Числовые построения

Предисловие

В этом разделе сборника предлагаются головоломки, связанные с расстановкой чисел. В клеточках или кружочках некоторой заданной фигуры требуется расставить по определенному принципу заданные числа.

Даже безо всякой специальной расстановки натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … красив сам по себе. Он демонстрирует упорядочение по возрастанию в чистейшем виде. Принцип построения следующей цепочки чисел не так очевиден: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , хотя они тоже стоят не хаотично: каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему свое историческое название – последовательность Фибоначчи, присуща своя логика и красота, постижение которой возможно только при целенаправленном рассмотрении и изучении. Числа и фигуры могут объединиться, например, в такую композицию



Девять чисел натурального ряда расставлены в клетках квадрата. Можно ли сразу сказать, что это красиво? Вряд ли. Красота здесь не внешняя, а содержательная, внутренняя. Чтобы ее понять требуется напряжение мысли, нужно посчитать суммы трех чисел в каждой строчке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей. Оказывается сумма во всех восьми случаях одна и та же, равная 15. Выходит в огромном количестве различных расположений девяти чисел в клетках квадрата можно найти такое удивительное по своему содержанию. От хаоса различных, ничем не примечательных вариантов расположения – к своеобразному и редкому упорядочению.

История происхождения подобных квадратов уходит в глубь тысячелетней истории человечества. Естественно, в те древние времена, когда даже отдельным числам приписывались магические свойства, подобные числовые построения не могли назвать иначе как волшебные или магические квадраты. В Западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Серебряные пластинки с выгравированными магическими квадратами носили как амулеты, предохраняющие от чумы и других бед и поветрий. От суеверных представлений древних китайцев, индусов, европейских алхимиков и астрологов эти числовые квадраты и получили свое необычное для математики название – «магические» квадраты.

Числа, возможно, имеют на человека какое-то воздействие. Суеверные люди считают число 7 счастливым, а в пятницу 13-го числа не станут приниматься за серьезные дела. Вряд ли какой автомобилист согласиться иметь на машине номер 666, так как это число почему-то считается дьявольским. Существует «наука» нумерология, гадалки по вашей дате рождения составят полный гороскоп и предскажут судьбу. Но это всё суеверия и мистика. На самом деле, числа, как и люди, интересны сами по себе, своими свойствами, своими отличиями от других чисел, своими редкими особенностями.

Вся человеческая жизнь постоянно и неотступно окружена числами. Начинается она с даты рождения, которую затем впишут в свидетельство о рождении, которое в свою очередь в бюро ЗАГС получит определенный уникальный номер.

Причем больше мы сталкиваемся именно с числовыми построениями: дата – это три числа, стоящие в определенном порядке. Живем мы по календарю, который представляет собой числовое построение (год, месяц, число), время в течение суток сверяем по часам (минутам, секундам), где тоже числа определенным образом расставлены, построены. Обитаем мы в домах, которые построились по улицам в соответствии с числовым упорядочением, а квартиры в домах – тоже числовое построение. Пошел в школу, записали в классный журнал фамилию под определенным номером. Окончил школу – получил аттестат, тоже с номером. Повзрослевшему человеку выдадут паспорт, в нем серия и номер – числовое построение. Купит человек машину, зарегистрирует в ГИБДД, получит номер. Доплатит неофициально, чтобы дали хорошее числовое сочетание – простое, запоминающееся, «крутое». В процессе жизни человек обрастает документами и все они под номерами, порой очень длинными, как ИНН (индивидуальный номер налогоплательщика).

От всего этого может пойти кругом голова, если задуматься. Приписаны к поликлинике с определенным номером, идем туда с полисом, на нем номер. Куда-то едем, маршрутка с номером. Вызываем такси по номеру, телефон с номером, банковская карта с номером, пин-код – тайный номер, и нет конца и края числам.

Так все концентрированно написал, что самому как-то не по себе стало от обилия чисел, нас окружающих. Но все не так трагично, мы к этому адаптировались, привыкли не придавать особого значения повседневным числам, как привыкли, проходя по городской улице видеть в целом толпу людей, но только изредка выхватывать из этой массы знакомое лицо.

От этого числового окружения даже огромная польза, мы постоянно запоминаем числа, например телефонные номера, тренируя тем самым свою память, постоянно что-то складываем, вычитаем, умножаем и делим, и поэтому, надеюсь, вас не затруднит подборка заданий, в которых вам придется делать то же самое, что вы привыкли делать: считать. Во все задачи данного раздела входят:

натуральные числа вместе с ноликом (который строго математически к ним не относится),