Натурализованные геометрические элементы образуют либо отрезки прямых определённой длины, либо составленные из них геометрические фигуры. Сделать из них фигуры с криволинейными контурами, (конус, эллипсоид, параболоид, гиперболоид), проблематично, поэтому возникает необходимость перехода к представлению геометрических фигур уравнениями. Для этого их нужно размещать в системе координат. Тогда необходимость в натурализованных элементах отпадает, и они полностью замещаются числами, например, уравнение прямой на плоскости выглядит как y=ax+b, а окружности x2+y2=r2, где x, y – переменные, a, b – константы смещения и наклона прямой, r – радиус окружности. Декарт и независимо от него Ферма разработали основы такой, (аналитической), геометрии, однако Ферма пошёл дальше, предложив ещё более совершенные методы анализа кривых, которые легли в основу дифференциального и интегрального исчисления Лейбница – Ньютона.
В условиях, когда общее состояние науки никак не контролируется, естественно, идёт процесс её замусоривания и разложения. Также бесконтрольно и качество обучения, поскольку в этом заинтересованы обе стороны, и ученики, которые его оплачивают, и учителя, которые на нём зарабатывают. Всё это вылезает наружу, когда ситуация в обществе становится конфликтной из-за некачественного управления общественными институтами и «исправить» её могут только войны и уничтожение основ разумной цивилизации.
Само название «основная теорема арифметики», которую небезосновательно ещё называют «фундаментальной теоремой», казалось бы, должно привлекать к ней особое внимание. Но это может быть так только в нормальной науке, а в той, которая есть, ситуация как в сказке Андерсена, когда из большой толпы людей, окружающих короля, находится лишь один, да и тот ребёнок, заметивший, что король-то голый!
На сохранившейся надгробной плите от захоронения Ферма так и написано: «qui literarum politiorum pluriumque linguarum» – искусный знаток многих языков (см. рис. 93-94 в Приложении V).
Считается, что Ферма оставил только одно доказательство [36], но это не совсем так, поскольку на самом деле это просто словесное описание метода спуска для конкретной задачи (см. Приложение II).
Это была поистине грандиозная мистификация, организованная Принстонским университетом США в 1995 г. после публикации в собственном коммерческом издании «Annals of Mathematics» «доказательства» ВТФ Э. Вайлса и мощнейшей информационной кампанией в СМИ. Казалось бы, такое сенсационное научное достижение должно было быть выпущено массовым тиражом по всему миру. Ан нет! Понимание этого текста доступно только специалистам с соответствующей подготовкой. Вот это да! Теперь даже то, что нельзя понять, может считаться доказательством! Однако справедливости ради следует признать, что даже такое откровенно циничное глумление над наукой, представленное как величайшее «научное достижение» светил университета из Принстона, и в подметки не годится блистательной афере их земляков из Национального космического управления NASA, в результате которой весь цивилизованный мир в течение половины столетия ничуть не сомневался в том, что американские астронавты действительно побывали на Луне!
«Доказательство», которое Э. Вайлс готовил в течение семи лет упорного труда и опубликовал аж на 130 (!!!) журнальных страницах, превзошло все разумные пределы научного творчества и, конечно же, его ожидало неминуемое горькое разочарование. Ведь такой внушительный объём казуистики, понятной только её автору, ни по форме, ни по содержанию никак не подходит для того, чтобы представлять это в качестве доказательства. Но тут произошло самое настоящее чудо. Вдруг невесть откуда появился сам всемогущий нечестивый! Тут же нашлись влиятельные люди, подхватившие «гениальные идеи» и развернувшие бурную пиар кампанию. И вот тебе мировая слава, множество титулов и премий! Открыты двери в самые престижные учреждения! Но вот такого чуда даже и врагу не пожелаешь, ведь рано или поздно афера-то всё равно откроется.
Если бы эта книга была опубликована при жизни Ферма, то его просто порвали бы на куски, т.к. в своих 48 замечаниях он не дал доказательства ни одной из своих теорем. Но в 1670 г. т.е. через 5 лет после его смерти расправляться было не с кем и маститым математикам пришлось самим искать решения предложенных им задач. С этим как-то уж совсем не задалось и, конечно, многие из них не могли простить Ферма такой дерзости. Не забылось и то, что ещё при жизни он дважды устраивал вызовы английским математикам, с которыми те явно не справились, несмотря на его великодушное признание их достойными соперниками в письмах, полученных ими от Ферма. Только через 68 лет после первой публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма ситуация, наконец-то, сдвинулось с мёртвой точки, когда величайший гений науки Леонард Эйлер доказал частный случай ВТФ для n=4, применив метод спуска в точном соответствии с рекомендациями Ферма (см. Приложение II). Позже, благодаря Эйлеру, получили решения и другие задачи, а вот ВТФ так никому и не покорилась.
В пункте 2-30 письма Ферма к Мерсенну ставится задача: «Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб» [9, 36]. Датировка этого письма в издании Таннери вызывает сомнения, т.к. оно было написано после писем с более поздней датировкой. Поэтому вероятнее всего оно было написано в 1638 г. Отсюда делается вывод, что ВТФ появилась в 1637 году??? Но разве у ВТФ такая формулировка? Даже если эти две задачи есть частные случаи ВТФ, то как же можно приписывать Ферма то, о чём в то время он вряд ли мог даже догадываться? Кроме того, на неразрешимость задачи о разложении куба на сумму двух кубов впервые указал арабский математик Абу Мухаммед аль Худжанди ещё в X столетии [36]. А вот неразрешимость такой же задачи с биквадратами является следствием решения задачи из пункта 2-10 того же письма: «Найти прямоугольный треугольник в числах, площадь которого равнялась бы квадрату». Способ доказательства Ферма даёт в своем 45-м замечании к «Арифметике» Диофанта, которое начинается так: «Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом». Таким образом, в то время постановка этой задачи и подход к её решению сильно отличались даже от частного случая ВТФ.
Чтобы сомнений не возникало, были предприняты попытки как-то «обосновать» то, что у Ферма не могло быть доказательства, упоминаемого в оригинальном тексте ВТФ. См. например, https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html (Did Fermat prove this theorem?). Подобная «аргументация» никому из здравомыслящих людей, имеющих отношение к науке, и в голову не придёт, т.к. это даже в принципе не может быть убедительно. Ведь таким способом можно приписать Ферма любую галиматью. Но инициаторы подобных вбросов явно не учли, что это и есть свидетельство организованной и срежиссированной информационной кампании со стороны тех, кто был заинтересован в продвижении «доказательства» Вайлса.
Исключением является один из величайших английских математиков Джон Валлис (John Wallis) см. п. 3.4.3.
Очевидно, что если бы речь шла только о формулировке ВТФ, то было бы очень неразумно записывать её на полях книги. Но сетования Ферма на узкие поля повторяются и в других замечаниях, например, в 45-м, в конце которого он добавляет: «Полное доказательство и пространные объяснения не могут поместиться на полях из-за их узости» [9, 36]. А ведь только одно это замечание занимает целую печатную страницу! Конечно, он ничуть и не сомневался, что его гасконский юмор будет оценён по достоинству. Когда его сын Клеман Самюэль, который, естественно, обнаружил несоответствие пометок на полях подготовленным к публикации замечаниям, то совсем этим не был удивлён, поскольку для него было очевидно, что сразу по ходу чтения книги дать точные формулировки задач и теорем совершенно невозможно. То, что этот экземпляр «Арифметики» Диофанта с рукописными пометками Ферма не дошёл до нас наводит на мысль, что уже тогда он был исключительно ценным раритетом, поэтому мог быть куплен другим владельцем за очень высокую цену и тот, конечно, хотя бы ради собственной безопасности не был настолько глуп, чтобы трубить об этом на весь мир.
Текст последней фразы ВТФ: «Я открыл тому поистине удивительное доказательство, но эти поля слишком узки, чтобы вместить его здесь», − явно не относится к сути содержания теоремы, однако для многих математиков он выглядит настолько вызывающе, что они всячески стремились показать, что это просто пустое бахвальство. При этом они не заметили ни юмора насчет полей, ни ключевого слова «открыл», которое здесь явно не подходит. Более подходящими словами здесь могли быть, скажем, «получил» или «нашёл». Если бы оппоненты Ферма обратили на это внимание, то им стало бы ясно, что слово «открыл» указывает на то, что доказательство он получил неожиданно, решая задачу Диофанта, к которой и было написано замечание, получившее название ВТФ. Таким образом, математики столетиями безуспешно искали доказательство ВТФ вместо того, чтобы искать решение задачи Диофанта о разложении квадрата на сумму двух квадратов. Им-то казалось, что задача Диофанта явно не стоит их внимания. А вот для Ферма она стала едва ли не самой трудной из всех, которыми он занимался, и когда он все-таки с ней справился, то в награду и получил открытие ВТФ.
Любопытно, что русскоязычное издание фундаментального труда Эйлера вышло в 1768 г. под названием «Универсальная арифметика», хотя оригинальное название «Vollständige Anleitung zur Algebra» должно переводиться как «Полное руководство по алгебре». Видимо, переводчики, (студенты Петр Иноходцев и Иван Юдин), резонно полагали, что уравнения исследуются здесь главным образом с точки зрения их решений в целых или рациональных числах, т.е. методами арифметики. Для сегодняшнего читателя это 2-х томное издание представляется как китайская грамота, поскольку вместе с сильно устаревшим русским языком и орфографией здесь просто неимоверное количество опечаток. Вряд ли сегодняшняя РАН как наследница «Императорской академии наук», издавшей этот труд, понимает его истинную ценность, иначе он давно был бы переиздан в современном и общедоступном виде.
Здесь есть аналогия между алгеброй и аналитической геометрией Декарта и Ферма, которая выглядит более универсальной по сравнению с геометрией Евклида. Тем не менее, арифметика и геометрия Евклида являются фундаментами, на которых только и могут появиться алгебра и аналитическая геометрия. В этом смысле идея Эйлера рассматривать все вычисления сквозь призму алгебры заведомо ущербна. Но его логика была совсем иной. Он понимал, что если наука будет развиваться только путём увеличения разновидностей уравнений, которые она способна решать, то рано или поздно она зайдет в тупик. И в этом смысле его исследования представляли для науки огромную ценность. Другое дело, что их алгебраическая форма была воспринята как магистральный путь развития и это привело в дальнейшем к разрушительным последствиям.
Здесь-то и возникает понятие «числовой плоскости», где по оси x располагаются действительные числа, а по оси y мнимые, т.е. те же действительные, только умноженные на «число» i= √-1. Но тогда между этими осями получается противоречие – на действительной оси множитель 1n является нейтральным, а на мнимой оси множитель in нет, а это не согласуется с базовыми свойствами чисел. Если уж вводится число i, то оно должно присутствовать на обеих осях, но тогда нет никакого смысла введения второй оси. Вот и выходит, что с точки зрения базовых свойств чисел эфемерное создание в виде числовой плоскости – полная бессмыслица.
Согласно основной теореме арифметики разложение любого натурального числа на простые множители всегда однозначно, например, 12=2×2×3, т.е. иными простыми множителями это число, как и любое другое, представить невозможно. Но для «комплексных чисел», в общем случае однозначность утрачивается, например, 12=(1+√–11)×(1+√–11)=(2+√–8)×(2+√–8). Фактически это означает крушение науки в самих ее основах. Однако общепринятых критериев, (в виде аксиом), того, что можно относить к числам, а что нет, как не было, так и нет до сих пор.
Теорема и ее доказательство даётся в «Началах» Евклида книга IX, предложение 14. Без этой теоремы решение преобладающего множества арифметических задач становится либо неполным, либо вообще невозможным.
Советский математик Лев Понтрягин показал, что эти «числа» не обладают базовым свойством коммутативности, т.е. для них ab ≠ ba [34]. Следовательно, одно и то же такое «число» нужно представлять только в виде, разложенном на множители, иначе в нём будут одновременно разные величины. Когда в оправдание подобных творений говорят, что математикам не хватает каких-то чисел, то на деле это может означать, что им явно не хватает разума.
Если какой-то очень уважаемый общественный институт поощряет таким образом развитие науки, то что на это можно возразить-то? Однако вот такая возникающая невесть откуда щедрость и бескорыстность со стороны непонятно откуда взявшихся благодетелей выглядит как-то странно, если не сказать заведомо предвзято. Ведь с давних пор хорошо известно, откуда берутся и куда приводят подобные «благие намерения», да и результат этих деяний тоже очевиден. Чем больше возникает учреждений для поощрения учёных, тем в большей степени реальная наука оказывается в руинах. Чего стоит одна только нобелевская премия за «открытие», подумать только … ускоренного разбегания галактик!!!
Проблема Варинга – это утверждение о том, что любое натуральное число N представимо в виде суммы одинаковых степеней xin, т.е. в виде N=x1n+ x2n+…+ xkn. Впервые её очень сложным способом доказал Гилберт в 1909 году, а в 1920 г. математики Харди и Литлвуд упростили доказательство, но их методы ещё не относилось к элементарным. И только в 1942 г. советский математик Ю. В. Линник опубликовал арифметическое доказательство, применив метод Шнилермана. Теорема Варинга – Гилберта имеет фундаментальное значение с точки зрения сложения степеней и не противоречит ВТФ, т.к. в ней нет ограничений количества слагаемых.
Контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера, представляется как 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814; Другой пример 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734. Для пятой степени всё значительно проще 275+ 845+ 1105+ 1335= 1445. Возможно также, что может быть разработан и общий метод подобных вычислений, если удастся получить соответствующее конструктивное доказательство проблемы Варинга.
Конечно же, это вовсе не означает, что компьютерщики лучше разбираются в этой проблеме, чем Гилберт. У них просто не было иного выхода. Ведь замкнутые ссылки зацикливаются, а это приведёт к зависанию компьютера.
Аксиома о том, что сумма двух целых положительных чисел может быть равна нулю, явно не относится к арифметике, т.к. с натуральными или производными от них числами это явно невозможно. Но если есть только алгебра, а арифметики нет, то и не такое станет возможным.
Любопытно, что даже Эйлер, (видимо по оплошности), назвал извлечение корня операцией обратной по отношению к возведению в степень [8], хотя и отлично знал, что это не так. Но ведь это и не секрет, что даже особо одарённые люди часто путаются в очень простых вещах. Эйлер явно не испытывал тяги к формальным построениям основ науки, поскольку у него всегда было в избытке всяких других идей. Он-то думал, что с формальностями разберутся и другие, а получилось так, что именно отсюда и выросла самая большая проблема.
Это очевидно хотя бы по факту того, в какой мощный толчок для развития науки воплотились бесчисленные попытки доказать ВТФ. Кроме того, доказательство ВТФ, полученное Ферма, открывает путь к решению уравнения Пифагора новым способом (см. п. 4.3) и волшебным числам типа a+b–c=a2+b2–c2 (см. п. 4.4).
В русскоязычном разделе «Википедии» эта тема названа «Гипотеза Била». Но поскольку имя автора в оригинале Andrew Beal, то мы будем использовать название «Гипотеза Биэла», чтобы избежать путаницы между именами Beal (Биэл) и Bill (Бил).
В письме Ферма к Мерсенну от 15.06.1641г. сообщается следующее: «Я пытаюсь как можно более полно удовлетворить любопытство г. де Френикля… Однако он просил меня прислать решение одного вопроса, что я откладываю до тех пор, пока не вернусь в Тулузу, так как я теперь нахожусь в деревне, где мне понадобилось бы много времени, чтобы сделать заново то, что я написал по этому поводу и что оставил в своем кабинете» [9, 36]. Это письмо – прямое свидетельство того, что Ферма в своей научной деятельности никак не мог обходиться без своих рабочих записей, которые, судя по дошедшим до нас документам, были весьма объемистыми и их вряд ли можно было постоянно иметь при себе в различных поездках.
Если бы Ферма дожил до того времени, когда Академия наук была создана и стал бы академиком, то и в этом случае он вначале публиковал бы только постановки задач и, только спустя достаточно длительное время, основную суть их решения. Иначе могло бы создастся впечатление, что эти задачи слишком просты.
Для этой задачи нужно использовать тождество: (a2+b2)×(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad−bc)2 = (ac−bd)2 + (ad+bc)2. Далее берём два числа 4 + 9 = 13 and 1 + 16 = 17. Их произведение будет 13×17 = 221 = (4 + 9) × (1+16) = (2×1 + 3×4)2 + (2×4 − 3×1)2 = (2×1 − 3×4)2 + (2×4 + 3×1)2 = 142 + 52 = 102 + 112; Теперь если 2216 = (2213)2 = 107938612; то требуемый результат будет 2217 = (142 + 52)×107938612 = (14×10793861)2 + (5×10793861)2 = 1511140542 + 539693052 = (102 + 112)×107938612=(10×10793861)2 + (11×10793861)2=1079386102 + 1187324712; Но можно пойти и другим путём, если представить исходные числа, например, следующим образом: 2212 = (142 + 52)×(102 + 112) = (14×10 + 5×11)2 + (14×11 − 5×10)2 = (14×10 − 5×11)2 + (14×11+5×10)2 = 1952 + 1042 = 852 + 2042; 2213 = 2212×221 = (1952 + 1042)×(102 + 112) = (195×10 + 104×11)2 + (195×11 − 104×10)2 = (195×10 − 104×11)2 +(195×11 + 104 × 10)2 = 3 0942 + 11052 = 8062 + 31852; 2214 = (1952 + 1042)×(852 + 2042) = (195×85 + 104×204)2 + (195×204 − 85×104)2 = (195×85 − 104×204)2 + (195×204 + 85×104)2 = 377912 + 309402 = 46412 + 486202; 2217 = 2213×2214 = (30942 + 11052)×(377912 + 309402) = (3094×37791 + 1105×30940)2 + (3094×30940 − 1105×37791)2 = (3094×37791 − 1105×30940)2 + (3094×30940 + 1105×37791)2; 2217 = 1511140542 + 539693052 = 827366542 + 1374874152
Если были бы найдены рабочие записи Ферма, то оказалось бы, что его способы решения задач гораздо проще, чем те, которые известны сейчас, т.е. сегодняшняя наука еще не достигла того уровня, который имел место в его утраченных работах. Но как же могло случиться, что эти записи пропали? Вероятными могут быть две версии. Первая – это наличие у Ферма тайника, о котором никто, кроме него не знал. Если это было так, то шансов на то, что он сохранился почти нет. Дом в Тулузе, где жил Ферма со своей семьей не сохранился, иначе там был бы музей. Остаются места работы – это тулузский Капитолий, (перестроен в 1750 г.), и здание в городе Кастр, (не сохранилось), где Ферма руководил собранием судей. Только призрачные шансы есть на то, что хотя бы какие-то стены сохранились с тех времен. Другая версия заключается в том, что бумаги Ферма имелись у его семьи, но по каким-то причинам не сохранились, (см. Приложение IV, год 1660, 1663 и 1680).
Для математиков и программистов понятие аргумента функции вполне обычно и уже давно общепринято. В частности, как f(x,y,z) обозначают функцию с переменными аргументами x,y,z. Определение сущности числа через понятие аргументов функции делает его очень простым, понятным и действенным, поскольку всё, что известно о числе, исходит отсюда, а то, что этому определению не соответствует должно подвергаться сомнению. Это не просто необходимая осторожность, но и эффективный способ проверки на прочность всякого рода конструкций, незаметно подменяющих сущность числа на сомнительные нововведения, делающие науку бестолковой и непригодной для обучения.
Точного определения понятия «данные» не существует, если не относить к нему описание из толкового словаря. Отсюда следует и неопределённость производных от него понятий, таких как «форматы данных», «обработка данных», «операции с данными» и т.п. Такая неопределённая терминология порождает шаблонное мышление, указывающее на то, что разум не развивается, а тупеет и, достигая в этой мешанине из пустых слов некоторой критической точки, просто перестает соображать. В данной работе это определение понятия «данные» дано в п. 5.3.2, но для этого требуется дать самое общее определение понятия «информация», которое по своей трудности будет ещё и покруче определения понятия числа, поскольку и само число есть информация. Подвижки в этом вопросе настолько значимы, что за ними следует реальный технологический прорыв с таким потенциалом эффективности, который будет несопоставимо выше того, что был обусловлен появлением компьютеров.
Вычисления – это не только действия с числами, но и применение методов достижения конечного результата. С действиями справляется даже машина, если разум оснащает её соответствующими методами. Но если разум сам становится подобием машины, т.е. не осознаёт методов вычислений, то он способен создавать только чудовища, которые его же и уничтожат. Именно к этому всё сейчас и идёт из-за полного отсутствия решения проблемы обеспечения безопасности данных. А вся эта проблема в том, что информатика как наука просто не существует.
Специалисты, комментирующие древние, по их мнению, «Начала» Евклида и «Арифметику» Диофанта, будто завороженные видят, но никак не могут признать очевидное. Ни Евклид, ни Диофант не могут быть создателями содержания этих книг, это не под силу даже современной науке. Более того, эти книги появились только в эпоху позднего средневековья, когда уже развилась необходимая для этого письменность. Авторы этих книг были всего лишь переводчиками действительно древних источников, принадлежавших другой цивилизации. В наше время людей с такими способностями называют экстрасенсами.
Если мы с самого начала не определились с понятием числа и имеем представление о нём только через прототипы, (количество пальцев рук, или дней недели и др.), то рано или поздно мы обнаружим, что вообще ничего о числах не знаем и при вычислениях следуем необъятному множеству способов и правил, полученных эмпирическим путем. Но если же изначально мы имеем точное определение понятия числа, то при любых вычислениях сможем следовать только одному этому определению и вытекающему из него относительно небольшому перечню правил. Если мы сами создаём требуемые числа, то сможем это делать через аргументы функции, представляемые в общепринятой системе счисления. А вот когда нужно вычислить неизвестные числа, соответствующие заданной функции и условиям задачи, то зачастую потребуются особые методы, которые без понимания сущности чисел будут очень трудными.
Содержание аксиом Пеано следующее:
(А1) 1 есть натуральное число.
(А2) Для любого натурального числа n есть натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом, следующим за n.
(А3) Если m' = n' для каких-либо натуральных чисел m,n, то m = n.
(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.
(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n' также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.
В «Началах» Евклида есть нечто похожее на эту аксиому:
«1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым. 2. Число же – множество, составленное из единиц», (Книга VII, Определения.).
Итак, считалка – это именованные начальные числа в готовом, (сосчитанном), виде, чтобы на их основе стало возможно, используя аналогичный метод, именовать также любые другие числа. Всё это, конечно, совсем не сложно, но почему же этому не учат в школе, а просто заставляют всё заучивать без объяснений? Ответ очень простой – потому что наука просто не знает, что есть число, а признаться в этом никак не может.
Аксиомы действий, которые до сих пор отдельно не выделялись, также являются прямым следствием определения сущности понятия числа. Они, как способствуют обучению, так и устанавливают определенную ответственность за обоснованность любых научных изысканий в области чисел. В этом смысле последняя 6-я аксиома выглядит даже слишком категоричной. Но без такого рода ограничений в систему знаний можно протаскивать любую тарабарщину и затем называть это «прорывом в науке».
В этом реконструированном доказательстве Ферма исключается ошибка, допущенная у Евклида. Однако, начиная с Гаусса, другие известные доказательств основной теоремы арифметики повторяют эту же самую ошибку. Исключением является доказательство, которое получил немецкий математик Эрнст Цермело, см. Приложение I.
Факсимиле издания с доказательством ЗТФ Коши опубликовано Google под названием MEMIRES DE LA CLASSE DES SCIENCES MATHTÉMATIQUES ET PHYSIQUES DE L’INSTITUT DE France. ANNEES 1813, 1814, 1815: https://books.google.de/books?id=k2pFAAAAcAAJ&pg=PA177#v=onepage&q&f=false. То, что нам нужно находится на стр. 177 под названием DEMONSTRATION DU THÉORÉME GÉNÉRAL DE FERMAT, SUR LES NOMBRES POLYGONES. Par M. A. L. CAUCHY. Lu à l’Académie, le 13 novembre 1815 (см. рис. 34, 35). Общее доказательство Коши занимает 43 (!!!) страницы, и только одно это обстоятельство указывает на то, что ни в один учебник оно не влезает. Аналогичный труд с доказательством ВТФ для n=7 выполнил коллега Коши по Академии наук Габриэль Ламе. Подобные творения не то, что студентам, но и академикам не по силам, т.к. первые ничего не могут в них понять, а вторые просто не располагают для этого необходимым временем. Тогда выходит, что такие доказательства вряд ли возможно проверить, насколько они убедительны, т.е. являются ли вообще доказательствами. А вот если бы Коши применил рекомендованный Ферма метод спуска, то доказательство стало бы настолько убедительным, что никаких проверок просто не потребовалось бы. Отсюда следует очень простой вывод: Золотая теорема Ферма, также как некоторые другие его теоремы до сих пор остаются недоказанными.
Примеры демонстрируются во множестве видео из Интернета, впрочем, эти примеры никак не умаляет достоинств профессоров, отлично знающих своё дело.
Надо признать, что метод доказательства Фрая в принципе такой же, как и у Ферма, т.е. он основан на получении решения уравнения an+bn=cn путём его объединения в систему с другим уравнением – ключевой формулой, и затем решения этой системы. Но если ключевая формула Ферма a+b=c+2m выведена напрямую из исходного уравнения, то у Фрая она просто взята с потолка и пристёгнута к уравнению Ферма an+bn=cn, т.е. «кривая Фрая» y2=x(x−an)(x+bn) – это фокуснический приём, позволяющий скрыть суть проблемы и заменить её на некую иллюзию. Даже если бы Фрай доказал отсутствие в его уравнении целочисленных решений, то всё равно это никоим образом не могло бы вывести его на доказательство ВТФ. Но ему и этого не удалось, поэтому одна «гениальная идея» родила «ещё более гениальную идею» о противоречии «кривой Фрая» гипотезе Танияма – Симура. С таким подходом можно получить невероятно большие возможности для манипулирования и подтасовок под нужный результат, например, можно «доказать», что уравнение a+b+c=d, как и уравнение Ферма an+bn=cn в целых числах не решается, если пристегнуть к нему уравнение abc=d. Однако такие «идеи», явно указывающие на на подмену предмета доказательства, вообще не должны рассматриваться, т.к. фокусники только и надеются на трудности прямого опровержения их трюка.
Вот как сам Э. Вайлс комментирует ошибку, найденную в его «доказательстве» в 1993 г.: «Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail» – «Для того чтобы объяснить это математику нужно 2-3 месяца очень подробного обучения этой части текста». См. публикацию Nova http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html Выходит, что это «доказательство» понимает только его автор, а всем остальным нужно учиться и учиться.
См., например, интернет издания «Ивлиев Ю.А. Разгадка феномена Великой теоремы Ферма», или Руди Л.В. «Гипотеза Эндрю Била – Это очередная провокация математической мафии против молодежи мира». Подобные развенчания очень подробны, но слишком избыточны, поскольку доводы основных авторов «доказательства» ВТФ Г. Фрая и Э. Вайлса выглядят настолько нелепыми, что ни чем иным, как гипнотическим влиянием нечестивого, невозможно объяснить, как в течение многих лет после 1995 г. почему-то никто из признанных учёных мужей так и не заметил, что вместо доказательства ВТФ нам подсунули нечто совсем другое.
Аналогично примеру Пифагора 32+42=52 очень простой и красивый пример сложения степеней обнаружил Эйлер: 33+43+53=63. Другие примеры см. в комментарии 22 п.2.
Например, проблема бесконечности множества пар простых чисел-близнецов, или задача Гольдбаха о представлении любого чётного натурального числа суммой двух простых чисел. Да и решение самой крутой задачи арифметики об эффективном способе вычисления простых чисел пока ещё очень далеко от совершенства, несмотря на тонны бумаги, затраченной на исследования этой проблемы.
В частности Эдвардс в своей внушительной по объему книге [6], [38] оказался не в курсе того, что задачу Ферма о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов решил Гаусс. Но именно эта задача стала своеобразным мостом к последующему открытию ВТФ. Сам Ферма впервые сообщил о ней в письме к Блезу Паскалю от 25.09.1654 г. и это одно из свидетельств того, что из всех своих научных работ ВТФ – это действительно последнее и самое большое его открытие.
Главное и принципиальное отличие методов Ферма от методов других учёных заключается в том, что его методы достаточно универсальны для очень широкого круга задач и не связаны напрямую с конкретной задачей. Как правило, попытки решить задачу начинаются с пробных вычислений и перебором всех возможных вариантов, и те, кто быстрее считает, получают соответственно больше возможностей её решить. У Ферма иной подход, он делает пробы только с той целью, чтобы подвести их под какой-либо подходящий для данной задачи универсальный метод. И как только ему это удаётся, то задача практически решена, причём результат гарантирован даже в том случае, если впереди остается ещё очень большой объём рутинных вычислений. См., например, комментарий 30 в п. 2.
В оригинале решение задачи Диофанта следующее. «Пусть надо разложить число 16 на два квадрата. Положим, что 1-й равен x2, тогда 2-й будет 16−x2. Составляю квадрат из некоторого количества x минус столько единиц, сколько их в стороне 16-ти; пусть это будет 2x–4. Тогда сам этот квадрат равен 4x2–16x+16. Он должен равняться 16−x2. Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5x2 равно 16x и x окажется равным 16-ти пятым. Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом» [2, 27].
Если c2=p2N2 и p2, (а также любой другой pi2 из простых множителей c), не раскладывается на сумму двух квадратов, т.е. p2=q2+r, где число r не есть квадрат, то c2=p2(q2+r)=(pq)2+p2r, и здесь во всех вариантах чисел q и r получится, что p2r тоже не есть квадрат, тогда число c2 также не может быть суммой двух квадратов.
Это открытие впервые изложено в письме Ферма к Мерсенну от 25.12.1640 г. [36, 9]. Здесь же в п. 2-30 сообщается: «Это же число, (простое типа 4n+1), будучи гипотенузой одного прямоугольного треугольника, будет в квадрате гипотенузой двух, в кубе – трёх, в биквадрате – четырёх и т.д. до бесконечности». Это удивительная и совершенно не свойственная Ферма невнимательность. Ведь верное утверждение дано в соседнем абзаце, (п. 2-20). То же самое повторено в замечании Ферма к комментарию Баше к задаче 22 книги III «Арифметики» Диофанта. Но здесь сразу же после этого явно ошибочного утверждения следует верное: «Это же простое число и его квадрат только одним способом разлагаются на два квадрата; его куб и биквадрат – двумя; квадрато-куб и кубо-куб – тремя и т.д. до бесконечности». В этом письме Ферма, видимо, ощущал, что здесь что-то не так, поэтому добавил такую фразу: «Я пишу Вам в такой спешке, что не обращаю внимания на то, что есть ошибки, и опускаю много вещей, о которых я Вам подробно расскажу в другой раз». Это, конечно, не та ошибка, которая могла бы иметь серьезные последствия, но факт заключается в том, что эта ляпа тиражируется в печатных изданиях и в Интернете уже четвертое столетие подряд! Выходит, что бесчисленное количество публикаций работ Ферма никто ещё ни разу внимательно не читал, ведь иначе появилась бы ещё одна его задача, которая явно не имела бы никакого решения.
Доказательство Эйлера неконструктивно, т.е. оно не дает метода вычисления двух квадратов, из которых состоит простое число типа 4n+1 (см Приложение III). Пока у этой задачи есть только решение Гаусса, но оно получено в рамках очень сложной системы «Арифметики вычетов». Решение, о котором сообщал Ферма, до сих пор остаётся неизвестным. Впрочем, см. комментарий 172 в Приложении IV (Год 1680).
Способы вычислений простых чисел были предметом поисков ещё с древних времен. Наиболее известный способ получил название «Решето Эратосфена». Многие другие способы также были разработаны, но широкого применения не получили. Сохранился обрывок письма Ферма с описанием созданного им метода – письмо LVII 1643 г. [36]. В п.7 письма-завещания он отмечает: «Я признаюсь, что моё изобретение для установления того, будет ли данное число простым или нет, несовершенно. Но у меня есть много путей и методов для того, чтобы сократить число делений и значительно их уменьшить, облегчая обычную работу». См. также п. 5.1 с комментариями 73-74.
Ферма обнаружил формулу (2) после преобразования уравнения Пифагора в алгебраическое квадратное уравнение см. Приложение IV рассказ Год 1652. Однако алгебраическое решение не даёт понимания сути полученной формулы. Впервые этот способ был опубликован в 2008 г. [30].
Например, если m=p1p2, то кроме первых трех решений будут ещё другие:
A4=p1; B4=2p1p22; A5=p2; B5=2p12p2; A6=2p1; B6=p1p22
A7=2p2; B7=p2p12; A8=p12; B8=2p22; A9=p22; B9=2p12
Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней [30].
В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n. Но можно идти и обратным путём, просто дать тождество (9), а затем разложить в нём на множители разности степеней и так можно получить (8) без использования «Бинома Ферма» (7). Но этот путь может быть уловкой, чтобы скрыть понимание сути, ведь когда некое тождество как бы падает с неба, то вроде бы и возразить-то нечего. Однако, если заученно идти по этому пути, то есть риск разоблачения в непонимании сути, т.к. вопрос о способе получения тождества, может остаться без ответа.
Учитывая, что с−a=b−2m, выражение в квадратных скобках уравнения (8) можно преобразовать следующим образом: (c ++ b)n − (a ++ 2m)n = сn-1 − an-1 + cn-2b − an-22m + cn-3b2 − an-3(2m)2 + … + bn-1 − (2m)n-1; сn-1 − an-1 = (с−a)(c++a)n-1; cn-2b − an-22m = 2m(cn-2 − an-2) + cn-2(b − 2m) = (c − a)[2m(c ++ a)n-2 + cn-2]; cn-3b2 − an-3(2m)2 = (2m)2(cn-3 − an-3) + cn-3(b2 − 4m2) = (c − a)[4m2(c++a)n-3 + cn-3(b + 2m)]; bn-1 − (2m)n-1 = (b − 2m)(b ++ 2m)n-1 = (c − a)(b ++ 2m) n-1; Все разности чисел, кроме первой и последней, можно задать в общем виде: cxby − ax(2m)y = (2m)y(cx−ax) + cx[by−(2m)y] = (c − a)(c ++ a)x(2m)y + (b − 2m)(b ++ 2m)ycx = (c−a)[(c++a)x(2m)y+(b++2m)ycx]; И отсюда понятно, каким образом число (с − a) выносится за скобки. Аналогично можно вынести за скобки множитель a+b=c+2m. Но это возможно только для нечётных степеней n. В этом случае уравнение (10) будет иметь вид AiBiCiDi = (2m)n, где Ai = c−b = a −2m; Bi = c − a = b − 2m; Ci = a + b = c + 2m; Di – полином степени n − 3 [30].
Уравнение (10) может существовать только если выполняется (1), т.е. {an+bn−cn}=0, поэтому любой вариант с отсутствием решений приводит к исчезновению этого уравнения-призрака. И в частности, не проходит «опровержение» о том, что неправомерно искать решение при любых комбинациях множителей, поскольку AiBi = 2m2 может противоречить Ei = 2n-1mn-2, когда приравнивание Ei к целому числу не всегда даёт целые решения из-за того, что полином степени n−2, (остающийся после выноса за скобки множителя c−a), может в этом случае не состоять только из целых чисел. Однако этот довод не опровергает сделанный вывод, а наоборот усиливает его ещё одним противоречием, т.к. Ei состоит из тех же чисел, (a, b, c, m) что и Ai, Bi, где нецелых чисел быть не может.
В данном доказательстве было вполне логично указать такую комбинацию множителей в уравнении (10), из которой следуют числа Пифагора. Однако есть и множество других возможностей получить такой же вывод из этого уравнения. Например, в [30] дан целый десяток различных вариантов и при желании можно найти ещё больше. Легко показать, что уравнение Ферма (1) невыполнимо также и для дробных рациональных чисел, т.к. в этом случае их можно привести к общему знаменателю, который затем сократить. Тогда получится случай решения уравнения Ферма в целых числах, но уже доказано, что это невозможно. В этом доказательстве ВТФ задействованы новые открытия, не известные сегодняшней науке – это метод ключевой формулы (2), новый способ решения уравнения Пифагора (4), (5), (6), и формула Бинома Ферма (7) … да, конечно же, ещё и волшебные числа из п. 4.4!!!