Раздел 1. Введение в хронологию
Календарные системы
В основе хронологии лежит календарь. В основе же календарей лежат солнечные и лунные циклы. Эта простая истина излагается уже с первых страниц Библии:
«И сказал Бог: да будут светила на тверди небесной [для освещения земли и] для отделения дня от ночи, и для знамений, и времен, и дней, и годов; и да будут они светильниками на тверди небесной, чтобы светить на землю. И стало так. И создал Бог два светила великие: светило большее, для управления днем, и светило меньшее, для управления ночью, и звезды; и поставил их Бог на тверди небесной, чтобы светить на землю, и управлять днем и ночью, и отделять свет от тьмы. И увидел Бог, что это хорошо. И был вечер, и было утро: день четвертый» (Быт 1:14—19).
Различают календарные системы трех типов: солнечные, лунные и солнечно-лунные. Тем не менее, на их основе было создано множество вариантов календарей. Ниже рассмотрим только те из них, которые необходимы для расчетов библейской хронологии.
Юлианский календарь
Реформу римского календаря провел в 46 году до н. э. Гай Юлий Цезарь (100 – 44 годы до н.э.). В основу этого солнечного календаря была положена средняя продолжительность года равная 365,25 дней. Поскольку в календарном году может быть лишь целое число дней, то для обычного года приняли продолжительность 365 дней, а для каждого четвертого (високосного) – 366 дней. Календарь был введен с 1 января 45 года до н.э., пришедшееся на новолуние. При императоре Октавиане Августе (63 год до н.э. – 12 год н.э.) в юлианский календарь внесли небольшие поправки, после чего он в неизменном виде использовался во многих странах, пока не был заменен на григорианский календарь.
Длительность месяцев в юлианском календаре: 1. Январь – 31 день, 2. Февраль – 28 дней (в високосном году – 29 дней), 3. Март – 31 день, 4. Апрель – 30 дней, 5. Май – 31 день, 6. Июнь – 30 дней, 7. Июль – 31 день, 8. Август – 31 день, 9. Сентябрь – 30 дней, 10. Октябрь – 31 день, 11. Ноябрь – 30 дней, 12. Декабрь – 31 день.
Именно юлианский календарь использовался в эпоху Иисуса Христа. Затем данный календарь был принят в христианской Церкви. По этим причинам, а также с учетом простоты и удобства, дальнейшие расчеты мы будем производить преимущественно в датах юлианского календаря.
Счет дней в римском календаре
В древности у римлян применялся особый способ счета дней в месяце. Первый день месяца назывался календами (calendae или kalendae). Средний день месяца назывался идами (idus). Девятый день перед идами при включительном счете назывался нонами (nonae). Первоначально календы, ноны, иды примерно совпадали соответственно с новолунием, первой четвертью луны и полнолунием. В дальнейшем это соответствие нарушилось, но традиция наименования дней еще долго сохранялась. День перед календами, нонами, идами именовался кануном (pridie). Остальные дни считались в обратном направлении: столько-то дней до нон, ид или календ. В високосном году дополнительный 366 день вставлялся между 23 и 24 февраля, он назывался «bis sextum kal. mart» («дважды шестой до мартовских календ»). Год при этом именовался «annus bissextus», откуда и образовался термин «високосный год».
Такое положение дел сохранялось долгое время даже после реформы календаря Юлием Цезарем.
Точки отсчета
Выше несколько раз был упомянут счет лет от н.э. («от нашей эры» или «от новой эры»). Когда-то эта точка отсчета лет называлась «от Рождества Христова», ее введение произошло благодаря монаху Дионисию Малому (ок.470 – ок.544). Потом оказалось, что Дионисий ошибся, однако в силу традиции счет от этой точки сохранился. Мы также не будем отступать от этой традиции и все даты, кроме оговоренных особо, будем приводить в данной системе. Более подробно об эре Дионисия Малого будет рассказано в разделе 3. Пока же отметим, что годы позднее этой точки отсчета называются годами от н.э., а годы ранее этой точки – годами до н. э. Иначе говоря, 1 году н.э. предшествует 1 год до н. э. При этом в обычном (историческом или хронологическом) счете «нулевой год» отсутствует. Однако это не всегда удобно, поэтому нередко используется так называемый астрономический счет лет, в котором 1 году до н.э. соответствует нулевой год, 2 году до н.э. соответствует минус 1 год и так далее. Этот способ лучше подходит для расчетов.
До введения счета лет от н.э. использовались другие точки отсчета. Существовали: счет по олимпиадам, летоисчисление от основания Рима, счет от правления императора, летоисчисление от Сотворения мира (в разных вариантах) и другие.
От основания Рима
До введения эры Дионисия нередко использовалась эра от основания Рима или «ab urbe condita» («от основания города»). Марк Теренций Варрон (116 – 27 годы до н.э.) популяризировал начальную точку этой эры, соответствующую 21 апреля 753 года до н.э.
Перевод года от основания Рима (a.u.c.) в год н.э. производится по формуле:
R = auc – 753
Например, 750 год a.u.c. соответствует -3 году н.э. по астрономическому счету или 4 году до н.э.
Счет по олимпиадам
Еще одним способом счета лет в древности являлся счет по олимпиадам. Поскольку олимпиады проводились раз в четыре года, то год обозначался: первый (второй, третий, четвертый) год такой-то олимпиады. Точка отсчета первого года первой олимпиады соответствует 1 июля 776 года до н.э.
Перевод года по олимпиадам в год н.э. производится по формуле:
R = [(Ol – 1) * 4 + (t – 1)] – 775,
где Ol – номер олимпиады, а t – номер года олимпиады.
Например, 4 год 48 олимпиады (Ol. 48.4) соответствует -584 году н.э. или 585 году до н. э. В этом году произошло Фалесово солнечное затмение (см. Плиний Старший. Естественная история, 2.12).
Египетский календарь
Римский календарь представлял собой модификацию египетского календаря. Но и после распространения юлианского календаря ряд древних писателей (в основном в Александрийской церкви) продолжали пользоваться египетским календарем.
Календарь египтян состоял из 12 месяцев по 30 дней. Названия месяцев в эллинизированной форме следующие: 1. Тот, 2. Фаофи (паофи), 3. Атир (хатир), 4. Хойяк (хойак), 5. Тиби (туби, тюби), 6. Мехир, 7. Фаменот, 8. Фармути (фармуфи), 9. Пахон, 10. Пайни (паини), 11. Эпифи, 12. Месори (месоре).
В конце года добавлялись еще пять дней, греческое название которых – эпагомены. Таким образом, египетский календарь состоял из 365 дней.
Благодаря древнегреческому ученому Клавдию Птолемею (ок.100 – ок.170) был введен счет лет египетского календаря от воцарения вавилонского царя Набонассара. Точка отсчета эры Набонассара (1 тота) соответствует 26 февраля 747 года до н.э.
Точное соответствие эр
Из сказанного выше можно вывести следующее равенство:
1 год н.э. = 754 а.u.с. = Оl. 195.1 = 748 Набонассара
Впрочем, как можно заметить, формулы для перевода летоисчислений даны приближенные, они не учитывают различающиеся даты смены года для указанных эр. Пользуясь этими формулами, в ряде случаев можно ошибиться на год. Чтобы этого не произошло необходимо обращать внимание на точную дату события (месяц, число) и при необходимости вносить соответствующую коррекцию при вычислении года.
Несколько сложнее обстоит дело с египетским календарем. Казалось бы все просто, 1 января 1 года н.э. соответствует 12 тиби 748 года эры Набонассара. Однако египетский год состоит из 365 дней, а юлианский год в среднем состоит из 365,25 дней, поэтому каждые 4 года происходит смещение этих календарей друг относительно друга на 1 день. Как перевести дату египетского календаря в дату юлианского календаря мы расскажем в одной из следующих глав.
От Сотворения мира
В первые века христианства предпринимались попытки ввести отсчет лет от Сотворения мира или от Адама. Расчеты, проведенные различными хронистами на основе сведений из Ветхого завета, по ряду причин имели отличия, в связи с чем этот способ летоисчисления не получил всеобщего распространения. В частности, исследователи расходились во мнениях о количестве лет, протекших от вавилонского пленения евреев (VI век до н.э.) до новозаветных событий; поскольку этот промежуток хронологически не охвачен в Библии, то приходилось привлекать сторонние хроники, не всегда и не во всем достоверные. Историческое значение имеют несколько вариантов эр от Сотворения мира:
Антиохийская эра (точка отсчета 1 сентября 5500 года до н.э., пятница). Разработана антиохийским епископом Феофилом около 180 года. В некоторых источниках для нее указываются иные точки отсчета (5969, 5515 или 5507 годы до н.э.), однако в хрониках они не использовались.
Эра Ипполита Римского (точка отсчета 5503 год до н.э.). Разработана около 200 года.
Эра Секста Юлия Африкана (точка отсчета 5502 год до н.э.). Разработана около 220 года, использована в «Хронографии».
Феофил, Ипполит, Юлий и некоторые другие древние писатели полагали, что временной промежуток от Адама до Нового Адама (Иисуса Христа) составляет 5500 лет. Основания для этого находили в библейском сюжете о создании первого человека в середине шестого дня творения (Быт 1:24—31), а также в словах Писания: «Ибо пред очами Твоими тысяча лет, как день вчерашний…» (Пс 89:5) и «Одно то не должно быть сокрыто от вас, возлюбленные, что у Господа один день, как тысяча лет, и тысяча лет, как один день» (2 Пет 3:8). В подобных эрах различия возникали из-за несовпадений датировок Рождества Христова. Ряд толкователей считали 5500 лет лишь примерным ориентиром, ведь в Библии нигде не сказано, что Адам создан ровно посередине шестого дня творения, поэтому допускались некоторые отклонения от этого числа. Иные же отсчитывали 5500 лет не от Сотворения мира, а от грехопадения Адама. Находились и те, кто отвергал взаимосвязь между тысячелетиями истории и количеством дней творения.
Эра Панодора (точка отсчета 29 августа 5493 года до н.э., вторник). Разработана александрийским ученым Панодором около 400 года.
Эра Анниана (точка отсчета 25 марта 5492 года до н.э., воскресенье). Разработана александрийским монахом Аннианом в начале V века.
Александрийская эра (точка отсчета 1 сентября 5493 года до н.э., пятница). Представляет собой модификацию эр Панодора и Анниана. Использовалась византийскими историками.
Старовизантийская эра (точка отсчета 5504 год до н.э.). Использовалась в Византии до IV века. Имела хождение также в древней Руси и Болгарии. Согласно старовизантийской эре, от Адама до Потопа 2262 года, от Потопа до Моисея 1082 года, от Моисея до Исхода 430 лет, от Исхода до Соломона 631 год, от Соломона до Вавилонского пленения 448 лет, от Вавилонского пленения до Александра Македонского 318 лет, а от Александра Македонского до Иисуса Христа 333 года. В сумме эти числа дают 5504 года.
Византийская эра сентябрьского стиля (точка отсчета 1 сентября 5509 года до н.э., суббота). Разработана при императоре Констанции в IV веке. Использовалась в Византии до VI века, а также в России с XV века. Смещение точки отсчета относительно старовизантийской эры произведено для удобства определения индиктовых чисел. Для 5509 года до н.э. индиктовые числа равны единице, а для последующих лет вычисляются как остаток от деления византийской даты на 28, 19 и 15; величина остатка равна соответственно кругу солнца, кругу луны и индикту.
Византийская эра мартовского стиля (точка отсчета 1 марта 5508 года до н.э., пятница). Использовалась в Византии с VI века, а также в древней Руси до XII века.
Византийская эра ультрамартовского стиля (точка отсчета 1 марта 5509 года до н.э., четверг). Использовалась в средневековой Руси, в XII – XV веках.
Иудейская эра (точка отсчета 6/7 октября 3761 года до н.э.). Разработана иудеями на основе хронологии масоретского Танаха.
Ватиканская эра – общее название для нескольких вариантов эр, разработанных на основе хронологии Вульгаты. Например, эра по Жозефу Скалигеру (точка отсчета 1 января 4713 года до н.э.), эра по Джеймсу Ашшеру (точка отсчета 23 октября 4004 года до н.э.).
Многообразие эр от Сотворения мира затрудняло их использование, поэтому хронисты нередко приводили датировки в нескольких системах летоисчисления, что позволяло исключить путаницу.
Еврейский календарь
О первоначальном еврейском календаре сведений немного. В ветхозаветной части Библии упоминаются четыре месяца древнего календаря: первый месяц – авив – месяц колосьев (Исх 13:4), второй месяц – зиф – месяц цветения (3 Цар 6:1), седьмой месяц – афаним – месяц бурных ветров (3 Цар 8:2), восьмой месяц – бул – месяц произрастания (3 Цар 6:38).
Находясь в вавилонском плену, евреи заимствовали у своих поработителей их солнечно-лунный календарь. В этом можно легко убедиться сравнив названия месяцев древневавилонского и современного еврейского календарей.
Названия месяцев вавилонского календаря: 1. Нисану, 2. Айру, 3. Сивану, 4. Дуузу, 5. Абу, 6. Улулу, 7. Ташриту, 8. Арахсамна, 9. Кисливу, 10. Тебету, 11. Шабату, 12. Аддару.
Названия месяцев позднееврейского календаря: 1. Нисан (бывший авив), 2. Ийяр (бывший зиф), 3. Сиван, 4. Тамуз (таммуз), 5. Ав, 6. Элул (елул), 7. Тишри (тишрей, бывший афаним), 8. Хешван (бывший бул), 9. Кислев, 10. Тевет, 11. Шват (шеват или сават), 12. Адар.
В древности за начало месяца в еврейском календаре принималась неомения – момент первого появления лунного серпа на вечернем небе. Этот момент определялся непосредственным наблюдением, после чего объявлялось о начале нового месяца. Таким образом, каждый месяц составлял 29 или 30 дней. В обычном году было 12 месяцев. Однако, поскольку тропический (солнечный) год включает 12,36826 синодических (лунных) месяцев, то со временем набегает погрешность, которая периодически устранялась вставкой дополнительного месяца. Критерием для определения необходимости вставки были состояние зерновых культур и возраст жертвенных животных, ведь на праздник еврейской Пасхи (14/15 нисана) предписывалось: «в первый месяц [авив (нисан)], в четырнадцатый [день] месяца вечером Пасха Господня… Принесите первый сноп жатвы вашей к священнику; он вознесет этот сноп пред Господом, чтобы вам приобрести благоволение; на другой день праздника вознесет его священник; и в день возношения снопа принесите во всесожжение Господу агнца однолетнего, без порока…» (Лев 23:5, 10—12). Поэтому если хлеба были незрелы, а ягнята слишком молоды, то год удлинялся на один месяц. Этот удлиненный год из 13 месяцев принято называть эмболисмическим.
Около 500 года произошла реформа еврейского календаря. Начало нового года перенесли на месяц тишри, а начало отсчета месяцев перенесли на молед (астрономическое новолуние). Также ввели четкие правила по чередованию числа дней в месяцах и вставке дополнительного месяца, это обеспечило возможность расчета дат.
За начало отсчета еврейского календаря была выбрана дата Сотворения мира 1 тишри («новолуние мироздания»), соответствующая 6/7 октября 3761 года до н.э. по юлианскому календарю.
Принципы еврейского календаря
Вставка 13-го месяца в еврейском календаре производится в соответствии с 19-летним циклом: в 3, 6, 8, 11, 14, 17 и 19 годах цикла. Дополнительный месяц вставляется перед адаром и получает название адар 1 (адар ришон). При этом адар становится следующим месяцем и получает название адар 2 (адар шени, адар бет, веадар), на этот месяц переносятся религиозные праздники адара.
Также варьируется число дней в году от 353 до 385 в шести вариантах:
а) краткий или недостаточный год (хасарин) содержит 353 дня (простой) или 383 дня (эмболисмический);
б) правильный или полный год (кесидран) содержит 354 дня (простой) или 384 дня (эмболисмический);
в) избыточный год (шаламим) содержит 355 дней (простой) или 385 дней (эмболисмический).
Столь сложная система обусловлена стремлением иудеев соблюсти талмудические религиозные традиции. Выполнить эти несколько сотен предписаний возможно лишь если 1 тишри (начало нового года) приходится на понедельник, вторник, четверг или субботу, а 15 нисана (еврейская Пасха) на вторник, четверг, субботу или воскресенье.
Зная на какие дни недели одного года пришлись 1 тишри и 15 нисана, можно понять является ли этот год недостаточным, правильным или избыточным, то есть определить сколько в нем дней.
Еще одной особенностью еврейского календаря является счет суток не с полуночи, а с заката солнца. Это обусловлено принятием точки зрения, что так было при Сотворении мира, со ссылкой на книгу Бытия: «И был вечер, и было утро: день один» (Быт 1:5).
Формулы Гаусса
Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) около 1800 года вывел формулы для определения дат христианской и еврейской Пасхи. Эти формулы позволили значительно упростить хронологические расчеты.
Порядок вычисления еврейской Пасхи (15 нисана) следующий:
1) A=R+3660,
где A – год по еврейскому календарю; R – год от н.э.
2) a= (12A+17) mod 19,
где «mod 19» – остаток от деления на 19.
3) b=A mod 4.
4) M+m= (32,0440933+1,5542418a+0,25b-0,00317779A),
где M – целая часть; m – дробная часть.
5) c= (M+3A+5b+5) mod 7.
Далее возможны три варианта:
1) если с=1, a> b и m≥0,63287037, то еврейская Пасха (15 нисана) попадает на M+2 марта юлианского календаря.
2) если с=2, 4 или 6, а также при с=0, а> 11 и m≥0,89772376 – попадает на M+1 марта.
3) в остальных случаях – на M марта.
Если результат превышает количество дней в марте, то от него нужно отнять 31, получившееся число соответствует дате в апреле.
Для примера рассчитаем дату еврейской Пасхи (Песаха) для 2016 года:
1) A=5776.
2) a=17.
3) b=0.
4) M+m=40,11128886.
M=40, m=0,11128886.
5) c=6.
Поскольку c=6, то к величине M=40 нужно прибавить 1 и вычесть 31. Таким образом, Песах (15 нисана) в 2016 году выпадает на 10 апреля юлианского календаря, что соответствует 23 апреля григорианского календаря. Как уже отмечено выше, счет суток в еврейском календаре осуществляется с заката солнца, поэтому в данном случае 15 нисана начинается вечером 9 апреля и заканчивается вечером 10 апреля.
Порядок вычисления христианской Пасхи по формулам Гаусса следующий:
1) a=R mod 19,
где R – год от н.э.; «mod 19» – остаток от деления на 19.
2) b=R mod 4.
3) c=R mod 7.
4) d= (19a+15) mod 30.
5) e= (2b+4c+6d+6) mod 7.
Далее возможны два варианта:
1) если сумма (d+e) не превышает 9, то христианская Пасха попадает на (22+d+e) марта.
2) если (d+e) ≥10, то Пасха (d+e-9) апреля.
Для примера рассчитаем дату христианской Пасхи для 2016 года:
1) a=2.
2) b=0.
3) c=0.
4) d=23.
5) e=4.
Поскольку (d+e) больше 9, то вычисляем (d+e-9) =18. Таким образом, православная христианская Пасха в 2016 году выпадает на 18 апреля юлианского календаря, что соответствует 1 мая григорианского календаря.
Юлианский период и юлианский день
Историкам и хронологам нередко приходится иметь дело с календарными расчетами, где фигурируют даты различных типов. Чтобы облегчить процесс перевода дат из одного календаря в другой была предложена система юлианских дней или непрерывный счет дней. Этот так называемый юлианский период ввел в оборот в 1583 году французский ученый Жозеф Жюст [Иосиф Юстус] Скалигер (1540 – 1609). Данный способ счета Жозеф назвал в честь своего отца Жюля Сезара [Юлия Цезаря] Скалигера (1484 – 1558), знаменитого гуманиста и ученого.
Жозеф Скалигер предложил хронологическую шкалу, к которой можно было бы приводить все исторические даты. За начало отсчета юлианских дней (JDN=0) выбрано 1 января 4713 года до н.э., по Скалигеру – эра от Сотворения мира. Далее с каждым днем номер JDN увеличивается на единицу. 2 января 4713 года до н.э. имеет JDN=1 и так далее. Например, для 1 января 1 года н. э. JDN=1721424.
В 1849 году для удобства астрономических расчетов Джон Гершель (1792 – 1871) предложил все даты выражать через число дней JD, прошедших от начала цикла Скалигера. Юлианская дата (JD) отличается от номера юлианского дня (JDN) тем, что содержит дробную часть, указывающую на время суток. Началом юлианского дня принят средний полдень на гринвичском меридиане. Таким образом, полночь 1 января 1 года н.э. соответствует JD=1721423,5. При этом JD=1721424 набегает только к полудню указанного дня, так как отсчет ведется от полудня 1 января 4713 года до н.э. («нулевая точка»). Однако для простоты в дальнейших расчетах мы будем использовать округленное значение юлианского дня или номер юлианского дня (JDN).
Порядок вычисления номера юлианского дня (JDN) для конкретной даты юлианского календаря следующий:
1) a= [(14-month) /12].
2) y=year+4800-a.
3) m=month+12a-3.
4) Номер юлианского дня:
JDN=day+ [(153m+2) /5] +365y+ [y/4] -32083.
Где year – год н.э.; month – номер месяца; day – день месяца; квадратные скобки – целая часть.
По имеющемуся JDN можно определить день недели, найдя остаток от деления JDN на 7. По величине остатка распределение дней недели следующее: 0 – понедельник, 1 – вторник, 2 – среда, 3 – четверг, 4 – пятница, 5 – суббота, 6 – воскресенье.
Для примера рассчитаем номер юлианского дня для еврейской Пасхи 2016 года (10 апреля юлианского календаря):
1) a=0.
2) y=6816.
3) m=1.
4) JDN=2457502.
Остаток от деления (JDN mod 7) =5, следовательно, это суббота.
Определение даты по юлианскому дню
Счет по юлианским дням может быть полезен, например, для определения даты 1 тишри. Промежуток между 15 нисана и 1 тишри одного года заранее неизвестен, однако промежуток между 1 тишри искомого года и 15 нисана предыдущего года составляет всегда 163 дня, ведь месяцы нисан, ийяр, сиван, тамуз, ав и элул имеют постоянное число дней. Зная номер юлианского дня 15 нисана и прибавив к нему 163, получим номер юлианского дня 1 тишри следующего года.
Например, 15 нисана 5775 года еврейского календаря по формулам Гаусса соответствует 22 марта 2015 года юлианского календаря. Далее вычисляем для этой даты JDN=2457117. Таким образом, для 1 тишри 5776 года JDN=2457280. Остаток от деления равен 0, следовательно день недели понедельник. Ранее мы посчитали, что 15 нисана 5776 года еврейского календаря (2016 год н.э.) выпадает на субботу. Воспользовавшись таблицей 3 (см. выше), определяем 5776 год еврейского календаря как эмболисмический, длительностью 385 дней (избыточный).
Порядок перевода номера юлианского дня (JDN) в дату юлианского календаря следующий:
1) c=JDN+32082.
2) d= [(4c+3) /1461].
3) e=c- [1461d/4].
4) m= [(5e+2) /153].
5) day=e- [(153m+2) /5] +1.
6) month=m+3—12* [m/10].
7) year=d-4800+ [m/10].
Где year – год н.э.; month – номер месяца; day – день месяца; квадратные скобки – целая часть.
Для примера переведем номер юлианского дня JDN=2457280 (1 тишри 5776 года еврейского календаря) в дату юлианского календаря:
1) c=2489362.
2) d=6815.
3) e=184.
4) m=6.
5) Число месяца: day=1.
6) Номер месяца: month=9.
7) Номер года: year=2015.
Таким образом, 1 тишри 5776 года еврейского календаря выпадает на 1 сентября 2015 года юлианского календаря, или 14 сентября григорианского календаря.
Юлианский день и египетский календарь
Чтобы перевести дату египетского календаря в дату юлианского календаря обычно сначала вычисляют номер юлианского дня:
JDN= (N-1) *365+ (M-1) *30+ (D-1) +1448638,
где N – год эры Набонассара; M – порядковый номер месяца египетского календаря; D – день месяца.
Затем можно вычислить дату как описано в предыдущей главе.
Для примера вычислим на какой день юлианского календаря приходится 25 фармути 777 года Набонассара.
Номер юлианского дня:
JDN= (777—1) *365+ (8—1) *30+ (25—1) +1448638=1732112.
Переводим в дату юлианского календаря:
1) c=1764194.
2) d=4830.
3) e=37.
4) m=1.
5) Число месяца: day=7.
6) Номер месяца: month=4.
7) Номер года: year=30.
Таким образом, 25 фармути 777 года Набонассара соответствует 7 апреля 30 года н.э.
Упрощение расчетов
Календарные расчеты существенно упрощаются при использовании возможностей компьютера. Вышеприведенные алгоритмы вполне реализуемы в популярных расчетных программах или через скрипты языков программирования. Кроме того, существуют готовые программы и интернет-сервисы, предназначенные для календарных расчетов, некоторые из них описаны в Приложении.