственный” ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани ребрами, а ребра гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа – стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник с 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково – в каждом по три.

Благодаря работам Кэли, Римана и других ученых, математики научились выполнять сложные алгебраические вычисления для четырехмерного пространства и создали новые, многомерные геометрии, выходившие за рамки правил, установленных Евклидом. Но вот что им все равно никак не удалось, так это начать видеть в четырех измерениях. А возможно ли это вообще? Этот вопрос не давал покоя британскому математику, преподавателю и автору научно-фантастических романов Чарльзу Говарду Хинтону. Ему не было и тридцати, когда он начал преподавать в частных английских школах: сначала в Челтнемском колледже (графство Глостершир), а потом в Школе Аппингем (графство Ратленд), где его коллегой (и главным тамошним преподавателем математики) был Говард Кэндлер, друг Эдвина Эбботта. Именно тогда, в 1884 году, Эбботт опубликовал свой ставший теперь классическим сатирический роман “Флатландия: роман о четвертом измерении”[8]. А четырьмя годами раньше Хинтон написал свою статью об альтернативных пространствах под названием “Что такое четвертое измерение?”, в которой выдвинул идею, что частицы, движущиеся в трехмерном пространстве, могут быть представлены как последовательные поперечные сечения прямых и кривых линий, существующих в четвертом измерении. Возможно, и мы сами в реальности – четырехмерные существа, “наши же последовательные состояния… соответствуют… прохождению их через трехмерное пространство, которым ограничено наше сознание”[9]. Об отношениях между Эбботтом и Хинтоном известно немного, но о работе друг друга они точно знали (и упоминали это в своих трудах) и какой-то контакт между ними был, пусть даже опосредованный – через общего друга и коллегу. Кэндлер наверняка обсуждал с Эбботтом молодого преподавателя из Аппингема, так открыто говорившего и писавшего об иных измерениях.

Обложка первого издания “Флатландии” Эдвина Эбботта.

Хинтон был, мягко говоря, чужд условностям. В то время, когда он преподавал в Англии, он женился на Мэри Эллен Буль, дочери вышеупомянутых Мэри Эверест Буль (а она сама была племянницей Джорджа Эвереста, в честь которого названа высочайшая гора мира) и Джорджа Буля. К сожалению, через три года после заключения брака он тайно обвенчался с другой женщиной, Мод Флоренс. С ней он познакомился, когда работал в Челтнемском колледже, она родила ему двойню. Не исключено, что на поведение Чарльза повлияли взгляды его отца, хирурга Джеймса Хилтона, который возглавлял секту, практикующую полигамию и свободную любовь. Так или иначе, Хинтона судили в Олд-Бейли[10] и признали виновным в двоеженстве. Несколько дней ему пришлось провести в тюрьме. После этого он несколько лет учительствовал в Японии, куда бежал вместе с (первой) семьей, а позже переехал в США, где получил место преподавателя математики в Принстонском университете. Там в 1897 году он сконструировал пушку, которая с помощью пороховых зарядов выстреливала бейсбольные мячи со скоростью от 40 до 70 миль в час. Газета The New York Times в выпуске от 12 марта того года описывала устройство как “тяжелое орудие со стволом длиной около двух с половиной футов, имеющее в задней части ствола приспособление для присоединения ружья”. Главным достоинством пушки была возможность подачи крученых мячей, которая достигалась посредством “двух изогнутых стержней, вставлявшихся в ствол”. Несколько сезонов команда университета периодически пользовалась пушкой для тренировок, но в конце концов ее сочли слишком опасной. Неясно, стали ли причиненные орудием травмы одной из причин увольнения Хинтона из Принстона. Если так, это не помешало ему вернуться к своему изобретению в Миннесотском университете, где он недолго преподавал в 1900 году, до того как получил должность в Военно-морской обсерватории США в Вашингтоне.

Увлечение Хинтона четвертым измерением началось еще во время преподавания в Англии, когда многие из писавших об этом предполагали наличие связи между высшими измерениями и спиритуализмом. В 1878 году профессор астрономии Лейпцигского университета Фридрих Цёлльнер опубликовал в The Quarterly Journal of Science (редактором там был химик и известный спиритуалист Уильям Крукс) статью “О пространстве четырех измерений”. Излагая в начале статьи математическую основу своей теории, Цёлльнер сделал отсылку к историческому докладу Бернхарда Римана “О гипотезах, лежащих в основании геометрии”, опубликованному в 1868 году, спустя два года после смерти автора и через 14 лет после того, как он был впервые прочитан Риманом в виде лекции, когда тот был еще студентом Гёттингенского университета. Риман развил идею, впервые высказанную его научным руководителем в Гёттингене, великим Карлом Гауссом, о том, что трехмерное пространство может иметь кривизну (точно так же как двумерная поверхность, скажем, сфера), и обобщил понятие кривизны на пространства произвольной размерности. Результат, известный как эллиптическая, или риманова, геометрия, позднее лег в основу общей теории относительности Эйнштейна. Цёлльнер также заимствовал предположение молодого ученого Феликса Клейна, занимавшегося проективной геометрией: в своей опубликованной в 1874 году статье тот показал, что развязывать узлы и разъединять продетые одно в другое кольца возможно, просто перенося их в четвертое измерение и там переворачивая. Так, начав с прочного математического обоснования, Цёлльнер подготовил почву для изложения своей теории – объяснения того, как ду́хи, существующие, по его мнению, в высших измерениях, способны выполнять удивительные трюки (особенно с развязыванием узлов), которые он наблюдал на спиритических сеансах знаменитого медиума Генри Слейда (разоблаченного впоследствии как мошенника и шарлатана). Как и Цёлльнер, Хинтон считал, что в рамках трехмерного восприятия действительности нас удерживает только сила привычки и что четвертое измерение, возможно, находится рядом с нами – нужно лишь научиться его видеть.

Хотя представить себе четырехмерный объект затруднительно, нарисовать его плоское изображение довольно легко, особенно если это четырехмерный аналог куба, для которого Хинтон придумал термин “тессеракт”. Для начала нарисуйте два квадрата, слегка отступающие друг от друга, затем соедините их углы прямыми линиями. У вас получится изображение куба в перспективе – ваше воображение придает ему объем, как бы разделяя квадраты в пространстве. Теперь нарисуйте два куба, соединенные углами. Будь у нас четырехмерное зрение, мы увидели бы их как два куба, разделенные в четвертом измерении, – то есть как перспективное изображение тессеракта. К сожалению, такие плоские изображения четырехмерных объектов слабо помогают нам понять, как те выглядят в действительности. Хинтон осознал, что научиться видеть в четырех измерениях легче, наблюдая трехмерные модели, которые при вращении демонстрируют различные аспекты четырехмерных объектов: по крайней мере, при этом мы рассматриваем перспективное изображение реального объекта, а не перспективное изображение другого перспективного изображения. Для этого он придумал хитроумное наглядное пособие в виде набора разноцветных деревянных кубиков с гранью в один дюйм. Полный набор состоял из 81 кубика, раскрашенного в 16 цветов, из 27 “плиток”, использовавшихся для демонстрации аналогии с трехмерными объектами, которые можно построить в двумерном пространстве, и из 12 разноцветных “каталожных” кубов. Путем сложных манипуляций с кубиками, детально описанных им в книге “Четвертое измерение”, впервые опубликованной в 1904 году, Хинтон сумел представить различные поперечные сечения тессеракта, а затем, запомнив, какие именно кубы и в какой ориентации составляют эти сечения, заглянуть в многомерный мир.

Действительно ли Хинтон научился создавать четырехмерные образы в своем воображении? Удалось ли ему в дополнение к привычным нам направлениям вверх-вниз, вперед-назад и вправо-влево увидеть “ката” и “ана” (так он назвал два противоположных направления, существующие в четвертом измерении)? Не имея возможности залезть к нему голову, мы вряд ли это узнаем. Нам точно известно, что не он один пытался создать трехмерные модели четырехмерных объектов. Он продемонстрировал кубики сестре своей жены Алисии Буль Стотт, которая интуитивно почувствовала геометрию четвертого измерения и мастерски освоила создание картонных моделей, представляющих собой трехмерные сечения четырехмерных политопов. Вопрос тем не менее остается: можно ли таким способом выработать у себя настоящее четырехмерное видение, или же такие модели просто помогают понять и освоить геометрию четырехмерных объектов?

В каком-то смысле способность видеть дополнительное измерение сродни способности различать новый цвет, который мы раньше не видели. В 1923 году французскому импрессионисту Клоду Моне в возрасте 82 лет сделали операцию по удалению помутневшего хрусталика (катаракты) левого глаза. После этого преобладающие цвета в его произведениях поменялись с теплой гаммы оттенков красного и коричневого на синие, голубые и фиолетовые. Он даже переписал некоторые свои работы, добавив, например, к белым кувшинкам оттенки голубого. Это дало основания предположить, что после операции Моне стал видеть ультрафиолетовый участок спектра. Возможность такого изменения зрения подтверждается известным фактом, что хрусталик глаза человека не пропускает свет с длиной волны меньше 390 нанометров (миллиардных долей метра) – это нижний предел фиолетового диапазона, – хотя сама сетчатка способна воспринимать свет с длинами волн до 290 нанометров, то есть ультрафиолетовый. Есть также немало более поздних свидетельств, когда после удаления хрусталика как дети, так и люди в возрасте приобретают способность видеть участок спектра за пределами фиолетового. Один из наиболее подробно описанных случаев произошел с бывшим военным летчиком, инженером из штата Колорадо Алеком Комарницким, которому заменили пораженный катарактой хрусталик на искусственный, пропускавший часть ультрафиолетового излучения. В 2011 году тестирование с помощью монохроматора в лаборатории фирмы Hewlett-Packard показало, что Комарницкий видит свет с длинами волн до 350 нанометров как темно-фиолетовый и даже различает яркость излучения, находящегося в еще более дальнем участке ультрафиолетового спектра, вплоть до 340 нанометров.

Вращение тессеракта. Вверху: традиционное изображение тессеракта как “куба в кубе”. В середине: результат вращения на небольшой угол; центральный куб начал смещаться и преобразовываться в правый куб. Внизу: в результате дальнейшего вращения тессеракта центральный куб переместился гораздо ближе к тому месту, где вначале находился правый куб. В итоге тессеракт совершает полное вращение и возвращается в первоначальное состояние. Важно, что в процессе вращения тессеракт не претерпел никакой деформации, а все видимые на иллюстрациях искажения – результат изменения перспективы.

У большинства из нас в сетчатке три типа колбочек (рецепторов, отвечающих за цветовое зрение). У основной массы людей, страдающих так называемой цветовой слепотой, а также у многих других млекопитающих, в том числе собак и широконосых обезьян, типов колбочек только два, поэтому они видят приблизительно 10 000 оттенков цветов, а не миллион или около того, как все остальные. Однако известны редкие случаи, когда в сетчатке человека удавалось обнаружить четыре рабочих типа колбочек. Такие люди (“тетрахроматы”) способны, по оценкам ученых, различать почти на сто миллионов оттенков больше, чем остальные. Но поскольку им, как и всем нам, свойственно полагать, что цветовое зрение у всех одинаковое, без специального тестирования они могут далеко не сразу осознать свои сверхспособности.

Итак, в определенных обстоятельствах люди могут видеть то, что большинству из нас недоступно. Если есть люди, видящие ультрафиолетовое излучение или различающие больше оттенков цветов, чем другие, то почему не быть и таким, которые могут видеть четвертое измерение? Судя по всему, наш мозг способен научиться обрабатывать сенсорную информацию, которую мы обычно не воспринимаем. Не исключено, что он может также научиться создавать в нашем воображении четырехмерные образы.

Сегодня компьютеры и другие передовые технологии дают нам огромное преимущество в поисках возможности визуализировать мир четырех измерений. Можно легко создать анимацию каркасной модели тессеракта – например, показать, как в процессе вращения меняется его изображение на плоском экране. Наш мозг, конечно, все равно интерпретирует то, что мы видим, как странное поведение сопряженных друг с другом кубов, а не как четырехмерное изображение. И все-таки мы сознаем, что перед нами происходит нечто необычное, что невозможно объяснить с точки зрения привычных трех измерений. Есть ли надежда, что сегодняшние (или завтрашние) технологии позволят нам увидеть четвертое измерение непосредственно?

Существует точка зрения, согласно которой, что бы там ни говорили Хинтон и другие, человек никогда не сможет по-настоящему видеть в четырех измерениях, поскольку весь мир наш безнадежно трехмерен, и мозг наш трехмерен, и весь аппарат, которым снабдила нас эволюция, способен интерпретировать получаемую от органов чувств информацию только в трехмерном контексте. Никакие усилия человеческого разума не смогут переместить частицы, из которых состоят наши тела, в иную плоскость бытия. И никакие чудеса инженерной мысли никогда не позволят нам создать четырехмерный объект, например настоящий тессеракт. Это, впрочем, никогда не останавливало писателей-фантастов, в чьем воображении то и дело возникают всевозможные странные стечения обстоятельств, приводящие к тому, что у обычного трехмерного объекта появляется дополнительное измерение. В рассказе Роберта Хайнлайна “Дом, который построил Тил”, впервые опубликованном в феврале 1941 года в журнале Astounding Science Fiction, изобретательный инженер спроектировал дом, имеющий восемь кубических комнат, расположенных в виде трехмерной развертки тессеракта. К несчастью, вскоре после завершения строительства происходит землетрясение – и дом складывается в реальный гиперкуб, а рискнувшие войти в него оказываются полностью сбитыми с толку происходящими внутри явлениями. В рассказе “Лист Мёбиуса” (1950 года) часть предельно запутанной системы Бостонского метрополитена оказывается в четвертом измерении вместе с поездом и всеми его пассажирами. Правда, в конце концов все благополучно прибывают в пункт назначения. Автор рассказа Армин Джозеф Дейч, астроном Гарвардской обсерватории (в рассказе, кстати, одна из станций метро называется “Гарвард”), обыгрывает тему бутылки Клейна – односторонней поверхности, которая может существовать только в четырех измерениях, – и ленты Мёбиуса.

Художники тоже пытались запечатлеть в своих произведениях суть четырехмерного пространства. В своем опубликованном в 1936 году “Манифесте димензионистов” венгерский поэт и теоретик искусства Карой Тамко-Ширато утверждает, что в результате эволюции искусства “литература покинула линию и вошла в плоскость… Живопись покинула плоскость и вошла в пространство… [а] скульптура вышла из замкнутых, неподвижных форм”. За этим, продолжает Тамко-Ширато, последует “художественное завоевание четырехмерного пространства, до сих пор остававшегося абсолютно лишенным искусства”. Завершенное Сальвадором Дали в 1954 году “Распятие (Corpus Hypercubus)” объединяет классическое изображение Христа с разверткой тессеракта. В лекции, прочитанной в 2012 году в Музее Сальвадора Дали, геометр Томас Бэнчофф, консультировавший художника по математическим вопросам, связанным с его картинами, объяснял, что Дали пытался взять “объект из трехмерного мира и вынести за его пределы… Целью этого действа было изобразить одновременно две перспективы – два наложенных друг на друга креста”. Подобно ученым XIX века, пытавшимся рационально обосновать спиритуализм наличием бытия в некоем высшем пространстве, Дали использовал идею четвертого измерения, чтобы объединить религиозное с физическим.

У физиков XXI века есть новый повод заинтересоваться высшими измерениями: теории струн. Согласно этим теориям, субатомные частицы, такие как электроны и кварки, описываются не как точки в пространстве, а представляют собой одномерные вибрирующие “струны”. Самое странное свойство этих теорий вот в чем: чтобы быть математически согласованными, им необходимо наличие у пространства-времени, в котором мы живем, дополнительных измерений. Одна из этих теорий, называемая теорией суперструн, исходит из существования десяти измерений, ее разновидность, известная как М-теория, оперирует одиннадцатью, а еще одна, так называемая бозонная теория струн, требует наличия целых двадцати шести измерений. Все эти дополнительные измерения “компактифицированы”, то есть значимы только на фантастически малых расстояниях. Быть может, когда-нибудь мы научимся “усиливать” или “разворачивать” эти измерения или даже наблюдать их как есть. А пока (и в обозримом будущем) придется ограничиться хорошо знакомыми нам тремя макроскопическими измерениями пространства. Так что вопрос о том, в силах ли мы представить себе, как в реальности выглядит четырехмерный объект, остается открытым.

Наш опыт зрительного восприятия мира строится на том, что свет, проходя через глазное яблоко, попадает на сетчатку и создает два плоских изображения. Светочувствительные клетки сетчатки преобразуют свет в электрические сигналы, которые передаются в зрительную кору головного мозга, а уже там двумерная информация реконструируется в трехмерную. Два глаза позволяют нам видеть объект под немного различными углами, а мозг еще в нашем юном возрасте обучается интерпретировать эти различия как разницу в перспективе и строить трехмерное изображение. Но даже закрыв один глаз, мы не переключаемся мгновенно в двумерное толкование мира. Смотря на мир одним глазом, мы все равно получаем от него “подсказки” в виде искажений перспективы, игры света и тени, которые позволяют нам в своем воображении воссоздать объем видимого. А еще для того, чтобы усилить ощущение трехмерности, мы можем двигаться или крутить головой, изменяя угол зрения; можем дополнять то, что видим, информацией от других органов чувств – слуховой, осязательной. Мы так наловчились добавлять к картинке лишнее измерение, что, смотря кино на плоском экране телевизора, автоматически, без всяких 3D-технологий воспринимаем его как объемное.

Спрашивается: если мы способны построить трехмерное изображение из получаемой нами двумерной картинки, можем ли мы, используя трехмерную зрительную информацию, создать в своем воображении мысленный образ четвертого измерения? Наша сетчатка плоская от природы, но у электронной технологии нет такого ограничения. Установив в разных местах достаточное количество фотокамер или других устройств для получения изображений, мы можем собирать информацию одновременно с какого хотим количества точек, под любыми углами. Но все же для формирования четырехмерного изображения этого мало. Наблюдатель с реальным четырехмерным зрением, смотря на объект в нашем мире, способен был бы видеть не только всю его трехмерную поверхность, но одновременно и то, что находится внутри. К примеру, если вы запрете свои ценности в сейфе, четырехмерное существо сможет, бросив на него один лишь взгляд, не только увидеть сейф одновременно со всех сторон, но и заглянуть внутрь (а при желании и достать его содержимое!). И это не потому, что подобное существо обладает рентгеновским зрением и способно видеть сквозь стены, нет. Просто у него есть возможность использовать дополнительное измерение. Мы используем ту же возможность, глядя на замкнутое пространство в двумерном мире. Нарисуйте квадрат на бумаге – пусть это будет двумерный сейф, – а внутри него какие-нибудь драгоценности. Житель Флатландии, обитающий в плоскости своей двумерной страны, увидит только внешнюю границу сейфа – отрезок прямой. Мы же, смотря на лист бумаги – флатландский мир – сверху, видим одновременно и линии, образующие стенки сейфа, и его содержимое и можем, протянув руку, вынуть из него двумерные драгоценности. Флатландец несказанно удивился бы тому, как мы сумели, не проделав ни единого отверстия в стенках, увидеть то, что внутри сейфа, и достать спрятанное. Точно так же и наблюдатель, рассматривающий наш мир из своего четвертого измерения, смог бы одновременно видеть и снаружи, и изнутри все составные части любого трехмерного объекта – будь то дом, автомобиль или человеческое тело.

Один из возможных способов создать если не четырехмерное зрение, то хотя бы его иллюзию – это сконструировать трехмерную сетчатку, состоящую из множества слоев, на каждый из которых проецируется уникальное сечение трехмерного объекта. Информацию с такой искусственной сетчатки можно было бы передавать непосредственно в человеческий мозг таким образом, чтобы у его обладателя был доступ одновременно ко всем сечениям – в точности как у настоящего четырехмерного наблюдателя. В результате получилась бы пусть не реальная четырехмерная картинка, но нечто подобное образу трехмерного объекта, который мы увидели бы, рассматривая его “с высоты” четвертого измерения. Такая технология немало пригодилась бы в разных областях. Причем первый компонент для нее – трехмерная сетчатка – уже существует в реальности: это медицинские сканеры, строящие объемные изображения человеческого тела из двумерных изображений-срезов. Второй компонент нам пока недоступен: мы не можем передать информацию в зрительную кору таким образом, чтобы мозг сумел построить из нее многоракурсное изображение объекта во всех его видах сразу, – для этого у нас нет ни достаточно совершенного нейрокомпьютерного интерфейса, ни нужных знаний в области неврологии. Однако не исключено, что “Человек 2.0” не такая уж далекая перспектива – всего-то нужно подождать еще пару десятков лет. Футуролог Рэй Курцвейл считает, что к 2030-м годам мы будем вживлять себе в мозг наноботы – микроскопические роботы, способные связываться с облачными компьютерными сервисами. В 2017 году технологический предприниматель Илон Маск основал компанию Neuralink, планирующую объединить человеческий мозг с искусственным интеллектом путем вживления в его кору электронных имплантатов.

Научить человека пользоваться трехмерной сетчаткой и создавать мысленные образы таким радикально новым способом будет нелегко, даже имея необходимые для этого технологии и установив связь между ними и корой мозга, – потребуются длительное обучение и тренировки. Зато какие уникальные возможности откроются перед врачами-диагностами, хирургами, исследователями и педагогами!

Сложный процесс обучения четырехмерному видению можно реализовать только при помощи симуляций, поскольку в нашем мире четырехмерных объектов просто не существует. Вероятно, проще всего будет начать с компьютерной модели тессеракта, изучавшегося Хинтоном. Глядя на трехмерное воплощение тессеракта, мы видим его только с одного ракурса, воспринимая лишь одну проекцию четырехмерного объекта. Чтобы человек смог постичь все четырехмерное многообразие тессеракта, зрительному центру мозга потребуется мгновенно собрать воедино и скомбинировать в целостное изображение многочисленные проекции. Повторимся: даже при наличии необходимых технологий и нейронных связей придется потратить немало времени на упражнения и тренировки, чтобы четвертое измерение предстало перед нами во всем своем величии. Трудно – да, но не невозможно. Есть вполне реальная надежда, что, мысленно соединяя с помощью компьютерных технологий в единый образ большое количество трехмерных сечений четырехмерного объекта, мы сумеем понять, что же это такое – видеть в четырех измерениях.

Математика дает нам возможность всесторонне и глубоко изучать то, что неподвластно одному нашему воображению. С ее помощью мы можем выходить за пределы своего привычного трехмерного мира и исследовать в мельчайших подробностях свойства вещей, имеющих четыре и более измерений. Математика позволяет нам двигать вперед теоретическую науку, необходимую для познания Вселенной как на ультрамикроскопическом, так и на космическом уровнях. Но что еще важнее, она открывает перед нами возможность разработать средства, которые позволят нам воочию увидеть многомерный мир.